二項係数nCmの
nCm+nC(m+1)=(n+1)C(m+1)
から全部でる
たとえば (k+m)Cm=(k+m)!/(k!m!)=(k+1)…(k+m)/m! は k の m次多項式だから
Σ_[k=0,n] (k+m)Cm=(n+m+1)C(m+1)
は k の m次多項式の和が m+1次多項式になるということ
k の任意の m次多項式は kC0 〜 (k+m)Cm の一次結合で表わせるから
その和は m+1次多項式になる