私の知るかぎりにおいて、写像の拡張（拡大、延長、…etc）の定義で値域も拡げるというのは、見たことがない。

松坂　集合・位相入門（p36-37）
fをAからBへの写像, f'をA'からBへの写像とし, A⊃A'とする.
そのとき, A'のすべての元aに対して
f(a)=f'(a)
となっているならば, f'を, f:A→Bの定義域を, A,'に縮小（または制限）した写像,
あるいは簡単に, fのA'への縮小といい, 逆にfを, f':A'→Bの定義域をAに拡大(または延長)した写像,
あるいは簡単に, f'のAへの拡大という.

岩波数学辞典　第４版（175　集合 C）
いま写像f:A→Bが与えられたとする.
…
XをAの部分集合とする. すべてのa∈Aについてg(a)=f(a)となる写像g:X→Bを
fのXへの制限(restriction)といい, f|Xまたはf↑Xで表す. 逆に, fをgのAへの拡大(extension)という.