>>78 >a_nとa_(n+1)を同じxと置くことに
目的と結論がごっちゃになってる。別に「a_nとa_(n+1)を同じxと置く」ことが目的なんじゃない。

我々の目標は　a_n をちょっと弄って、{ a_n - x } が等比数列になるようにしたい、つまり
a_(n+1) - x = 3*(a_n - x) となるようにしたい、ってこと。この式を整理すると
　a_(n+1) = 3*a_n - 2x で、これをもとの漸化式とくらべて、「2 = -2xだったらいいわけだ」と結論できる。
で、この「2=-2x」ってのが、“偶然”に「もとの漸化式でa_(n+1)とa_nのところを x に置き換えたもの、つまり x=3x+2 」
になっていた、ということ。

まぁ本当は“偶然”じゃないんだが。