>>118
a_{n+1}=p*a_n+q・・・（１）
という漸化式に対して、もし、　
x=p*x+q・・・(2)
　となるxが存在するならば・・・(3)
(1)-(2)をつくると
a_{n+1}-x=p*(a_n-x)
が得られる。
これより
a_n-x=p^(n-1)(a_1-x)、すなわち、　a_n={p^(n-1)}(a_1-x)+x。

ここで、(3)が成り立つのは　p≠1のときで、本問ではこれが成立しているので
x=q/(1-p)=2/(1-3)=-1
p=1のときは、(1)は等差数列を表していて、この場合はこれで終わり。

以上から分るとおり、a_{n+1}=a_n=x　と置いている訳ではない。

(2)式は一体なんなのか、といえば、　
最初の漸化式から自然に導かれる行列の固有ベクトルを求める際に自然に出てくる。