分母が5の既約分数で調べてみたら、いくつかループがあった。それぞれ
1/5
19/5
23/5
187/5
347/5
を含むもの(これらはそのループ中で最小の数)。まだ小さい初期値でしか調べてないから、もっとあるかも。
下２つは、両方とも「*3+1」を17回、「/2」を27回で計44回の操作でループする。なんかありそう。

負の数でも調べてみたら、少なくとも-1/5から-299/5までは、全て-1/5を経由して1/5のループに到達した。
なんか普通の自然数と雰囲気似てる気がする。