>>560
>数直線を移す写像は拡大写像、恒等写像、縮小写像を考えることができるので、

”開区間（0，1）を全実数に全単射で写像する”の具体的構成が、下記にある
あなたに、tan x を使わない別の構成ができますか？
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/jissen/jissen59.html
授業実践記録
『連続体濃度 』を教えよう
武蔵工業大学付属高等学校
田口哲夫

（抜粋）
そこで，実数 R の集合の濃度をN（アレフ）と定義し，連続体濃度と定義する。
　ここで，f(x)=πx-π/2 を用意して，
開区間（0，1）を
開区間(-π/2, π/2) に全単射させ，
さらに g (x)=tan x を用意し，
開区間(-π/2, π/2) を（−∞，+∞）に全単射すれば，合成写像 g・f によって開区間（0，1）を（−∞，+∞）という全実数に全単射で写像する。
（引用おわり）

田口哲夫のページには、グラフがあって分かりやすい
日本語的には、「・・・すれば、・・・することができる」となるのが国語的だと思うが、まあ重箱の隅

物理のビッグバンは、tan xによる写像ではない
写真の引き伸ばし的に言えば、相似が保たれた写像なんだよね
相似が保たれた写像を使って、”開区間（0，1）を全実数に全単射で写像の具体的構成”をしていただけますか？