これも既出で、過去なんどか紹介したが
下記、定理3-3が本質

http://homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf
方程式論の歴史（平成14年）

P13
3. ラグランジュの方程式論

定理3-3 有理式f(x1, x2, …, xn)を変えない置換で，有理式g(x1, x2, …, xn)を変え
ないならば，
g =（a0 + a1f + a2f2 +… + ai-1fi-1）/（b0 + b1f + b2f2 +… + bi-1fi-1）
ただし，分母子共に次数はi-1以下で，係数はx1, x2, …, xnの対称式である．

証明
略