＞唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分ります
今の場合はほぼそういうことなのでそういう風に解釈してくれれば良い。

＞それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか？
二階算術ならその方法なら良いよ。そして不完全性とも矛盾しない。
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))　だとその内容を表現できてない。
Natがモデル全部の中の変な部分集合になってる可能性が残る。

一階の算術であれば、そういうことは表現できない。

最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。