それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます

あと、超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
まず「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」をωなどに言及しないで
直接的に論理式で表現しないといけないですが、
実際やってみると案外難しいのが分かると思います。