数学基礎論・数理論理学　その14

0001１３２人目の素数さん

2012/09/29(土) 02:02:32.80

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その13
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/

なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは
きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。
このことは本人も認めています。（前スレの900以降など）
STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは
荒らし行為に当たりますのでご注意ください。

0002１３２人目の素数さん

2012/09/29(土) 02:14:28.02

１乙

0003１３２人目の素数さん

2012/09/29(土) 03:50:58.12

でかしたぞ、１よ

0004１３２人目の素数さん

2012/09/29(土) 10:50:48.11

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0005１３２人目の素数さん

2012/09/29(土) 16:41:42.49

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0006１３２人目の素数さん

2012/09/30(日) 00:45:47.42

書き込まないと言いながらどうせすぐに現れるんだろう、STSのやつは。

0007１３２人目の素数さん

2012/09/30(日) 06:23:33.20

>>6
これまでの経緯から想像するとその通りだろうね。
だからこそ>>1はよくやったと思う。スルーするしか対処法ないからね。
もっともコテを替えられたらどうしようもないんだけど。

0008１３２人目の素数さん

2012/09/30(日) 07:55:17.45

スルーしてたんだがあからさまに自演してるしな
本当に手に負えないよ

前スレで名無しで書き込んでた奴いるのか？

0009１３２人目の素数さん

2012/09/30(日) 08:30:40.12

なんか雰囲気が文keiっぽいな。

0010１３２人目の素数さん

2012/09/30(日) 13:07:27.72

前スレ875でTTTに晒し上げ食らってた……しかも古いやつ。
俺はTTTじゃないからね。

0011１３２人目の素数さん

2012/09/30(日) 19:38:15.13

>>8
まさか前スレの自分以外の書き込みは全部TTTの書き込みだと思って叩いてたとか？
そこまでいくとちょっと極端だよ

0012１３２人目の素数さん

2012/09/30(日) 20:18:11.76

TTTは自分のスレに対してもレスしていたから、そのことじゃね？

0013１３２人目の素数さん

2012/10/01(月) 17:21:45.29

そんな事言ってる間にSTSより面白いこと書けよ

0014１３２人目の素数さん

2012/10/01(月) 22:33:41.56

数学者は「存在する」という言葉で何を表現してるんですか。

0015１３２人目の素数さん

2012/10/01(月) 23:59:24.40

「ある性質を持つものが存在する」は「その性質が矛盾しない」と同義です。

0016１３２人目の素数さん

2012/10/02(火) 00:00:20.88

ω＜κ＜2^ωとなるような基数κは存在しますか？

0017１３２人目の素数さん

2012/10/02(火) 00:14:50.98

>>14
色んな意味づけができるので、一つの意味だけを取り上げるとかえって実情と掛け離れる。

0018１３２人目の素数さん

2012/10/02(火) 00:18:58.14

>>15
同義である場合もそうでない場合もある。

0019１３２人目の素数さん

2012/10/02(火) 10:48:01.98

>>16
基数ってなんすか

0020１３２人目の素数さん

2012/10/02(火) 22:16:22.73

基数とは順序数αであって、αよりも小さな順序数とは一対一対応が存在しないようなもののことです

0021１３２人目の素数さん

2012/10/02(火) 22:51:46.23

アレフゼロとかのこと？

0022１３２人目の素数さん

2012/10/02(火) 23:21:38.16

アレフ0は基数の一例ですね
アレフの活字が無いのが惜しいのだが

0023１３２人目の素数さん

2012/10/04(木) 00:26:13.82

意味わからん(^^;;

これって大学何年レベルなの？

自分はまだコンパクト集合くらいまでしかやってないからな＿|￣|○

0024１３２人目の素数さん

2012/10/04(木) 01:01:57.67

微積も線形代数も使わないマニアックな分野なので
一年生の時から或る意味大学院レベルの勉強ができるのであります

0025１３２人目の素数さん

2012/10/04(木) 01:30:47.13

集合論を深くやらない大学って多いんだろうか？
集合論を扱った本なら大抵基数は載ってると思うんだが

0026１３２人目の素数さん

2012/10/04(木) 02:11:11.77

等濃度の定義はやるけど基数の定義はやらないよ
同値関係なんだから似たようなものじゃん、と思うかもしれないけどさに非ず。

厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限
みたいな同値関係だと、さすがに海のものとも山のものとも分からない代表元を
選んで来ちゃう厄(x)を導入して大丈夫なのか不安に思うでしょ？

こういう厄介な関数が存在しても矛盾はしないわけだが、それを言うのは学部の知識じゃ無理

（要はNBG + Global Choiceがあれば良い。
でもこれの整合性を示すには、強制法を使わないと証明が大変な
NBGのZFからの相対無矛盾性と、
任意のproper class C と V は一対一対応するという定理が要るはず）

0027１３２人目の素数さん

2012/10/04(木) 06:19:42.08

>>26
厄(･)は何を意味してるの？

0028１３２人目の素数さん

2012/10/04(木) 09:17:52.18

厄（・）:V→Vは無定義術語で、
条件（厄）：「厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限」
を満たすクラス関数とします。
つまり（厄）を満たすもの、というのが定義です。
等濃な集合の同値類を取るのと同じ操作をした訳です。

0029１３２人目の素数さん

2012/10/05(金) 01:02:48.51

ロジック関係やったことない人だと>不安に思うでしょ？
って別に不安に思わない気がしてきた（汗

ところで北田均先生が「数理解析学概論」という本を新しく出したのが
生協に売ってたんだけど、立ち読みした範囲だと
不完全性と集合論に関する間違いは発見できなかった。
最近は新井先生の教科書みたいな本
（ただしこの本は、テクニカルな間違い・ミスプリがかなり多いので
新しく買うときは第3刷を買いましょう）も出て
理解しやすいようになったから或る程度ご理解されたのかなあ。

0030１３２人目の素数さん

2012/10/05(金) 17:23:51.10

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1348832025/102

こんな話があるがこのスレ的にはどうなの？

0031１３２人目の素数さん

2012/10/05(金) 20:52:54.65

ユニバースの話じゃなくてそれ以前のIVの定理1.10が
（abc予想と）Uniform Serre Open Image予想なるものを仮定すると
成り立っていないようだって言われてるんじゃなかったっけ？

＞その前までの数論的な部分については指摘されていない。
これは明らかに間違いです。

たぶん全然ロジック知らない人が、前スレの
もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
これが問題点なのか！とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではｗ
前スレのあれは、望月先生の権威がどうとかに関係なく
こんなのは誰が見たって揚げ足取りですよね、って話ですよｗ

0032１３２人目の素数さん

2012/10/06(土) 02:22:51.99

>たぶん全然ロジック知らない人が、前スレの
>もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
>これが問題点なのか！とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではｗ
お前やっぱかなーりズレてるわ
どういうお花畑脳だとこう解釈できるんだよｗ

0033１３２人目の素数さん

2012/10/06(土) 06:28:06.86

>>32
お花畑ってことは自分にとっておめでたい解釈ってことですよね？
>>32さんがおかしいと指摘しているその解釈が仮に正しかったとすると
どうして31の自説(>>31の最後の2行)を補強することになるのか
理解できてるってことですか？
もしそうなら教えて下さい。

0034１３２人目の素数さん

2012/10/06(土) 07:15:23.59

アスペの考えることを理解しようなんて時間の無駄
その時間で噂の望月論文でもお経のように唱えてた方がまし

0035１３２人目の素数さん

2012/10/06(土) 18:28:55.88

>>33
「超難問を解いた論文・著者にケチをつけているように見られておまいらバカね」って言いたいんじゃないの？
これを権威を借りようとしていると言わずして何というのか
得てしてこういうことは本人が一番気づけないんだな

0036１３２人目の素数さん

2012/10/06(土) 20:20:42.69

いや望月先生みたいなマトモな研究者の論文が
初歩的な勘違いしてる可能性が限りなく低いのは、数学のリテラシーがあれば誰でも分かるから

0037１３２人目の素数さん

2012/10/06(土) 20:48:40.27

>>36
おっしゃることはその通りだがそれがいまの話とどんな関係が？

0038１３２人目の素数さん

2012/10/06(土) 22:21:54.31

宇宙際の論文は俺も見てみたが基礎論の部分で間違いというのは
ZFCGがZFCの保存拡大になっているというところじゃないの？
ZFCGは前スレのZFC+Uのことだから、ロジシャンなら誰にでも分かる明らかに間違い。
この間違いが他の部分に本質的な打撃を与えたりしないとは思うけど
もっちーが基礎論の部分に関して初歩的な勘違いしているのは否定しようのない事実。

0039１３２人目の素数さん

2012/10/06(土) 23:59:22.96

つーかZFC+UとZFCは同じ言語なんだから保存拡大って正しい正しくない以前に型エラーじゃん。
初歩的もいいとこでほんとにそんなバカなことが書いてあるのかよと
ダウンロードしたまんま開いてなかった論文を見てみたよ。確かに書いてある。
というかこれって前スレ830が引用した箇所のすぐ近くなんだけど
前スレ830=>>31はこんな初歩的な間違いにも気づかずに
得意になって「望月先生は～」なんて引用してたんか？アホだろ。

004036

2012/10/07(日) 00:04:35.96

ありゃ本当だ……失礼しました。
「(†)はZFCから独立である」みたいな問題記述だったら
ロジックの専門家でもやっちゃうことがあるし、その否定が正しい訳でもないんですが
conservative extentionって書いちゃったら（ZFCが矛盾していない限り）偽ですね。

ネットで手に入りやすい参考資料
・　http://math.stanford.edu/~feferman/papers/BernaysLecture3.pdf　の特にスライド8あたり（同名の論文あり）
・　http://arxiv.org/pdf/0810.1279v2.pdf　（もっと詳しい）

mathoverflowの
"Set theory for category theory beginners"ってトピックみたら
ShulmanさんとかHamkinsさんとかが普通に答えててﾜﾛﾀ

004136

2012/10/07(日) 00:11:03.94

話はちょっと逸れますけど私、代数幾何の教科書で有名なR. ハーツホーンが
「不完全性」の定義について吉永良正と同じように酷い勘違いしてるのも見たことあるんですよね…
自然に読者を誤解させるような用語法を使ってるロジシャンも酷いと言えば相当に酷いのですが。

Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
>　最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
>得ないことを示している．　　　　　　　　　　　　　　（R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）

望月先生もハーツホーンも「初歩的」なミスをしているのは
たぶん、普通の数学者は統語論と意味論の区別ができないからだと思います。
小平邦彦先生もこの区別が分かっていなかったフシがあります。

代数幾何学者がZFCなどの集合論について何かしら書いたものを読むときには
そもそも、Grothendieck学派の人達自身がZFCからはみ出した
Grothendieck宇宙の公理がどこで必要になるのかちゃんと分かってたのかどうかとか、
そのレベルで疑問符付きでやらないとダメなのかもしれません。

0042１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 03:02:29.44

もっちーの威を借る論法は破綻かよｗ

0043１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 08:20:44.43

噂の望月論文、問題の保存拡大とか書いてある後のところ読むと
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
みたいなこと書いてあるけど、こりゃ集合論者も真っ青だなｗ

0044１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 09:53:49.10

集合論がどういう研究なのか全く分かってないで書いてるね。
なんか「数学では答えは一つだけど現実社会でははそうじゃない」
って言われたときのあの脱力感。

0045１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 10:11:59.78

最先端の研究者は使えそうなものは何でも使うからね。
きちんと身につけてから使おうとしたら勉強だけで終わってしまう。

0046１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 10:22:11.49

他のスレ（VIPとかニュー速系も含めて）では望月先生マンセーのノリなのに
ここだけは望月先生をdisるスレになってるね！

0047１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 10:44:32.81

こんな話題性のある論文でZFCやZFCGを取り上げてくれているんだから
本当なら歓迎したいし個人的な本音としてはディスりたくなんかないさ。
しかしロジックの部分の内容が余りに的外れで擁護のしようが(ry

0048１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 10:45:20.70

俺の2chの書き込みが破綻したのは、まあどうでもいいんだが
もっちーの論文の信頼性が微妙に破綻しかけてることのほうがまずい

もっちーはDrakeを一応持ってるみたいだから、巨大基数とは何か、
みたいなことは或る程度知ってると思う

たぶん代数幾何学者は集合論には興味を持って勉強しようとするだろうけど、
一階述語論理についてきちんと勉強しようという気にはならないんだと思う（数学者的には、そらそうだわな）

集合論の言語は< =, ∈>であって保存拡大かどうかは
言語を意識的にfixして考えないといけない、とか
公理的な集合論を勉強するときはコンパクト性定理とかL-S定理とか
完全性定理と不完全性定理を知っていることは
基礎知識として仮定されていることが多い、とかそういうところで躓くんだと思う

0049１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 10:51:50.95

俺は数覚を頼りに色んな道具を使うから、下々の者はあとで合理化してくれ、って感じかな

0050１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 10:54:54.96

>>48
そういうところで躓いてたとしてもDrakeの本をさらっとでも見たら
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
なんて誤解はしないんじゃないか？
絶対性がどうとか、モデルに相対化させる記法とかさんざん出てくるんだから。

0051１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 10:55:44.64

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0052１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 10:56:58.60

やっぱりなんだかんだ言っても集合論は論理学なんだよね

0053１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 11:00:59.16

「ZFCGがZFCの保存拡大」って間違った主張をしているのは
ABC予想をZFCGで証明した後その主張からZFCの定理であると言うため？
だとするとかなり致命的なんじゃないの？

0054１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 11:01:52.86

なんかinteruniversalっていうネーミング自体
本当に大丈夫なのか心配になってくるよね

0055１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 11:02:41.04

>>53
abc予想はその前の節で証明されていることになっているはず

0056１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 11:06:34.01

>>55
だとすると何故必要もないのに、自分がよく知らない世界に立ち入って
怪しい理解に基づいた主張をするんだろう？

0057１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 11:36:49.33

同じ言語上の二つの理論に対して保存拡大と言うなんて
（しかも原文だと conservative extensionality になってる）
どう贔屓目に見ても保存拡大の概念を理解していないし
一階述語論理の言語とか理論とかを分かっているとは思えない

0058１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 12:42:32.67

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0059１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 15:47:49.30

もしかして>>41の
「相応に豊富な任意の公理系」って二階算術のことで、モデルってのは
二階算術としての標準解釈（Henkin解釈ではなく）だったりするのかな
まさかね

0060１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 15:49:39.15

訂正
×二階算術として
○二階述語論理として

0061１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 20:03:32.68

>>41
＞Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
＞>　最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
＞>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
＞>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
＞>得ないことを示している．　　　　　　　　　　　　　　（R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）

前半の完全と後半の完全は別の意味で使っているから正しいのでは？

0062１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 20:06:48.75

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0063１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 21:30:04.98

Speciesの理論のところが論理的に間違ってなければ
ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね

0064１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 21:46:07.86

Speciesの理論がどういった役割をするのかが重要で
保存的拡大の部分は枝葉末節。

0065１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 21:46:15.96

>>61
そら無理ってもんだろ

0066１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 21:49:12.49

>>64
それでどういう役割を果たすんだい？

0067１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 21:53:01.50

>>41
>Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
>　最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
>得ないことを示している．　　　　　　　　　　　　　　（R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）

吉永の誤解とは違うね。
吉永は完全性を決定可能性と同義だと誤解していたからね。

ハーツホーンが、例えば自然数論を二階論理上の理論と考えているなら
上記の文章がマチガッテルとはいえないな。
二階論理では、一階論理と違って完全性定理が成立しない。
そしてそれは、ゲーデルの不完全性定理から証明される。

0068１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 21:56:04.40

はいはい、君はそうやって超好意的な解釈持ち出して
「偉い人はやっぱり偉い」って言い続けていればいいよ

0069１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 22:05:32.47

>>63
＞ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね
誰かそんなこと言ってたか？
ロジックに関して初歩的な勘違いをしているね、という話しか出てないはずだが

0070１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 22:11:11.69

>>61と>>67は別人？
僅か1時間50分の間に同じ文章の解釈（間違いではない根拠）が
劇的に変わっているんだが同一人物ではあり得ない、よな？

007161

2012/10/07(日) 22:33:44.44

別人です。
私はハーツホーンは２つの完全性の違いをきちんと理解している可能性もあるんじゃないと主張しています。
たとえば翻訳者が２種類の完全性を同一のものと勘違いして意訳してしまったという状況もありえます。

0072１３２人目の素数さん

2012/10/07(日) 22:54:20.90

Google booksで原文見つかった。
原著のpp.70, 71。ちょっと広めに引用するけどfinally以降が相当する部分。

While we are discussing axiom systems, there are a few more concepts we should mention.
An axiom system is consistent if it will never lead to a contradiction.　That is to say, if it is not
possible to prove from the axioms a statement A and slso to prove its negation not A.
（中略）
Unfortunately, however, the logician Kurt Godel has proved that for any reasonably
rich set of axioms, it will be impossible to prove the consistency of that system.
So we will have to settle for something less, which is relative consistency.
(中略)
Another question about a system of axioms is whether it is categorical. This means, does
it describe a unique mathematical object? OR in other words, is there a unique model
(up to isomorphism) for the system of axioms?
（中略）
Finally, one can ask whether the axiom system is complete, which means, can every
statement that is true in every model of the axiom system be proved as a consequence of the axioms?
Again, Godel has shown that any axiomatic system of reasonable richness cannot be complete.
For a fuller discussion of these questions, see Chapter 51 of Kline(1972) on the foundations of mathematics.

0073１３２人目の素数さん

2012/10/08(月) 00:21:44.21

これだけ近い箇所で同じ単語completeを別の意味で使っているとは通常考えられないよね？
その直前か直後で「同じ単語を別の意味で使っています」と断り書きがあれば別だが、
>>61はそういう断り書きを示すことはできないんだよな？
あとはハーツホーンは正しく理解していたが誤ってという可能性だが
これはもう本人の責任であって「間違ってる」と言われても仕方がない話。

0074１３２人目の素数さん

2012/10/08(月) 07:38:28.01

そもそもKline(1972)ってのはおそらく数学史の本なので、
ハーツホーンはcompleteを含め論理学については何も知らないと思う。

0075１３２人目の素数さん

2012/10/08(月) 21:50:14.96

ゲーデル数化が可能な最弱の理論って知られていますか？

0076１３２人目の素数さん

2012/10/08(月) 23:34:29.76

その理論で再帰的可算な理論のコード化が出来るという意味なら
なかなかRobinsonのQとかRとかは良い感じに弱いよ

0077１３２人目の素数さん

2012/10/08(月) 23:41:56.64

RobinsonのQとやらが最弱かどうかはわからないんですか？

0078１３２人目の素数さん

2012/10/08(月) 23:50:41.49

その前に、「ある理論においてゲーデル数化が可能である」ということを、なんとなくではなしに厳密に定義しなきゃ

007976

2012/10/09(火) 00:18:31.88

そうなんだよね。そしてそれが大変。

ゲーデル数化は或る意味で多様体の局所座標みたいなものだから
きちんと定義して性質をまとめるのは有意義なんじゃないかな、
とは思うんだが、そういう研究はあまり見たことないな。

知られている中で最弱の～～だったらある程度文献を調べるだけで良いんだけどね。

0080１３２人目の素数さん

2012/10/09(火) 02:22:47.80

あと強いとか弱いもちゃんと定義して
その定義に則って最弱なものの存在も示さないとな

0081１３２人目の素数さん

2012/10/09(火) 08:23:50.26

強い弱いはペアノ算術を含む～～とかいうときの「含む」で良いんじゃないの。
つまり理論やモデルの解釈関係で良いはず。
こういうinterpretabilityについてはそれなりに研究されてるんじゃないのかな。

0082１３２人目の素数さん

2012/10/09(火) 08:29:21.26

論理式は有限種類の文字の文字列だと見做せるから
文字列 s のコードを G(s) としたときにゲーデル数化ができるというのは
チューリングマシンを用いて s から G(s) が計算でき、
また G(s) から s も計算できる、という定義で良いか。
異なるゲーデル数化同士の関係には再帰理論がそのまま応用できる。

008382

2012/10/09(火) 08:31:00.92

なんかダメな気がしてきた
82は無しで

0084１３２人目の素数さん

2012/10/09(火) 11:18:47.95

>>81
Hajek-Pudlak に書いてあったと思うけど
Robinson's Q とか Buss' S^2_i とか弱い体系は
全部 mutually intepretable になるはず。
だからその定義だとその辺の体系はすべて最弱。

008575

2012/10/09(火) 13:42:50.27

ゲーデル数化というよりも第二不完全性が成り立つ最弱理論は何かという方がわかりやすいですね。
数年前にQより弱いR'_0で第一の方が証明されたというPDFを読んで浮かんだ疑問でした。

0086１３２人目の素数さん

2012/10/09(火) 18:00:13.05

>>85
一般の理論Tにたして、何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるのか、
という本質的に全く同じ問題が残るわけだが

0087１３２人目の素数さん

2012/10/09(火) 19:28:23.03

どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

008882

2012/10/09(火) 20:56:46.23

要はゲーデル数みたいなものを考える、というだけなら
0または1に当たるものとsuccessor Sがあれば良い
そのゲーデル数の性質がどれだけ証明できるか、ということなんだよね

第二不完全性定理を（知られているやり方で）証明するためには
帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと

0089１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 15:13:57.79

それなんてコンセンサス？
RobinsonのQとか帰納法が全くないにもかかわらず
第二不完全性定理が証明できるわけだが。
何個か前のスレでもこの話題出てなかった？

0090１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 18:36:39.91

>>81が指摘しているように
解釈可能関係で同値なものは第二不完全性の観点からは区別する必要はない。
そして>>84が指摘しているように
帰納法が全く入っていない体系(Qなど)と帰納法のある体系がこの意味で同値になることがある。
つまり

***帰納法の有無は第二不完全性に影響しない***

わけなのだけれど、ということは>>88のいう
＞第二不完全性定理を（知られているやり方で）証明するためには
＞帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと
はどんな素人間のコンセンサスかよ、という話になる。

0091１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 19:06:17.79

えっ、マジ？
第一不完全性定理のメタ証明を理論Tの中で形式化するためには
Tが数学的帰納法の公理を持ってないといけないんじゃないの？？

0092１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 20:07:32.79

たしか「数学基礎論講義」の第二不完全性定理の証明のところで
第一と違ってΣ1式について帰納法を仮定していることに注意すること、
とかそういうこと書いてたような

0093１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 20:34:47.89

このスレのその10で、
ゲーデル数化には最低でもｘ＾log(ｙ)程度の演算が必要とあったんだけど、これの情報元が不明。
またゲーデル数化の可能なIΣ1＋Ω1がQで解釈可能なのでQは第二が成り立つとあったんだけど、これの情報元も不明。
それから弱い限定算術の体系（S^i_2とか）は、自分の無矛盾性の証明どころか、
自分よりも弱い体系の無矛盾性も証明できないので、どれが弱い理論なのかよくわからないのでは？
いったい何が正しいのか分からないから、できれば情報元を提示してほしい。

0094１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 20:48:17.12

ロジシャン一般向けの教科書だと大抵第一と第二で違う条件を仮定して証明していることが多くて、
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/terui.pdf
の18ページ脚注も
>実際には、PA ほど強力な証明能力は必要ではなく、高々Σ1 論理式に関する
>帰納法が使用できれば十分である。（
となってるので第二は帰納法が無ければ証明出来ない、と認識してる人が多いんだと思う。

ただHajek & Pudlakの最後あたりとか、Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
（Handbook of Proof Theoryの第二章）とかだとQに対して第二不完全性が証明してある。
限定算術について本格的に勉強したことある人はQでもOKということを知ってるんだと思う。
en.wikipedia.orgのQの記事にも、Qを含む理論に対して第二が証明できるよと
ちゃんと書いてあって文献も示してある。さすが英語版。

ただ>>90さんの言うように或る弱い算術の理論の中で
別の算術の理論を解釈するというやり方だとちょっと反則な感じがしないでもない。

0095１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 21:34:43.17

超準解析では、0はstandard、nがstandardならn+1はstandard、しかしnonstandardな自然数が存在する。
ネルソンのように超準解析を経由して帰納法に疑いを持つのは理解できる。

0096１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 21:51:21.54

Hajek & Pudlakの最後あたり
http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235421934

Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/handbookII/ChapterII.pdf

en.wikipedia.orgのQの記事
http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson_arithmetic

0097１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 22:04:19.11

>>68
何拗ねてんのｗ

私は代数幾何とか知らんから
ハーツホーンが偉いかどうか
なんて知らんよｗ

0098１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 22:06:45.76

だいたい二階論理では、一階論理と違って完全性定理が成立しない
というのは常識であって知らない奴はモグリ

0099１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 22:14:11.99

数学やっててハーツホーン？誰それ？って感じだったらそっちの方が怪しがられるぞ
東大でも京大でも数学科学部生に「ハーツホーン読んだことある？」って言ったら普通通じる
物理学科でも通じる人のが多いかも

0100１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 22:43:45.02

ハーツホーン？
あんたがいて、ぼくがいた。

森

0101１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 23:23:24.18

可証性述語のLoebの性質ってQでも証明できるの？

0102１３２人目の素数さん

2012/10/10(水) 23:35:36.16

S^1_2とかいうBASICの拡張理論で可動条件が証明されて
QでS^1_2を解釈して第二を示している（ように見える）。

0103１３２人目の素数さん

2012/10/11(木) 01:59:47.92

>>102
>S^1_2とかいうBASICの拡張理論で可動条件が証明されて
「とかいう」は余計だってのｗ
限定算術で一番有名かつ重要なのがS^1_2だ

0104１３２人目の素数さん

2012/10/11(木) 12:17:13.88

やってることは、うまい論理式C(x)を見つけてくると
Qの中で{x|C(x)}がS^1_2のモデルになる。
つまりこのクラスに相対化した帰納法はQで証明できる。
ZFCやZFC-InfはPAを含むから第二不完全性が成立つ、
と言った時の「含む」は
ZFC-Infの中で{x|Ord(x)∧x<ω}がPAのモデルになる
という意味だったのと同じこと。
前者は反則で後者はOKとするような条件は聞いたことがない。

0105１３２人目の素数さん

2012/10/11(木) 19:41:37.79

どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。

例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

0106１３２人目の素数さん

2012/10/11(木) 20:20:18.30

このコピペ初見から数年以上たってるけど
いまだに席巻どころかロジシャンの話題の端にものぼらないな

0107１３２人目の素数さん

2012/10/11(木) 23:05:33.54

反則と言うと語弊があるが、ZF^-のなかでより強い集合論である
ZFC+V=Lのモデルを作って議論したりするのと同じ話だと考えると
地の文のなかで何かを示すのとちょっとやってることが違う気がする
集合論のなかで自然数論を標準的に解釈する場合はあまり気にはならないんだけどね。
（勿論、その集合論の算術的命題についての健全性とか、気にすべきことが無い訳ではない）

この場合でもモデルの存在と無矛盾性が同値とかいうときの無矛盾性に含まれる
可証性述語だと考えて良いのだろうか、とか
無矛盾性が体系の無矛盾性をちゃんと保証しているだろうかとか、
そういう点でもちょっと考慮すべき点が増える。
Craigの補題（補間定理ではなくてφ∧φ∧……∧φを考えるやつ）とかの方が
余程「それってありかよ！？」という感じなので大した問題じゃないけどね。

それにしてもうまいやり方があるもんだね

0108１３２人目の素数さん

2012/10/12(金) 13:51:06.66

して、一般の理論Tに対して、
何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるんだね？

0109１３２人目の素数さん

2012/10/12(金) 19:13:13.03

>>106 ：１３２人目の素数さん：2012/10/11(木) 20:20:18.30
＞このコピペ初見から数年以上たってるけど
＞いまだに席巻どころかロジシャンの話題の端にものぼらないな

数年単にではなくて、数千年単位で見なければナランと想われ　(-。-)y

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

0110１３２人目の素数さん

2012/10/12(金) 19:55:48.68

御大は偉大なり。御大は偉大なり。御大は偉大なり。・・・・

0111１３２人目の素数さん

2012/10/13(土) 06:50:41.15

>>107
「ZFCはPAを含む」と言ったあとすぐに「ZFはV=Lを含まない」と言うと
「これだけ近い箇所で同じ単語『含む』を別の意味で使っているとは通常考えられないよね？
その直前か直後で『同じ単語を別の意味で使っています』と断り書きがあれば別だが」
なんて批判されるので気をつけないとな

0112１３２人目の素数さん

2012/10/13(土) 07:56:50.72

今日は決定性公理の日らしいので決定性公理について語ろう！

0113１３２人目の素数さん

2012/10/13(土) 20:52:16.91

決定性公理はQと矛盾するの？

0114１３２人目の素数さん

2012/10/13(土) 20:56:00.75

独立だよ。

0115１３２人目の素数さん

2012/10/13(土) 21:18:35.74

独立性はどのように証明しますか？

0116１３２人目の素数さん

2012/10/14(日) 00:25:32.68

ＡＣ
http://a0.twimg.com/profile_images/2705624117/1897dc2f1b0beced94f7f0737f26ab28_normal.png

0117１３２人目の素数さん

2012/10/14(日) 07:17:27.69

Con(ZF+AC) -> Con(ZF+notAD)
Con(ZF+AC) & Con(ZF+notAC)
Con(ZF) -> Con(Q)
Con(Q+AC) & Con(Q+notAC)

0118１３２人目の素数さん

2012/10/15(月) 22:00:07.15

>>115
ttp://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Jech%2C+T.+J.+%282003%29.+Set+Theory+%28The+3rd+millennium+ed.%29.pdf/205671048/Jech%2C%20T.%20J.%20%282003%29.%20Set%20Theory%20%28The%203rd%20millennium%20ed.%29.pdf
の14章で選択公理が独立なこと、33章で選択公理から決定性公理の否定が証明されることを示す。
ttp://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Kunen%2C+K.+%281980%29.+Set+Theory.pdf/205671054/Kunen%2C%20K.%20%281980%29.%20Set%20Theory.pdf
の4章演習問題にZF-InfとPAの無矛盾等価性がのってる。

0119１３２人目の素数さん

2012/10/17(水) 09:50:46.01

私的メモ
http://www.madore.org/~david/math/ordtrees.pdf
http://www.cs.tau.ac.il/%7Enachumd/papers/HydraRevisited.pdf

0120１３２人目の素数さん

2012/10/17(水) 15:08:43.61

thx

0121１３２人目の素数さん

2012/10/17(水) 23:11:04.29

論理学で
「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」
とあったのですが
写像f:(0,1)^2→Rをf(x,y):=x[y] (但し,[]はガウスの記号)
と定義すると
∀x∈(0,1)に対して,f(x,0.1)=f(x,0.2)=0ですが
0.1≠0.2なので「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」どおりになっていないと思うのですが、、
私の例は何処がおかしいのでしょうか?

0122１３２人目の素数さん

2012/10/17(水) 23:32:03.69

>>121
書名プリーズ

0123１３２人目の素数さん

2012/10/17(水) 23:40:47.85

すみません。
「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」
は置換公理の一部(十分条件)でした。
どうもおさわがせしました。

0124あのこうちやんは始皇帝だった

2012/10/18(木) 00:36:09.41

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0125１３２人目の素数さん

2012/10/18(木) 07:33:48.79

>>123
納得しているけど、あなたの書き込みを見る限り論理学の基本ができていない。

0126あのこうちやんは始皇帝だった

2012/10/18(木) 08:32:53.11

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0127１３２人目の素数さん

2012/10/18(木) 14:11:57.94

>>125
指摘は具体的に

0128１３２人目の素数さん

2012/10/18(木) 14:15:52.76

できない理由があるんだ、察してやれ

0129あのこうちやんは始皇帝だった

2012/10/18(木) 16:43:27.22

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0130１３２人目の素数さん

2012/10/18(木) 22:18:06.41

みなさん論理学のテキストとかって購入してます？
私は結構WEBに落ちてるんでipodなんかで読みますね。

0131１３２人目の素数さん

2012/10/19(金) 01:00:20.44

実はペアの算術のげー出る数かのFullga以下のmendelsonにのってる
http://page.mi.fu-berlin.de/raut/logic3/announce.pdf

0132１３２人目の素数さん

2012/10/19(金) 01:36:13.08

そりゃペアノ算術はすごく強いから（とかいうと普通の数学者は卒倒するよなあｗ）

0133１３２人目の素数さん

2012/10/19(金) 02:12:57.24

PAより弱い理論の次数がΠ^0_1クラスの基底になるかは興味深いが...

0134１３２人目の素数さん

2012/10/19(金) 07:01:08.33

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
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0135１３２人目の素数さん

2012/10/19(金) 12:00:47.02

>>132
なにその歪んだ選民意識

0136132

2012/10/19(金) 18:03:42.60

いや、どっちかというと
限定算術の研究とかすごい辺境の地なんじゃないかと

0137１３２人目の素数さん

2012/10/19(金) 20:26:54.85

http://www.cs.toronto.edu/~sacook/homepage/book/main.ps
今限定算術って言ったら計算量とか再起理論つながり

0138あのこうちやんは始皇帝だった

2012/10/19(金) 20:39:55.95

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　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　やっぱり只の糞キチガイ
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0139１３２人目の素数さん

2012/10/19(金) 21:02:44.21

今って何十年前から今なんだよ

0140１３２人目の素数さん

2012/10/20(土) 01:05:38.62

今世紀くらい

0141１３２人目の素数さん

2012/10/20(土) 05:23:22.82

すみません。ちょっと質問させてください。

置換の公理だけは"図式"を用いてしか定義できないのでしょうか?

0142あのこうちやんは始皇帝だった

2012/10/20(土) 07:37:42.37

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0143１３２人目の素数さん

2012/10/20(土) 13:01:51.02

QがCon(Q)を証明できないことはシェファードソンらによって直接的に証明された。
これは可動条件が証明されないということを示す。
次にウィルキーらがIΣ0＋expまでQを拡張してさえ、Con(Q)が証明できないことを示した。

0144１３２人目の素数さん

2012/10/20(土) 13:18:40.26

>>141
クラスという言葉を用いて良いなら有限個の公理に纏めることは可能。
集合についての言及だけしか使えないなら、ZFの公理を
有限個に置き換えることは不可能であることが分かっています。
ZFの公理で無限個あるのは置換公理（または分出公理）だけですから
公理図式という形で定義するしかない、ということになろうかと思います。

集合論の普通の教科書には大抵載っています。
「集合と位相」の教科書じゃないので注意すること。

0145１３２人目の素数さん

2012/10/20(土) 13:19:39.06

置換公理って言ってる人に最後は蛇足だったな

0146１３２人目の素数さん

2012/10/21(日) 01:52:16.05

私的メモ

証明論的順序数
http://wwwmath.uni-muenster.de/logik/Lehrveranstaltungen/04ss/LoSem/text.pdf

ランダムネス
http://www-2.dc.uba.ar/materias/azar/bibliografia/Downey2010AlgorithmicRandomness.pdf
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.141.3982&rep=rep1&type=pdf

0147１３２人目の素数さん

2012/10/21(日) 06:35:12.66

>145
どうも有難うございます。

0148米系留学生

2012/10/21(日) 23:03:48.85

とにかく数学に関する本はここにすべてある。
http://en.bookfi.org/
ウェブ上でもダウンロードも可能。
洋書は高いから欧米のストゥーデントはみんなここか図書館で勉強してるんだ。

0149１３２人目の素数さん

2012/10/25(木) 00:57:32.45

私的メモ

計算量クラスが大量に載ってる
http://www.cs.princeton.edu/theory/index.php/Compbook/Draft#model

0150馬と鹿と豚さん

2012/10/25(木) 07:19:12.22

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0151１３２人目の素数さん

2012/10/26(金) 09:28:00.33

私的メモ
nonclassical logic
http://emilkirkegaard.dk/en/wp-content/uploads/An-Introduction-to-Non-Classical-Logic-From-If-to-Is.pdf

0152１３２人目の素数さん

2012/10/26(金) 09:34:00.86

私的メモ
nonclassical logic part2
http://www.fenrong.net/events/msj2.pdf
http://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/dg/P.pdf
(700 page over

0153１３２人目の素数さん

2012/10/26(金) 09:39:37.07

document download page
http://citeseerx.ist.psu.edu/index

0154１３２人目の素数さん

2012/10/27(土) 02:08:38.47

私的メモ
lamda　culc
ページ数ぱない
http://www.cs.ru.nl/~henk/book.pdf

0155あほこうちゃんは馬サシ鹿ジンギスカン豚カツだった

2012/10/27(土) 02:53:29.61

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0156１３２人目の素数さん

2012/11/03(土) 19:08:18.29

「可動条件」って言葉このスレで初めて見たんだけど
どの本で使ってる用語法？

0157１３２人目の素数さん

2012/11/03(土) 21:07:39.37

工学の本ではよく出てくるな。

0158１３２人目の素数さん

2012/11/03(土) 23:03:50.82

工学の本ではLoebの条件のことを「可動条件」と呼ぶのか？

0159１３２人目の素数さん

2012/11/03(土) 23:05:42.04

あぁそれ俺の意訳

0160１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 01:00:03.15

我流用語を断りなしに使うのはトンデモの特徴って誰かが言ってたな
（このスレだったと記憶している）

0161１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 17:14:22.13

可導性条件というのがよく使われるが
一発で変換できないので可動条件と言ってるだけだよ。

0162１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 19:46:43.31

田中教授の数学基礎論講義って本読んだことある方いますか？
とりあえずこの本で勉強していきたいと思ってるのですが・・・

0163１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 20:20:44.79

>>162
何を勉強したいかによると思います。
現在、数学基礎論が数学全体のなかで、どのような意味をもっているか、
そして、どのようにつながっているかということから考えると、著者
（田中一之教授）の考え方は狭すぎると思います。
書いてあることはきちっとしていると思います、多くは本人でないから
かもしれませんが。

0164１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 21:04:24.51

＞多くは本人でない
あなたもそんなゴーストライターの一人？

0165１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 21:05:35.53

不完全性定理の解説書としては良いかもしれないけど、
論理学の初学者が独習できるだろうか。
MENDELSONの本のように、ここの定理の証明過程をきちっと書いた本を読むべきだろう。

0166１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 21:22:59.85

>>164
田中さんは著者ではなく編著。
つまり元請。実際の執筆は下請けの鹿島・角田・菊池3名。

0167１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 21:43:08.30

>>161
それを「我流用語を断りなしに使う」というんだろ

0168１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 21:48:12.47

誤変換を敢えて放置したものを我流用語とは普通呼ばないと思うが…ｗ

0169１３２人目の素数さん

2012/11/04(日) 22:20:16.86

>>168
読む人の手間はお構いなし、なのは良くない

0170１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 00:32:26.47

>>162です，レス下さった方々ありがとうございます

まだペーペーですが敢えていうなら逆数学やりたいなと思ってます
まずはゲーデル，ゲンツェンによる三大定理（？）をしっかり勉強してからですね

ありがとうございました

0171１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 00:52:04.01

>>170
最近では構成的逆数学というのもあるみたいだよ
ま焦らずしっかり勉強するのがいいと思うよ

0172１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 01:36:44.87

>>163
>現在、数学基礎論が数学全体のなかで、どのような意味をもっているか、
>そして、どのようにつながっているか

横レスですがこの辺りの事情について
非専門家でもわかるような文献を挙げてくれると有り難く思います

0173１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 02:01:46.83

>>172
割とよい本です。

確かさを求めて―数学の基礎についての哲学論考
M. ジャキント
http://www.amazon.co.jp/dp/4563003700

0174１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 02:21:58.47

>>173
数学全体のなかで？

0175１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 15:40:53.94

>>169
誤変換を放置したせいで読むひとの手間が多いのを我流用語というのか？

0176１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 16:41:19.41

誤変換を放置したせいで誤変換前の単語が想像できなくなれば我流用語でしょうね

0177訂正

2012/11/05(月) 17:33:14.42

>>120
>>143
×可動条件
○可導性条件

0178１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 18:45:17.75

「可動条件」が「可導性条件」の誤変換なら読みは同じってことだよな？
「可動」は「かどうせい」と読むのか？それとも「可導性」の「性」は黙字？

0179１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 19:23:09.32

何故そこまで食らいつくのかわからん
誤変換と脱字が同時に起こっている、と認めさせることがそれほど重要なのか？

0180１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 22:11:54.88

重要

0181１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 22:47:57.92

誤変換などではなく意図的な我流用語だと認めさせたいのではないだろうか

0182177

2012/11/05(月) 22:55:57.22

訂正
×>>120
○>>102

0183１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 22:59:21.45

>>102だけなら単なる誤変換
しかし>>140でまた独自の用語を使用
>>161で意味不明の釈明

0184１３２人目の素数さん

2012/11/05(月) 23:09:25.78

今世紀は独自の用語なのか？言いがかりのように見うけられるが

0185183

2012/11/06(火) 06:48:24.84

>>184
間違えた
>>140ではなくて>>143だった
人を批判してる場合じゃないな

0186１３２人目の素数さん

2012/11/09(金) 21:15:41.88

(A●B)●C=A●(B●C)
(●は排他的論理和xor)

の証明方法を教えて下さい

0187１３２人目の素数さん

2012/11/10(土) 01:56:34.76

AとBの排他的論理和は(A∨B)∧￢(A∧B) と書き直すことができる。

0188御令嬢様

2012/11/10(土) 05:37:45.50

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　／:::::; -‐''"　　　　　　 `ｰノ
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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　　ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　 | 　　　　 ` -'＼　　　　　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　　＿＿／　ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､　　ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　ﾋﾆ二、　＼
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0189186

2012/11/10(土) 12:17:22.43

>>187
だからそれを使って証明をしろということなんですが

0190１３２人目の素数さん

2012/11/10(土) 12:20:49.44

「証明」の意味がはっきりしないが、どのみち命題論理の式なら機械的に証明できるでしょ

0191１３２人目の素数さん

2012/11/10(土) 13:13:39.31

真偽表を使ってやったら簡単

0192１３２人目の素数さん

2012/11/10(土) 13:16:42.05

>>189
できたところまでを書いてみろ。わからない所がどこなのかが逆にわからん。

0193１３２人目の素数さん

2012/11/10(土) 13:57:27.43

>>186
Ａ●ＢをＡ＋Ｂ（mod2）に読み替える

0194１３２人目の素数さん

2012/11/10(土) 14:47:14.91

>189
>190の通りだな。どのレベルが必要なのかはっきりしなきゃ答えようが無いわ。
単なる確認なら真偽表で十分。

0195１３２人目の素数さん

2012/11/17(土) 22:03:46.38

ふちの先生を尊敬します

0196１３２人目の素数さん

2012/11/18(日) 00:37:15.44

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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0197１３２人目の素数さん

2012/11/18(日) 01:03:47.12

F先生ねえ…日本の集合論者といえば一番に名前が上がる人だし
日本集合論の権威と言ってもいいかもね。
数学者は権威を嫌うけど。

0198１３２人目の素数さん

2012/11/29(木) 15:58:55.97

かきこみがぱったり途絶えてしまっているがここの常連さんたちは規制にでも遭ったのか？

0199１３２人目の素数さん

2012/11/29(木) 17:58:26.21

つまり全ては○○○の自演だったんだよ！

0200１３２人目の素数さん

2012/11/30(金) 13:28:21.54

スレを盛り上げようと定期的にネタを投下する奴がいるんだが
同じネタの使いまわしで段々飽きてきたのさ。

0201１３２人目の素数さん

2012/12/04(火) 16:38:50.34

凄まじい。既成政党を打破とか言ってるけどお前のとこが一番独善的
共産党やナチスより酷い妙ちくりんな集団
前科者も複数紛れて、いかにも大阪らしい

無党派さん[] 投稿日：2012/12/03(月) 21:55:03.05 ID:3W6Dp3GZ [11/13]
http://www.jiji.com/jc/c?g=pol_30&;k=2012120300800

維新　比例名簿の登載順位は次の通り。
（丸囲み数字は順位。同一順位の重複立候補者名は省略。前＝前職、元＝元職、新＝新人。敬称略）
　【北海道＝４人】(1)重複候補３人　(4)米長知得（新）
　【東北＝１１人】(1)小熊慎司（新）＝福島４区　(2)重複候補２人　(4)重複候補８人
　【北関東＝１８人】(1)上野宏史（新）＝群馬１区　(2)石関貴史（前）＝同２区　(3)重複候補１４人　(17)植竹哲也（新）(18)仲田大介（新）
　【南関東＝２０人】(1)小沢鋭仁（前）＝山梨１区　(2)松田学（新）　(3)重複候補１６人　(19)田中甲（元）　(20)横田光弘（新）
　【東京＝２２人】(1)石原慎太郎（元）　(2)今村洋史（新）　(3)山田宏（元）＝東京１９区　(4)重複候補１８人　〔２２〕上村昭徳（新）
　【北信越＝１０人】(1)中田宏（元）　(2)重複候補８人　(10)堀居哲郎（新）
　【東海＝１４人】(1)藤井孝男（元）　(2)今井雅人（前）＝岐阜４区　(3)重複候補１１人　(14)近藤浩（元）
　【近畿＝４０人】(1)東国原英夫（新）　(2)西村真悟（元）　(3)重複候補８人　(11)三宅博（新）　(12)重複候補２８人　〔４０〕喜多義典（新）
　【中国＝８人】(1)重複候補６人　(7)藤井昇（新）　(8)谷本彰良（新）
　【四国＝７人】(1)重複候補４人　(2)重複候補２人　(7)大内淳司（新）
　【九州＝１９人】(1)松野頼久（前）＝熊本１区　(2)重複候補１７人　(19)黒仁田典之（新）

マスコミに踊らされる前に、中身見たほうがいいな

0202１３２人目の素数さん

2012/12/06(木) 19:26:35.84

話もどるけどさ
結局、可導性条件って証明できるものなの？なんかどの教科書見てもちゃんと書いてないんだけど

0203１３２人目の素数さん

2012/12/06(木) 23:34:47.91

D1とD2についてはちゃんと書いてると思うけど
あと新井敏康の数学基礎論にはかなりきちんと書いてあるとか聞いたような
それからD3についてはSmorynskiとかBoolosの本とかが参考文献に挙げられてる本が多いはず

0204１３２人目の素数さん

2012/12/09(日) 17:26:32.36

>>202
shoenfiledの本にのってる
ウェブだと
http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/godelmoeder.pdf

0205１３２人目の素数さん

2012/12/09(日) 18:01:41.16

お二人方さんきゅー
紹介してくれた本見てみます

0206１３２人目の素数さん

2012/12/15(土) 18:00:45.63

前原昭二「数学基礎論入門」を読んでいるのですが、以下の練習問題が解けません。

①　∃y∀x( F(x) → x=y)
②　∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

問題は、①と②が同値であることを示せ、です。
②→①はわかるのですが、逆がわかりません。

どなたかヒントでもいただけたら・・・

0207１３２人目の素数さん

2012/12/15(土) 18:59:23.13

きっちりとした証明は公理と推論規則の選び方に依存するので概略だけ

∀x( F(x) → x=y) と F(x)∧F(y) を仮定として（∀に関する推論規則を用いることなく）
F(x) → x=y と F(x) が出てきて、従って x=y が出てくる。

├ ∀x( F(x) → x=y) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃y∀x( F(x) → x=y) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

0208１３２人目の素数さん

2012/12/15(土) 19:47:25.42

回答ありがとうございます。

１行目から２行目の変形がよくわかりません。もう少し説明お願いします。

0209１３２人目の素数さん

2012/12/15(土) 20:12:31.76

ごめん間違えた

∀x( F(x) → x=z) と F(x)∧F(y) を仮定として（∀に関する推論規則を用いることなく）
F(x) → x=z と F(x) が出てきて、従って x=z が出てくる。
F(y) → y=z と F(y) が出てきて、従って y=z が出てくる。
x=z と y=z から x=y が出てくる。

├ ∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

├ ∃y∀x( F(x) → x=y) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)

0210１３２人目の素数さん

2012/12/15(土) 23:46:29.33

>F(x) → x=z と F(x) が出てきて、従って x=z が出てくる。
>F(y) → y=z と F(y) が出てきて、従って y=z が出てくる。
>x=z と y=z から x=y が出てくる。

その下の論理式との対応がよくわかりません・・・

021136

2012/12/16(日) 14:17:13.52

望月先生の論文のちょっと上で出てた箇所は直してありますね
speciesの定義以降は見てないですが

0212１３２人目の素数さん

2012/12/17(月) 06:39:50.62

>>211
その箇所は自分の能力を越えると認めているね

0213１３２人目の素数さん

2012/12/17(月) 08:44:14.45

Barry CooperのComputability Theoryの二版って
2011年に出ることになっているようですが、
amazonでも他のサイトでも見つかりません
どうせ買うなら二版が良いんですが何時出るんでしょうか？

0214206

2012/12/18(火) 23:15:56.19

やっとわかりました。ありがとうございます。

0215１３２人目の素数さん

2012/12/25(火) 09:51:19.10

kindle頼んだから今度からいつでもどこでもlogicの論文読める！まだカスだが頑張るぜ！

0216１３２人目の素数さん

2012/12/31(月) 04:33:41.86

universe, metacategory　のあたりの話題はこのスレでは
スルーされますか？

0217１３２人目の素数さん

2012/12/31(月) 14:35:17.76

metacategoryって要は公理論的な圏論のことでしょ？
どこに意義があるの？

0218216人目の素数さん

2013/01/01(火) 04:51:54.46

あ　どうも216です
217様　レスありがとうございます
意義というほどのおおげさなものは・・・
２１６の萌えストライクゾーンが公理論と圏論とにまたがっておりまして
・・・これだと書き込みの理由にはならんのでしょうが
「なら圏論スレへ」
「あちらは痛すぎますので」
つうことです　年明け早々ご迷惑をおかけしております　

0219１３２人目の素数さん

2013/01/02(水) 21:11:18.01

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0220１３２人目の素数さん

2013/01/26(土) 14:55:18.13

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0221１３２人目の素数さん

2013/01/26(土) 16:48:39.11

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0222１３２人目の素数さん

2013/02/21(木) 04:58:24.80

証明論的意味論ってなんぞ

0223狢 ◆yEy4lYsULH68

2013/02/21(木) 10:16:25.32

>>589
詳しい説明を頼みますがな。ちゃんとカキコして下さいまし～ん。

ケケケ狢

>589 名前：１３２人目の素数さん：2013/02/20(水) 15:29:26.89
> >>587
> >何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。
>
> 持ち上げるような学校ではないと思うが
> 入るのにほとんど頑張る必要が無い大学の学科なのだし
> 俺の知人の阪大基礎工あがりのカスは
> ただの性犯罪者だ
>

0224216人目の素数さん

2013/02/21(木) 12:08:56.21

>>223 名前：狢 ◆yEy4lYsULH68 様へ
なんか年月日やレス番号が混乱してませんか・・・５８９はどこのスレ
でしょう前スレはDAT落ちしてますし2013/02/20(水) 15:29:26.89
にはこのスレは誰も書き込んでいないと思うのですが？

0225狢 ◆yEy4lYsULH68

2013/02/21(木) 15:30:54.38

>>224
まあそういう事もアルでしょう。私は唯単にこのコピペを馬鹿板焼却の
材料として利用しているだけです。近々、また別のものに入れ替えます
ので、今暫くお待ち下さい。

狢

0226216人目の素数さん

2013/02/21(木) 17:31:11.97

>>225
はい諒解いたしました次回バージョンを期待します（～～）

0227狢 ◆yEy4lYsULH68

2013/02/21(木) 17:54:50.14

そうですか、なるほど。

狢

>595 名前：１３２人目の素数さん：2013/02/20(水) 20:56:54.96
> >>590
> 好みの女性を見るとムラムラして
> 触りまくることで有名なやつだったな
> 名字は増田って奴だがしらんか？
>
> 増田は痴漢以外にも飲尿療法にも凝ってるそうで
> よく紙コップにおしっこして
> その場で飲んで、その日の体調について語ってた。
> 気持ち悪かった。
>

0228216人目の素数さん

2013/02/21(木) 20:52:56.51

猫さんのことですか？
飲尿療法の話は初見です
まあ２chの数学関連板は猫さんのおかげで
いくらかは質が高くなった面もありますしねえ
AA過投のパターンよりは評価しますよ
で狢さんは他のコテハンつかったりするんでしょうか？
（うっかり見当違いな対応すると笑われそうなのでvvvvvv）

0229１３２人目の素数さん

2013/02/22(金) 03:05:10.89

見え見えの一人芝居もお終いにしてはどうだろうか？

0230216人目の素数さん

2013/02/22(金) 06:54:59.28

>>229さんへ
早朝（深夜？）からご苦労様です
しばらく書き込んでくれるひとがいなくてどうしたのか
と思ってました　狢（貉？）さん≒猫さんらしいのですが
それは私２１６人目の素数とは別人28号です
文体でたぶん読み取れると思いますが

それはそうとこのスレの常連さん達どこへいってるんですか？
私待ちくたびれて「数学の哲学」板で遊んでました
みんな帰ってきてくれないかなあ
こうなったらスレタイスレさん（TTTさん？）でもおkなんでwww
貉さんvsTTTさんvs非因果的ブラックボックスさん
とかいうバトルロイヤル読んでみたいよー（～～）/♭

0231１３２人目の素数さん

2013/04/24(水) 18:53:26.32

東大出版から出た「記号論理学入門」ってどうなん？

0232１３２人目の素数さん

2013/04/24(水) 23:40:15.57

・数理論理学（ロジック）とは？

　「ZFC ＋可測基数の存在」……（M）
は無矛盾である、と言うと必ず突っ込みが入り、
Mは無矛盾ではない、と言っても当然突っ込まれ、
Mが無矛盾であることが証明できる、と言っても必ず突っ込まれ
Mが無矛盾であることは証明できない、と言っても必ず突っ込まれる、

そんな微妙な命題を扱うギザギザハートな分野です

0233１３２人目の素数さん

2013/04/25(木) 07:18:14.86

>>232
微妙な命題なんかどこの分野にもあるわい

0234１３２人目の素数さん

2013/04/25(木) 10:43:20.69

よくわかんねえな…

0235１３２人目の素数さん

2013/04/25(木) 21:09:30.89

>>233
２～３分野での例を出してもらえないだろうか。

0236１３２人目の素数さん

2013/04/26(金) 11:30:23.99

物理学でも美学でも数学の他の分野でも予想はされるけど、
証明も実証もされないものは腐るほどあるだろ。

0237１３２人目の素数さん

2013/04/26(金) 22:56:45.15

それらは微妙な命題なせいで証明も実証もされないのか？

腐るほどあるなら、２～３でいいので実例を出してもらえないか？

0238１３２人目の素数さん

2013/04/27(土) 10:59:04.12

>>231
清水義夫の？
哲学出身の人だから説明がていねいでわかりやすいよ

0239１３２人目の素数さん

2013/04/27(土) 20:40:49.11

未解決問題で探れば？
意識のハードプロブレム始め、問題がそもそも何なのか、
定義から難しい問題がいくらでも世の中には転がっている。
基礎論の物なんか初歩的にすぎない。
お前は物を知らなすぎ。知識も探索力もない、馬鹿すぎ。

0240１３２人目の素数さん

2013/04/27(土) 20:49:24.09

つまりなにもあげられないんですね

0241１３２人目の素数さん

2013/04/27(土) 21:25:22.64

>>240は煽るだけで何の生産性も生み出さない屑

0242１３２人目の素数さん

2013/04/28(日) 13:59:53.14

昨日行われた書泉のイベントの足立恒雄の講演会に行った人いませんか？
もしいたら様子を教えてください。ちょっと行けなかったもので。

0243１３２人目の素数さん

2013/04/29(月) 05:46:17.99

>>233
で、結局具体的にはなにも知らないものを
いくらでもあるなんて言っちゃったの？

0244１３２人目の素数さん

2013/04/29(月) 06:14:37.76

>>243
悔しいのか

0245１３２人目の素数さん

2013/04/29(月) 06:18:30.99

質問されたら煽られたと逆切れして人格否定を始める。
だれが悔しいのかはよく考えてみるといい。

0246１３２人目の素数さん

2013/04/29(月) 12:28:32.16

白本でテストでカットがでるとか背理法がでるとかいう問題の問題自体間違ってるけど。
問題の訂正のしかたがわかるやついる？？
結構間違い多いけどここだけはどう考えてもどこが間違ってるのかわからないんだよな。

0247１３２人目の素数さん

2013/04/29(月) 22:26:44.73

>>243は憶測で「なにも知らない」と勝手に決めつけ、それを前提にして質問をしているので無意味である

0248１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 02:15:15.24

>>247
>>243がそのように感じるかどうかはさておき>>237も先んじてそれを決めつけているとでも？
あまりにものらりくらりと逃げ続けてまともな返答をしないから煽りが入ったのではないか？

0249１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 11:53:29.49

横だが、オレでも「いくらでもある」と言っちゃうだろうな
具体的に探そうとすると凄く大変だろうが
ないと思ってる奴がいるとは思えんから、大変だと分かってて具体例を要求したんだろ？

0250１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 21:29:48.68

誰一人具体例を挙げられないものがほんとうにいくらでもあるのか？
あったとしても、あまり研究されていないところにひっそりとってくらいじゃないの？

0251１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 21:53:43.68

ていうかさ、
>>239
＞未解決問題で探れば？
＞意識のハードプロブレム始め、
ちゃんと具体例挙げてんじゃん、検索ワードも教えてくれてるし
これで逃げ続けてるとか、いちゃもんとしか思えないんだけど

0252１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 22:10:56.40

>251
それ命題ちゃう

0253１３２人目の素数さん

2013/04/30(火) 22:42:59.03

で、肝心の>>232の（M）はどう捉らえればいいの？

0254１３２人目の素数さん

2013/05/01(水) 07:14:38.03

ただし可測基数の定義の標準は今後このスレで管理するものとする　　（M＋）
でおk？

0255１３２人目の素数さん

2013/05/02(木) 23:49:09.82

俺は237じゃないけど、

>>239
可測基数の存在は、別に未解決じゃないよ。
将来的にどう解決されるということもない。
ただ、真でも偽でもないし独立だと言い切ることもできず、
（実際には矛盾していると思ってるまともな学者はいないけど）
論理的には矛盾している可能性が残る、それだけ。

あと哲学の命題を持ってきてもっと微妙だとか言われても……
数学の中でどういう分野か、というつもりだったのに
永田町の政治力学はもっと繊細精妙かつダイナミックだ、みたいなズレた話されても困る

0256１３２人目の素数さん

2013/05/03(金) 15:38:09.42

「論理学をつくる」でいわゆるcutting
Γ|=A　かつ　A，Δ|=B　ならば　Γ，Δ|=B
を証明するときに（p７０）、
AがΓ、Δ、Bのいずれにも含まれていない原子式を含んでいる場合、
Γ、Δ、Bが含んでいる原子式への真理値割り当てVを考えても
そのVがAの原子式に真理値を割り当てるとはかぎらないという理由で、
Aの原子式への真理値を補ったVプラス、を考えるのだけれど、
新しい論理式に出会うたびにVを拡大するのはめんどいのでは？
はじめから人工言語Lに備わる”すべての”原子式への真理値割り当てVを考えてはだめなのか？

0257１３２人目の素数さん：

2013/05/08(水) 23:51:17.75ID:kYzPZy/E!

最近,クラスなるものを知りました。

集合全体の集まりは典型的な(非集合な)クラスの例かと思ってましたら,これは宇宙と呼ばれる真クラスでクラスではないのだそうです。
それでなるべくシンプルな非集合なクラスの例をお教え下さい。

0258あぼーん

NGNG

あぼーん

0259１３２人目の素数さん

2013/05/10(金) 00:23:36.57

＞これは宇宙と呼ばれる真クラスでクラスではないのだそうです。
真のクラスproper classはクラスですよ。
クラスであって特に集合ではないものをproper classと呼びます。
ですからV:=（集合全体の集まり）はクラスの例です。

ただ、もっと根本的なproper classの例としては
R = {x; x ∈x} = (自分自身に属さないような集合全ての集まり)
があります。

0260１３２人目の素数さん：

2013/05/10(金) 12:53:22.68ID:NEbGzGwV!

ご回答誠に有難うございます。

metaclassの中にはproper classと集合の2種類しかないのですね。metaclassから上はもう無くて,
proper classとして典型的な例が集合全体の集まり(宇宙)とラッセルパラドクス(クラス抽象体)が先ず挙げれるのですね。そのほかにもproper classは色々とあるらしい。

単にclassと言ったらproper classの可能性もあるのですね。

class(proper class,集合)の要素は常に集合なのですよね? 集合以外の要素を含むclass(これはもはやproper classでしょうが)ってどんなのがあるのでしょうか?
もし簡単な例があれば是非お教え下さい。

0261１３２人目の素数さん

2013/05/10(金) 14:56:59.99

宇宙って圏論とかにでてくるけどさー。
集合論の本で宇宙が詳しくのってるやつ教えてくりくり

0262あぼーん

NGNG

あぼーん

0263１３２人目の素数さん

2013/05/11(土) 08:34:00.74ID:aYtAiUS9!

>261

公理的集合論「田中尚夫」のp52です。

0264あのこうちやんは始皇帝だった

2013/05/11(土) 19:43:32.57

　無職のクソガキども！　　大変なコトになるな！

憲法改正だ！　９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！　これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキは、真っ先に徴兵！
おまえたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！　すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！

0265あぼーん

NGNG

あぼーん

0266１３２人目の素数さん

2013/05/12(日) 20:52:01.96

>>263
変わったタイトルと著者名だなw

0267１３２人目の素数さん

2013/05/13(月) 00:35:47.50

数学板なのに>>260とか>>263にはIDが表示されてるのは何故なの？

0268１３２人目の素数さん

2013/05/16(木) 13:51:01.23

公理的集合論は絶版なようなので
復刊　公理的集合論には宇宙は乗ってますか？

0269１３２人目の素数さん：

2013/05/19(日) 01:43:59.06ID:2fcKR6l/!

すいません。

「∀x∈Aに対してf(x)∈B」という命題はもしA=φの場合は偽なのでしょうか? それとも真なのでしょうか?
"∀x∈A"そのものが偽だから「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真かなぁと思ったりしてるのですが。。

どなたかお教え下さい。

0270１３２人目の素数さん

2013/05/19(日) 02:45:02.22

>>269
「対して」を論理記号で書いたらすぐにわかる

0271１３２人目の素数さん

2013/05/19(日) 02:50:22.50ID:2fcKR6l/!

ええっ? すいません。"対して"は論理記号でどのようにかけるのでしょうか?

「∀x(x∈A→f(x)∈B)」でしょうか?
A=φならx∈Aは常に偽なので, (x∈A→f(x)∈B)は常に真ですよね。
従って, A=φの時は「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真ですか?

0272１３２人目の素数さん

2013/05/19(日) 02:50:29.82

∀x∈A(P(x))は∀x(x∈A⇒P(x))の略記だからA=φのときは自動的に真

0273１３２人目の素数さん

2013/05/30(木) 11:53:58.52

濃度がアレフ1の集合の具体例って何かあるんでしょうか
(「具体例」の意味が曖昧ですみませんが
「自然数の集合」とか「実数の集合」みたいな感じで)

0274１３２人目の素数さん

2013/05/30(木) 15:09:07.14

有理数全体の集合Qの部分集合で部分順序として整列集合となっているもの全体について順序同型なもの同士を同一視したもの｡

0275１３２人目の素数さん

2013/05/31(金) 20:33:46.65

>>267
IDにmathが出るまで馬鹿乙
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1309073689/

0276273

2013/05/31(金) 23:10:13.34

>>274
ありがとうございます
ところで、こういう例や証明が載っている文献ってあるんでしょうか

0277１３２人目の素数さん

2013/06/01(土) 10:15:33.21

からかわれてることに気付きなさい

0278１３２人目の素数さん

2013/06/01(土) 10:46:01.39

証明論的意味論ってなんですか？

0279１３２人目の素数さん

2013/06/01(土) 14:41:28.13

自明だよねえ

0280１３２人目の素数さん

2013/10/08(火) 14:54:00.97

あげ

0281１３２人目の素数さん

2013/10/22(火) 16:46:35.92

>>273
可算順序数全部の集合(まんまや)

0282１３２人目の素数さん

2013/11/01(金) 17:13:48.32

現在、田中一之『ゲーデルに挑む』などを読んで不完全性定理の勉強をしております。
そこで質問なのですが、体系Pの記号列をゲーデル数化すれば、
体系Pの論理式や証明は全て1つの自然数に対応するのに、それにも関わらず
自然数から自然数への関数(再帰的関数)に対応する、体系Pの述語とは何なのでしょうか？
ここのところが分からず、再帰的関数の例や表現定理がすんなり入ってきません。

0283１３２人目の素数さん

2013/11/01(金) 21:09:14.85

「体系P」で何を指してるのか良く分からない

あと「対応」でどういう対応を指しているのかも不明瞭
特に再帰的関数に述語が対応すると述べている後ろの方の「対応」

0284１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 01:13:59.08

>>282
3～4行目が何を言いたいのか全然分からない。

0285１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 10:28:11.66

282です。言葉足らずで申し訳ありません。
体系Ｐというのは、ゲーデルが不完全性定理の原論文で用いているもので、
おおよそペアノの公理と1階述語論理を合わせてできる形式体系です。
（ほかに、内包公理や外苑性公理がある）

ゲーデルは、体系Ｐの原子記号に自然数を割り当て、その後素数のベキ乗を用いて
体系Ｐの有限列（論理式）、体系Ｐの有限列の有限列（証明図）に自然数を割り当てます。

すると、そのあとに、ゲーデルは、「原子記号や原子記号の列の間の関係Ｒが与えられると、
これにたいして、自然数の間の関係Ｒ’がとれる」と述べています。
（Ｒは原子記号を変数に、Ｒ’は自然数を変数にもつ）
この部分の意味がわかりません。
一体、この関係Ｒとは具体的にどのようなものなのかがわからないのです。

まだまだうまく言えてない部分があると思いますが、どうぞよろしくお願いいたします

0286１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 10:53:02.21

285です。訂正です。
関係Rの変数は原子記号ではなく、原子記号または原子記号の有限列でした。

0287１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 11:28:12.03

たとえば○○という式は△△という式のxにaを代入したものである、というのは２つの記号列の関係だよね。
またある式の列がある式の証明になっている、というのは「記号列の列」と「記号列」との関係になっている。

まだまだ例は挙げられると思うけど、布団の中で書いているのでここまで。

0288１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 11:47:50.31

英語版なので多少言葉使いが変わってるかもしれませんが、

ゲーデルはまずすべての論理式に自然数が割り当てられることを説明しました。
それは、体系Ｐで使われる記号に自然数を割り当て、
その自然数のベキを使って論理式に自然数を割り当て、
その自然数のベキを使って証明過程を数列と考え証明されるすべての論理式に自然数を割り当てました。
これで体系Ｐから出てくる論理式すべてに自然数が割り当てられました。

次にゲーデルは公理とか変数とか論理式という
人が考えている概念を自然数を変数にもつ述語でつくれないかと考えています。
例えばＲ(Ａ)で「論理式Ａは公理である」というようなものです。
しかし論理式Ａは記号列であって自然数を変数にもつ述語に代入できません。
そこで、先ほどの論理式と自然数の割り当てをΦとおくと、
論理式Ａとそれに割り当てられた自然数ｎについてΦ(Ａ)＝ｎと書けます。

このとき以下の２つが同値になるようにしようといっているんです。

１）Ｒ’(x_1，…，x_n)　が自然数x_1，…，x_nについて成り立つ
２）x_1＝Φ(Ａ_1)　のとき、Ｒ(Ａ_1，…，Ａ_n)　が論理式Ａ_1，…，Ａ_nについて成り立つ

で最終的に「証明可能」なんかも述語として定義していくのです。
（実際にはその定義の前に原始再帰の説明が張り込んでいます。
ゲーデル論文で１、・・・４６（くらい）まで
列挙されているものがＲ’となります。）

0289１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 12:39:30.71

とはいえオントロジーや記述論理など
件のRやAを直接扱う機構は存在しています、

0290１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 12:50:30.78

287さんと288さん、回答ありがとうございます。

ということは、287さんが挙げた例の「代入したものである」、「証明になっている」や、
288さんが挙げた例の「論理式である」以外にも、
形式体系Pの、記号列と記号列の関係であればいいのでしょうか？

例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、
「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか？

288さんの解説の部分におけるゲーデル論文で、少し分からない点があります。
288さんは最後に、「ゲーデル論文で列挙されているのが関係R´」と述べられています。
ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、
自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか？

0291１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 13:22:22.76

関係を関数と思うこともできるけど、わざわざそう思う必要はない
「xとyを7で割った余りは等しい」とか「x+5はyより大きい」をxとyの関数と思っているの？

0292１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 13:56:32.30

内包公理や外延性公理があるのに一階なのかよ、というのはおいといて、
その部分は多分記号列とそのゲーデル数を同一視することで、
記号列の性質を自然数の性質と同一視しよう、と言ってるんじゃないの

0293288

2013/11/02(土) 16:34:50.23

>>290
>例えば、「論理式Aは変数を含まない」をR(A)で表したり、
>「論理式Aは論理式Bの否定である」をR(A,B)で表してもよいのでしょうか？

そうです。

私が読む限りは、単に論理式Aと論理式Bの間の関係を表す述語を考えるときに、
論理式のまま扱えないからそのゲーデル数を論理式と思って使いましょう
といっている程度の話だと思います。

>ということは、ゲーデルが1から46で行っているのは、
>自然数から自然数への関数を定義していると考えればよいのでしょうか？

関数と述語は違います。１から４６は述語を作っています。
関数は単なる値でしかないので、succ(0)みたいな数値と変わらないです。
succ(0)＞0のように「真偽が決まる」ようになったものが述語です。

0294１３２人目の素数さん

2013/11/02(土) 17:24:33.74

291さん、292さん、293さん回答ありがとうございます。
関係Rについて、ずいぶん理解が進んだと思います！
ですが、今まで、関数、関係、述語などを混同していました。
基礎からもう少し考えてみようと思います。
またよろしくお願いいたします。
(すぐまた質問してしまうかも・・・)

0295１３２人目の素数さん

2013/11/05(火) 17:34:30.90

294です。
田中一之『ゲーデルに挑む』での再帰的関数のところに関する質問です。
ゲーデル論文において、1から46の関数を列挙するとき、
例えば13番目では、「Neg(x)は、xの《否定》」とあります。
※ただし、《》はメタ数学的概念の算術的表現です。(本書p57より)

これは、「関数Neg()に自然数xを代入してできる関数値Neg(x)は、
自然数xに対応する形式体系Pの記号列Aの否定￢Aに対応する自然数」
との解釈でよいのでしょうか？

なにぶん下手な文章ですが、お時間あれば回答お願いいたします。

0296１３２人目の素数さん

2013/11/05(火) 21:54:58.79

それで良いと思います

0297１３２人目の素数さん

2013/11/06(水) 16:45:50.21

296さん回答ありがとうございます。
はじめは、見知らぬ用語がたくさん出てきて困惑したのですが、
このスレのおかげで少しずつ理解が進んできたように思います。
また、よろしくお願いいたします。

0298１３２人目の素数さん

2013/11/16(土) 13:30:16.38

述語論理の完全性定理の証明を追っているのですがどうもわからないことが
あります。
というのは、∃x.P(x)が現れると、∃x.P(x)→P(c/x)　を追加して．．．
というのはいつも出てくるのですが、∀x.P(x)の場合の考慮があまり表面に
出てこないのはなぜなのでしょうか？
特に、∀x∃y.P(x,y)　のような場合にどうするんだろうというのが気になる
のですが。
どなたか教えていただけないでしょうか？

0299１３２人目の素数さん

2013/11/16(土) 18:33:22.21

∀x∃y.P(x,y)は￢∃x.￢∃y.P(x,y)と同じだから後者を考えれば良い

0300１３２人目の素数さん

2013/11/16(土) 20:10:58.33

>>299
後者を考えれば良い、とはどういうことなのですか？後者とは？

0301１３２人目の素数さん

2013/11/16(土) 21:15:00.68

>>300
AはBと同じだから後者を考えれば良い、と言ったとする
後者とはBのこと
Bを考えれば良いと言っている

0302１３２人目の素数さん

2013/11/16(土) 21:31:00.46

>>301
￢∃x.￢∃y.P(x,y) を考えれば良いということなのですね？
それが分からないという質問だったのですが。どう考えればよいのでしょうか？
∃y...をどう考えればよいかは分かるのですが、￢∃x...をどう考えればよいのか分かりません。
∃yと￢∃xは、随分違いますよね

0303１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 13:49:33.15

専門家じゃないんであくまで俺の理解の範囲で、なんだが・・・

完全性定理（モデル存在定理）を示すためにΓを拡大してるわけで
最終的にモデルを構築することが目的

∃xψ(x) という形の文が真になるためには、具体的に ψ(a)

0304１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 13:56:45.66

途中で送信してもうた

∃xψ(x) という形の文が真になるためには、具体的に ψ(a) が真になるような対象 a が必要

Γ∪{∃xψ(x)} が無矛盾っていうのは、単に、「Γと∃xψ(x)を仮定して矛盾がみちびかれることは無いよ」って意味だから
これだけでは、構造を入れたときに ∃xψ(x) が真になる保証はない

なので、実際に ψ(a) になる,っていう文をいれとかなきゃならない、ってことなんじゃないかな

∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う

0305１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 19:04:57.40

>>304
コメントありがとうございます。

>∃xψ(x) という形の文が真になるためには、具体的に ψ(a) が真になる
ような対象 a が必要

これは了解

>∀xψ(x) の場合は、対象が無くても別に問題ないので、存在を考える必要がないんだと思う

対象は無いということはなくて、少なくともさっき∃xψ(x)のところで入れた
aはあるわけですよね。すると、∀xφ(x)が出てきたときには、φ(a)とすると
いうような考慮が必要だと思うのです。
ただ対象が有限のうちはこのようにやっていけばよいでしょうが，
∀x∃yφ(x,y)のようなのが現れたときは、対象が一気に無限になることもあり
得るでしょうが、そのときはどう考えるのでしょうか？
とにかくそういうふうに、∃のときより∀の時の方が難しそうなのですが、
∀の時のことがあまり説明されていないのがよく理解できないのです。
どこか考え違いしているのでしょうが

0306１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 19:35:49.84

∀x.P(x)が公理の帰結である場合は
単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める
（つまり P = 対象領域とする）だけじゃなかったっけ

0307１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 20:36:50.77

>>306
>∀x.P(x)が公理の帰結である場合は
>単に任意の要素 c に対して P が成り立つように P の解釈を決める
そういってしまえばそうなのですが、それが∀x∃y.Q(x,y)の形のときには
悩ましくないですか？任意の要素xのそれぞれに対して、Q(x,y)となるyを
作らないといけなくなって、そうやって作ったy達すべてに対して，また
Q(y,z)となるzを作って．．．というふうにずっと続きませんか

0308１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 21:23:14.72

それを1,2,3,・・・・・・と任意の自然数回繰り返したものを集めると
それが閉じているということが証明の一つのポイントだったような

0309１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 21:47:52.10

Γの極大無矛盾な拡大をΓ+として、(￢(A ∈ B) を A /∈ B と書く)

　｛∃xφ(x) ∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が真｝すなわち｛∃xφ(x) /∈ Γ+ ⇔ ∃xφ(x) が偽｝・・・☆
が成り立つように構造が入っている、とすると

∀xφ(x)∈Γ+　⇔　￢∀xφ(x) /∈ Γ+　(Γ+は極大無矛盾)
　　　　　　　　　　⇔∃x￢φ(x) /∈ Γ+　(書き直しただけ)
　　　　　　　　　　⇔∃x￢φ(x)は偽　（☆）
　　　　　　　　　　⇔￢∃x￢φ(x)は真
　　　　　　　　　　⇔∀xφ(x)は真　　　(書き直しただけ)

なので、☆が成り立つ理論を作ってうまく構造を入れてやれば
∀が頭に付く文についてもＯＫになるので
∃が頭に付く文だけ付け加えることを考えればいいんじゃないのかな

うーん、もっとちゃんと勉強しないとダメだな俺

0310１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 22:58:11.68

∀x∃y.Q(x,y) に関してだけど

Q(y,z)って何？引数の順序には意味があるんだから位置変えちゃだめでしょ
任意の閉項a に対して ∃ｙQ(a, y) がなりたって、
ある閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい

既にＱはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ

0311１３２人目の素数さん

2013/11/17(日) 23:37:38.50

>>310

もちろん引数の順序を変えているのではないです。
∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、
後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),．．．となりますよね？

>ある閉項b について Q(a, b) がなりたったら、そこでおしまい
>既にＱはすべての変数に閉項が代入されてるから、もう何も探す必要はないよ

だからそうは思えないんです

0312１３２人目の素数さん

2013/11/18(月) 00:14:18.42

>>311
＞∀x∃y.Q(x,y) が公理にある場合、その公理に従えば、最初にQ(a,b)とすれば、
後は、Q(b,c), Q(c,d), Q(d,e),．．．となりますよね？

意味不明

0313１３２人目の素数さん

2013/11/18(月) 00:28:58.81

>>312
あれ？伝わりませんか？
Q(a,b) とすれば、このbも、∀x∃y.Q(x,y) における∀xのカバー範囲に入るので、
先のaと同様にQ(b,c)としなければいけなくなり、そうすると、その次は、
cについても同様に．．．という意味だったのですが

0314TTT

2013/11/18(月) 07:48:47.35

なんか迷走してるね具体例考えるといいよ

たぶん疑問に思ってるのは
言語が定数記号aしか持たないとき、
∀x∃y.Q(x,y)　に対してxにaを代入したとき
∃y.Q(a,y)　となるので、これが成り立つような定数を新たに言語に投入して
∃y.Q(a,b)　としてみた
そしてあたらしく言語に投入したbを
∀x∃y.Q(x,y)　のxに代入したらまた
∃y.Q(b,y)　のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばいという主張だと思う
これはモデル側では一階述語論理のタブロー法の決定不能性の原因になる
でも構文論ではまったく問題ない
なぜなら∀x∃y.Q(x,y)という形の命題があった場合は
q(x)=y　という論理的同値な関数をつくることができるので、
新しくqを投入した言語が保存拡大となり問題なくなる
結局∃ではじまる命題だけ考えればよい

なぜ∃の考慮が必要なのかというと、
例えば言語に定数記号がaとbしかなかった場合、
考察対象の理論から証明もその否定も証明できない命題Aがあるとする
このとき　(x=a∧A)∨(x=b∧￢A)　を　B(x)　とおく
すると　B(a)∨B(b)　が証明可能になる（恒真命題になってる）
よって
∃xB(x)∨∃xB(x)
∃xB(x)
といった証明ができる
けれども　B(a)、B(b)　などは証明できない
そうすると定義上∃xB(x)は真にならない
よって証明できるが真にはならない、つまり完全性が満たせない

0315１３２人目の素数さん

2013/11/18(月) 08:48:35.27

>>314
コメントありがとうございます。

>たぶん疑問に思ってるのは
そのとおりです。

コメントを読んで少し分かってきました。
でもまだわからないことも多いです。

>でも構文論ではまったく問題ない
ここは正確な表現ではないんでしょう？ここはモデルを作ろうとして
いる所ですから

>結局∃ではじまる命題だけ考えればよい
これは随分飛躍しているように感じます

>q(x)=y　という論理的同値な関数
これはスコーレム関数のことですね
ここの処理こそキモではないかと感じます

>なぜ∃の考慮が必要なのかというと
∃の考慮が必要な理由はすぐわかります。ここの説明は複雑すぎませんか？

結局、やっぱり、∀については結構考慮しないといけないのですよね。
なぜふつう、TTTさんのコメントのようなことを書いていないのでしょうか？

0316１３２人目の素数さん

2013/11/18(月) 09:34:42.46

>そしてあたらしく言語に投入したbを
>∀x∃y.Q(x,y)　のxに代入したらまた
>∃y.Q(b,y)　のyに代入するべき定数記号を言語に投入しなければならばい

いや、それは、投入すればいいだけの話じゃないの？
というか、そういう風に順々に拡大していってるはずだけど

0317１３２人目の素数さん

2013/11/18(月) 22:45:14.73

ハゲタカ外資ファンドに食い尽くされる商業施設
運営会社責任者は虚偽説明
商業施設トリアス久山　外資ファンドを取り巻く失望と疑念
http://www.data-max.co.jp/2013/10/07/post_16455_dm1504_2.html

0318１３２人目の素数さん

2013/11/21(木) 00:20:46.72

>>298
∀x.P(x)の場合は、述語論理の公理に

∀x.P(x)　→　P(a)

があるから改めて何かする必要はない。

0319１３２人目の素数さん

2013/11/23(土) 00:14:00.59

>>318
答えになっとらんと思うぞ

0320１３２人目の素数さん

2013/11/27(水) 22:36:06.15

いやいや >>318 の答が正確かつ簡潔だと思います。
欲しい性質は
（１）　∃x.A(x)がΓの要素ならば、あるaに対してA(a)がΓの要素。
（２）　∀x.B(x)がΓの要素ならば、どんなbに対してもB(b)がΓの要素。
の二つで、（１）は自動的には成り立たないから定数をじゃんじゃん無限個追加するんです。
（２）は述語論理の公理から自動的に成り立つ（Γが極大無矛盾なら）ということ。

ついでに言うと、ヘンキン定数を用いたこの証明は理解するのが難しい
ということでしょうね。
定数を増やさない証明手法の方が優れているかと。

0321１３２人目の素数さん

2013/11/27(水) 23:11:08.94

背景について

19世紀末に、イギリスの電気技師ヘビサイドはある特定の微分方程式を他公式方程式に変換してとく非常に実用的な計算方法を発見した。
しかし彼の方法は理論的厳密さにかけていたので当初はあまり評価されなかった。
その後ブロムヴィッチによりヘビサイドの方法は18-19世紀初頭にてすでにオイラーやラプラスにより発見されていた積分変換およびその逆変換による解法と結び付けられ、数学的に厳密に定式化された。
現在では彼らが定義した積分変換はラプラス変換と呼ばれ、電気工学、機械工学、制御工学など工学の広範で広く活用されている。

0322１３２人目の素数さん

2013/11/27(水) 23:12:54.70

工学の真髄は数学的に思考にやどるってやってて思うね
逆に数学科の方々は数学をどう思ってるんですか

0323１３２人目の素数さん

2013/11/27(水) 23:14:22.09

非公式方程式
多項式方程式○
失礼

0324１３２人目の素数さん

2013/11/27(水) 23:33:18.48

いや駄目だと思う。
B(x)=∃y.C(x,y)として∀x∃y.C(x,y) の場合を考える。
（２）を適用すると、
∀x∃y.C(x,y)がΓの要素ならば、どんなxに対しても∃y.C(x,y)がΓの要素
となる。
これに対して（１）を適用すると、
どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素
となるよね。
しかしこの「どんなxに対してもあるdに対してC(x,d)がΓの要素となる」
なんていう表現は駄目だよね。dがxに依存するというのが見えにくいよね

0325１３２人目の素数さん

2013/11/28(木) 12:43:10.12

>>324
変数と定数をごっちゃにしてないか？

0326１３２人目の素数さん

2013/11/28(木) 13:41:26.38

>>325
「どんなb」というのも変なのでxにしておいた。
とにかく、∀x.B(x) なんていうんじゃなく、∀x∃y.C(x,y) の場合にどうするかを
具体的に示してやらないといけないんじゃないか？
∀の場合は簡単という答の中になんでスコーレム関数のことが出てこないの？

0327１３２人目の素数さん

2013/11/28(木) 20:37:15.72

>>326
完全性定理の証明にヘンキン定数じゃなくてスコーレム関数を使うの？

0328狸 ◆2VB8wsVUoo

2013/11/28(木) 21:23:19.73

馬鹿板撲滅の実行にノッペラ蕎麦じゃなくてテイノウ菌愚が出るの？

ケケケ狸

0329狸 ◆2VB8wsVUoo

2013/11/28(木) 21:32:17.94

馬鹿板崩壊の救済にフクメン出前じゃなくてノータリン禁愚で決まり？

コココ狸

0330１３２人目の素数さん

2013/11/28(木) 23:09:14.39

<><301
消えろ！！低能！！

0331狸 ◆2VB8wsVUoo

2013/11/29(金) 08:20:29.11

狸

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0332１３２人目の素数さん

2013/11/29(金) 09:58:25.24

>>327
両方使う

0333狸 ◆2VB8wsVUoo

2013/11/29(金) 13:05:28.04

サヨカ。馬鹿蕎麦も低脳菌愚も、両方必要なのか。なるほど。

ケケケ狸

0334１３２人目の素数さん

2013/11/29(金) 18:44:38.95

君らそもそも数学できるのか？

0335１３２人目の素数さん

2013/11/29(金) 20:49:57.96

できたらこんなもんやってないだろ

0336狸 ◆2VB8wsVUoo

2013/11/29(金) 20:57:01.58

そういう事やわナ。

狸

0337１３２人目の素数さん

2013/11/29(金) 22:44:22.69

>>332
その両方使う証明方法が載っている文献を教えてくれませんか。
（ヘンキン定数しか使わない証明およびヘンキン定数すら使わない証明しか知らないので）

0338１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 00:13:48.96

「1づつ引いていけばいずれ0に到達すること」というのをペアノの公理系に付け加えれば
ωなどを含まない標準的自然数の集合が定義できるんじゃないかと思うのですが、
これってどこか間違ってますか？教えてください。

0339１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 02:09:14.59

それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます

あと、超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
まず「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」をωなどに言及しないで
直接的に論理式で表現しないといけないですが、
実際やってみると案外難しいのが分かると思います。

0340１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 09:22:59.64

>>339
コメントありがとうございます。
>それと帰納法の公理はほぼ同じことを言ってます
私が言ってるのは、逆方向の帰納法ですね
>超準な要素を含まない標準的自然数の集合を定義できると言いたいのであれば
そう言いたいのですが
>実際やってみると案外難しい
再帰的に定義すれば簡単に定義できると思うのですが、
しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、多分不完全性定理を含む
多くのことが崩壊するでしょうから、どこがどう間違っているのか分らないの
です。再帰的定義のところが間違いなのでしょうか

0341１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 09:57:33.33

書いてみなされ

0342１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 10:22:25.20

Prolog風に書くとすれば、
Nat(x) :- x=0.
Nat(x) :- x=y+1, Nat(y).

0343339

2013/12/05(木) 20:45:18.86

自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか？
これは案外不自由なもので、まずこれを知らないと、
そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。

ここでやらないといけないのは与えられた数から1ずつ引いていくプログラムじゃなくて
「"いずれ"0に到達できる」ということを表現した形式的な論理式です。
342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。
「有限回の操作後いずれ0になる」の意味なんて明らかだ、というのは
「標準的自然数」の定義なんて明らかだ、誰でも知ってるから敢えて書く必要ない、
というのと似たようなことです。

＞再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
仰るとおりです。「案外難しい」というか、実際やってみるとできません。
不完全性定理周りでは「明らかに」できそうなことが実はできないことがわかる、
というようなことは良くあります。だから不完全性定理の証明では、
自明臭いことを延々と実際に書いて確かめたりします。

0344１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 21:11:47.12

数学基礎論の勉強を始めたいのですが、どういう本がオススメですか？

0345１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 21:39:26.22

今復刊されてる「数学基礎論講義」はかなり良いよ

0346１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 21:45:43.03

>>343
>自然数論の形式的な論理式がどういうものかご存知ですか？
一応分っているつもりです。
>そもそも「標準的自然数」とは何なのかも理解できません。
まずは、あの0,1,2,3,...のことだという理解でよいのではないですか？
>342は、「"いずれ"0に到達できる」、ということを表現できていないように思います。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
と書いた方がよかったかもしれません。
<==>ですから、これでωはNatの集合から排除できると思います。
そしてこの式は、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思うのですが。
「"いずれ"0に到達できる」ということをメタレベルで表現しているのではありませんが、その必要はないですよね？
>＞再帰的定義のところが間違いなのでしょうか
>仰るとおりです。
上のように少し補正しましたが、どこで間違っているのかまだ分かりません。

0347１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 21:48:43.27

>>345
ありがとうございます

0348１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 22:11:58.44

Natって自然数じゃなくて整数なんだ

0349１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 22:24:31.28

>>348 ?

0350１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 22:37:20.58

整数には0もあるし前者もある。

0351１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 22:42:17.53

>>346
Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、
ということしか言っていませんから、
これでは順序型としてω＋Z・Q
みたいな、ωの後にZと順序同型のブロックがずっと続くような構造を排除できていませんし、
実際超準モデルは順序集合としてはそういう構造になります。
http://www.math.uchicago.edu/~kach/mathematics/slides1may2004.pdf

0352１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 23:19:22.76

>>351
>Nat(x)は、xの前者yで、yもNatであるようなものが必ず存在する、
>ということしか言っていませんから、
いいえ、それに加えて、「"いずれ"0に到達できる」ことも言っていると思いますが。
というのは、お分りと思いますが、上記の中の「yもNatである」の部分に対しても
Nat(y) <==> y=0 ∨∃z.(y=z+1 ∧ Nat(z))
が適用されて、さらにそのうちの「zもNatである」の部分に対しても・・・
となりますから。
ですから、0に到達しないωはここのNatには入らないと思うのです。
(ご紹介のスライドは後で勉強してみます）

0353１３２人目の素数さん

2013/12/05(木) 23:57:13.38

整数に対して
Int(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Int(y))
をみたすIntという性質を考えても、
整数に対して1を引き続けるといずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、
というような結論はでないから、少なくともペアノ算術の他の公理を使うこと無しに
Natの定義だけで352みたいな結論は出て来ない。

あと、超準モデルは
{0、1, 2, 3, …… 　…… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… }
みたいな構造をしていて整列集合じゃないから、
全ての標準自然数より大きいような最小の元 ω は存在しない

ωの後にZと順序同型のブロックが続くというのは、
{ω}のあとにブロックが続くという意味じゃなくて
{0、1, 2, 3, …… }（最大元はない）の後に続くという意味だからね

0354１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 08:56:17.89

>>353
後半部は分るのですが、
>いずれ「最初の数」あるいは 0 に到達する、というような結論はでないから
がまだ分りません。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
をちょっとベタに展開してみますと、例えば
Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真
Nat(-1) <==> Nat(-2) <==> Nat(-3) <==> 永遠に続く
Nat(w) <==> Nat(w-1) <==> Nat(w-2) <==> 永遠に続く
となります。
ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。
真としてもよいし、偽としてもよいのですが、真にするとしても
Nat(3) <==> Nat(2) <==> Nat(1) <==> Nat(0) <==> 真
でいう真とは明らかに区別できます。
なので、標準的自然数を定義することはできるのではないかと相変わらず思うのです。

0355１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 09:11:54.50

負数について考える必要はないと思いますが、みなさん「整数．．．」とおっしゃるので
入れておきました

0356１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 09:44:58.04

カルケドン定数つき単項述語論理なら定義できたと思う
S除去で→を削って食って手法

0357１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 11:54:53.12

>>356
へー。なにか読めるものありますか？

0358１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 12:14:09.08

整数どころか複素数でも成り立つのに。

0359１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 15:15:34.66

ギュープラタンのホロノミー原理とか中間次数開裂問題とかが有名
まぁギュルタンとかソロベイとかが今はやってると思う
まとまった本はないのでQ理論とか入子算術体系PL2_ωをあたるといいと思う

0360１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 17:21:08.98

デタラメを書いてるかも知れない、と思わせる文体。

0361１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 18:08:23.30

実数の理論内部では自然数は定義できないとかの話をふと思い出した。

0362１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 19:44:08.88

＞ここの永遠に続くをどう扱うかが問題なのかもしれません。
そうです。

＞明らかに区別できます。
>>343で述べたように、その「明らか」が実は明らかどころか間違っています。

「意味論semantics」と「構文論syntax」の違い、とか
メタ理論と対象の理論（地の理論）の違いとか、そういう話は聞いたことありますか？
標準的自然数の定義はメタ理論的には可能と言ってよいですが、
対象理論のなかではできないのです。

＞しかし標準的自然数の集合を定義できるとすれば、
＞多分不完全性定理を含む多くのことが崩壊するでしょう
これは正しいのですが、こっちの「定義」は対象理論の中での定義でなければなりません。
つまりペアノ算術の論理式で定義するという意味です。この意味での定義は不可能です。

0363１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 21:57:09.81

というか
＞真としてもよいし、偽としてもよいのですが
ってどういうことよ
真か偽かは好き勝手に選ぶようなものじゃないよ

0364１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 22:56:42.86

x^2-y^2=s　ｓが素数の時(√s<x<(s+1)/2)の範囲において第一象限で格子点を通らない
(x+iy)^2=s-2ixy
{ √[x^2+y^2]*e^(i*arctan(y/x)) }^2 = √[s^2+4(xy)^2]*e^(i*-arctan(2xy/s))
√[x^2+y^2]=√[s^2+4(xy)^2] x^2-y^2=s
e^(i*2*arctan(y/x))=e^(i*-arctan(2xy/s))
2*arctan(y/x)=2Aπ+φ
-arctan(2xy/s)=2Bπ+φ
2*arctan(y/x)+arctan(2xy/s)=(A+B)π　　　　
Sに整数を代入し上記の指揮を満たす整数ｘと整数ｙが(√s<x<(s+1)/2)と(0<y<(s-1)/2)に存在しない時Ｓは素数

0365１３２人目の素数さん

2013/12/06(金) 22:58:58.00

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∧,,∧
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r(　　　´ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .／　　　 >　　,／　　　 ∧,,∧
　　　数学人だあーーーーっ＞　　　～'oー､_)　 r(　　ｎ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .＞　　　　　　　　　　`/　　�_
　　　逃げろーーーーーーっ！ .＞　　　　　　　　　　～'し -一┘
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .＞　　　　　　　　　　　　　　　　∧,,∧
／∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨＼　　　　　　　　　　　　　　　　(　´・ω)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～､/　っっ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∧,,∧ 　　　└ー-､ぅ
　　　　　　　　　　　　　　　　　〉､´・ω・))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∧　,,∧　　　　　 >　＼/´
　　　　　　　 �__ｎ　　　　　　　(´・ω・｀)　～'-一┘
　　∧,,　∧ﾉ　　　　c' 　　っ
　　　　c('・ω・｀)っ　　　　　～(_,'ーo'

0366１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 10:44:17.76

わっ　でも逃げずにやってきましたｗ

>>362
標準的自然数を定義できると主張したいのでなく
私の論法のどこが間違いかを知りたかったのです。
私のあの定義は対象レベルの定義のつもりです。
（そもそも対象とメタの区別というのも分かりにくいですね）

>>363
真とも偽とも決まらないと言えばよかったでしょうか
例えば、a = (a => 真) の場合なら、aは真と決まりますが、
a = (a ∧ 真) の場合は、aの真偽は決まりませんね

0367１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 13:18:08.87

>366
「充足する」という意味？

0368１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 13:35:56.47

普通は、N(x)である、という性質を定義するのに
N(y)という性質を使ったら定義にならないよね。
大抵well-definedにならないのだけど、帰納的定義の場合は
特別にそういうことができる。
Nat(x) <==> x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
ではマトモな定義になっていないということ。

0369１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 14:01:42.07

特別に？　マトモな？

0370１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 14:41:42.89

たとえば
Ｇが群であるとは、
「乗法・で閉じたGの任意の部分集合 H が群になっていること」
と定義したりしたら、これ自体は正しい命題ではあるけど全然定義になってないでしょ。
～～は群である、ということ自体を定義の中で使ってるから。

帰納的定義というのはその種の特殊なことをやっている。
>>340で「逆向きの帰納法」と言ってるけどそんなものはない。
整列集合とか整礎的半順序では
大きくなる方向と小さくなる方向は本質的に非対称で、
帰納法は逆向きには成立しない。

0371１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 15:16:54.26

>>370
言ってる気持ちは勿論よく分かってます。自己定義は定義にならないとか。
だけど、Natの定義はそうではないですし、マトモでないとしても、
どうマトモでないかがわからないというのが今の場面なので

0372１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 15:20:10.35

Natの定義がそうでないというあなたの脳内感覚を数学にしてみて

0373１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 15:48:37.11

見ればわかるでしょ？
左辺はNat(x)で右辺はNat(y)
群の例の場合は，左辺も右辺もまったく同じ「群」

0374１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 15:53:26.35

ちょっと間違ったけど、群の例は、
Nay(x) = Nat(x) や Nat(x) = Nat(x-1)　のようなもの

0375１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 16:15:28.64

＞どうマトモでないかがわからない
帰納的定義がwell-definedであるというのは
自明じゃなくてちゃんと証明しないといけない命題。
Natの定義はwell-definedであることも要証明なんだけど、
この証明はやってみると全然できない。
実は理論が無矛盾である限り決して証明できないのだが、
これは不完全性定理などから分かることで、
矛盾してしまう以上できない、という説明しかないんじゃないかな。

{x: not x ∈ x} はなぜ集合でないか、が根本的には
ラッセルの逆理が生じて矛盾するから、としか説明できないのと同じ。
クラスみたいに大きなモノの集まりは累積的集合になれない、
とかいうのは後付けの理屈でしか無い。

0376１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 16:18:58.74

>>373
見てわかるのは君の脳内でだけだから数学にして

0377１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 18:14:56.35

>>375
それで、私のNatの定義がどうマトモでないかへの答えは、
ここのどこに書かれていますか？
マトモかどうかは分らないというのが答えなのでしょうか？

それから
>Natの定義はwell-definedであることも要証明なんだけど、
>この証明はやってみると全然できない。
まさかそんなことないでしょ？

0378１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 19:39:22.13

＞Natの定義がどうマトモでないか
これから定義するべきNat自身を使って
Natを定義しているところ。

整礎関係に対する帰納的定義の場合は、これがきちんと唯一のものを定めているということの
証明が、集合論の教科書にちゃんと書いてあります。
ペアノ算術の場合の、帰納的な関数や述語の定義ができるということの証明は
一階算術の表現能力があまりないのでβ関数とか中国剰余定理とかを
使ってかなりテクニカルな証明をします。たぶんあなたは読んだことないと思います。

>>373
xが群であることをGrp(x)と書くことにすると
>>370に書いたのは
Grp(x) :⇔ ∀y⊆x Grp(y)
ですよ。
「左辺はGrp(x)、右辺はGrp(y)だからちゃんと定義になってます。
見れば分かるでしょ？」とか言われても、
「はぁ？意味不明……」と思いませんか。
Nat(x)の場合との違いが私には分かりません。

それから、私は「逆向きの帰納法」が何を意味するのか分からなくて
私にとっては明らかでも何でもないから
まずあなたが、それが何なのか説明して下さい。
与えられた数から1ずつ引き続けるプログラムなんか
出されても何の説明にもなってません。

0379１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 19:49:02.91

>>366で対象レベルの定義と言ってるし、
不完全性定理と矛盾するのが分からないとも言っているんだから、
一階算術のなかで定義しないといけないんだよ。

仮にwell-definedである保証がないことに眼をつぶって
算術にNatという無定義述語と
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
という公理を加えても、
超準モデル
{0、1, 2, 3, …… 　…… , w-3, w-2, w-1, w, w+1, w+2, w+3, …… }
のうち、最初の普通の自然数の部分だけでNatが成り立つモデルと
wを含むもっと大きな部分でNatが成り立つモデルが必ず両方存在してしまう。

>>354で言っている「明らかに区別できます。」はメタレベルでの話で、
メタで区別できても対象レベルのなかで論理式で区別できないと意味が無い。
でもそういう区別をできる論理式は決して作れない。

0380１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 20:45:41.83

>>378
>＞Natの定義がどうマトモでないか
>これから定義するべきNat自身を使って
>Natを定義しているところ。
ということは、帰納的定義はマトモでないと言っているのですね。
しかしこれは、その直後で
>整礎関係に対する帰納的定義の場合は、
というように、帰納的定義は認めているようなのと矛盾するのではないですか？
唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分りますが、
Nat自身を使ってNatを定義すること自体はOKですよね。

0381１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 20:55:33.49

>>379
>最初の普通の自然数の部分だけでNatが成り立つモデルと
>wを含むもっと大きな部分でNatが成り立つモデルが必ず両方存在してしまう。
それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか？

0382１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 20:57:37.76

二階の論理でも使うの？

0383１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 20:58:43.81

モデルに言及する時点でメタになるということかな？

0384１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 21:08:54.70

メタなんていうより二階って言った方が明確だろ

0385１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 21:45:45.14

＞唯一のものを定めていないからマトモでない、というのならまだ分ります
今の場合はほぼそういうことなのでそういう風に解釈してくれれば良い。

＞それらのモデルのうち一番小さいの、というのは駄目なんですか？
二階算術ならその方法なら良いよ。そして不完全性とも矛盾しない。
Nat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))　だとその内容を表現できてない。
Natがモデル全部の中の変な部分集合になってる可能性が残る。

一階の算術であれば、そういうことは表現できない。

最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。

0386１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 23:04:06.17

>>385
ようやく少し話が合ってきた感じかな
途中「Nを使ってNを定義することはできない」なんてナイーブなことを言う人が
出てきたので困ったと思ったのですが。
>最初の「1ずつ引いていけばいずれ0に到達する」というのとは違う感じだけどね。
なんでも出発はそれくらいの一次近似から始まるんじゃないですか

0387385

2013/12/07(土) 23:21:45.92

いやナイーブなのはあれで定義になってると思って
>>373みたいな意味不明なこと書いてるアンタですがな

こっちが、定義になってないけど
「Natという無定義述語とNat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
という公理を加える」という意味に好意的に解釈してるのに
ナイーブな奴には分からん高等な定義をしてるんだぜ、みたいなのやめれ

＞「Nを使ってNを定義することはできない」
定義にならない、とかマトモじゃない、というのは「定義することは出来ない」ではなくて
「定義が指すものが存在して唯一に決まる保証が無い」ということ。最初からそう言っている。

0388１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 23:34:26.28

当人以外はわかって見てあげているからまあええんじゃね

0389１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 23:35:46.47

「私以上にナイーブな」という意味でしたｗ
>「Natという無定義述語とNat(x) :⇔ x=0 ∨∃y.(x=y+1 ∧ Nat(y))
>という公理を加える」という意味
ここはもともとそういう意味で言いましたよ。そしてナイーブな定義のつもりでした。
それに高等なことは好きじゃないんですｗ
>最初からそう言っている。
そうでしたか。そうは聞こえなかったものですから。あるいは他の人だったかもしれません。

0390１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 23:42:20.71

しかし、ちょっとアレな人でも頑張って長く話せば数学の会話は成立するもんだね

0391１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 23:44:21.59

数学なんてやってないでしょ・・・

0392１３２人目の素数さん

2013/12/07(土) 23:45:25.46

まあ確かに
でも標準モデルは定義できるのか定義できないのかどっちなんだって
算術の超準モデルのこと勉強したら気にはなるよね

0393１３２人目の素数さん

2013/12/18(水) 10:43:09.38

M→_p N_1,　M→_ηp N_2 ⇒N_1→_ηp L ,N_2→_p L を満たすLが存在することを証明してください。
ちなみに→_ηpと→_pのチャーチ・ロッサー性は満たすことを仮定してよいです。
お願いします。

0394１３２人目の素数さん

2013/12/18(水) 10:45:20.05

（S_λ）_CLを計算してから
（S_λ）_CL x
を計算したいんですけど、
計算が複雑すぎて途中でわからなくなります。
計算したことのある人ありますか？
できたら計算お願いします。
あるいは他の方法でできたよというひともお願いします。

0395１３２人目の素数さん

2013/12/18(水) 16:57:31.12

何大学の何先生の何という教科書を使った何という名前の講義のレポート問題か、
ちゃんと明らかにした方が答を教えてもらえると思うよ。

0396393

2013/12/18(水) 18:16:18.17

>>393は自力で解けました。

>>394は解けません、
計算機とかないですか？

0397１３２人目の素数さん

2013/12/18(水) 18:21:24.47

>>395
エスパーうざいよ。
全部外れだしｗｗｗ

0398１３２人目の素数さん

2013/12/18(水) 23:06:07.50

S_λと書いたら当然それだけで意味は通じるものと思ってるんだよね

0399１３２人目の素数さん

2013/12/19(木) 09:55:43.25

>>394
λxλyλz.xz(yz) を標準的な方法でＳとＫだけのコンビネーターに変換して，
その後ろに x を付けてリダクションせよ，ということかな？
複雑にはなるけれども単なる計算問題なので、
定義を理解して括弧の付き方に注意して慎重に進めればできると思いますが。

0400１３２人目の素数さん

2013/12/19(木) 10:25:50.96

言うのとやるのは大違いなんだよな。
パーサー書くしかないのか・・・
ああ、メンドクセ・・

0401１３２人目の素数さん

2013/12/20(金) 08:59:09.79

例えばΓにaが含まれればΓトaとΓトa/ Γトaxという規則があるとします。
このときaがトに含まれているときΓトa/Γ,bトaを証明しなさいと言う問題があったとするじゃないですか。
するとΓトa/Γトax/Γトaxx/・・・
と永遠に続くだけで証明できませんよね。
むしろΓ,bにaが含まれているから始めの規則によってΓ,bトaが成り立つじゃないですか。
でも/を使わずに導いたのに/をつかってΓトa/Γ,bトaとして良い理由がわかりません。

0402１３２人目の素数さん

2013/12/20(金) 09:48:14.28

何言ってんだ。藪から棒に。

0403１３２人目の素数さん

2013/12/20(金) 09:52:30.19

質問なんですけど・・・

0404１３２人目の素数さん

2013/12/20(金) 10:03:26.19

>>401
ごめんな。トは|-のことか？1行目の後半意味わからん。aがトに含まれている、も意味分からん

0405１３２人目の素数さん

2013/12/20(金) 10:07:24.87

aがトに含まれているは　aがΓに含まれてるの間違いで
Γトa/ Γトaxのいみは
Γトa
＿＿＿＿＿
Γトax

の横書きです。

0406１３２人目の素数さん

2013/12/20(金) 10:09:45.96

axって？

0407１３２人目の素数さん

2013/12/20(金) 10:12:22.84

aのあとにxを続けたものです。

0408１３２人目の素数さん

2013/12/21(土) 06:55:15.09

左卜全

0409１３２人目の素数さん

2013/12/21(土) 07:57:21.45

やめてケレ、やめてケレ

0410１３２人目の素数さん

2013/12/21(土) 18:51:26.98

定義がわからないのでまったくの想像ですが、もしかして
証明しなさい、と言われていることは
「Γ|-a から Γ,b |-a を規則で導け」
　ではなくて
「Γ|-a が成り立つならば Γ,b |-a も成り立つことを示せ」
なのでしょうか？？

いずれにしても、問題を出した >>401 さんがちゃんと定義を書いてくれないと
誰も正確には答えられないと思います。

0411１３２人目の素数さん

2013/12/21(土) 22:12:21.13

シークェント計算か何かのことを言っており、
(1) Γが式の集合で a∈Γ であるなら Γ|-a、
(2) Γ|-a であるならば Γ|-a, x
が成り立っているときに　Γ|-a であるなら Γ,b |- a
であることを示したいのなら(1)のみを使って示せば良い。
シークェント計算でシークェントの間にある横線は、
それを使って示すとか使わないで示すという話じゃなくて
(2)の「であるならば」の略記に近いものだと思う。

あと他の人も言ってるけど教科書などに書かれていることを
そのままきちんと人に伝えることができるようになった方がいいと思う。
>>401だとかなりエスパーして推測しないと意味が分からない。

0412１３２人目の素数さん

2013/12/23(月) 10:38:13.78

糞論

0413１３２人目の素数さん

2013/12/23(月) 13:13:16.74

ゴミ・ジャップ

0414１３２人目の素数さん

2013/12/23(月) 13:29:27.52

トンスル飲んで消えろ

0415１３２人目の素数さん

2013/12/23(月) 17:19:01.30

揚げ

0416１３２人目の素数さん

2013/12/24(火) 00:04:14.96

1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

0417１３２人目の素数さん

2013/12/24(火) 00:20:03.15

a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t

0418１３２人目の素数さん

2013/12/24(火) 09:13:59.34

SKの定理を演繹定理なしで演繹してとくのはテクニックとかありますか？

0419１３２人目の素数さん

2013/12/24(火) 10:06:31.21

α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ψ

0420１３２人目の素数さん

2013/12/24(火) 15:00:53.93

来年は国債を空売りし大暴落の年。
大戦争へと突入

0421１３２人目の素数さん

2013/12/24(火) 22:16:34.37

演繹定理の証明は良く分析すると
式変形を実際に書き出せるようになってるから
援用すれば良いんじゃないかと思うけどね

0422１３２人目の素数さん

2013/12/25(水) 15:54:58.12

ShoenfieldのMathematical LogicのP23の問題なのでが

k項真理関数Hが真理関数H_1,..,H_kによって定義可能であるのはHが定義
H(a_1,...,a_n)=・・・
を持つ時である。ただし右辺はH_1..,H_k、a_1...,a_nとカンマ、括弧で作られる。

Hd,nはHd,n(a_1,...,a_n)=T iff 少なくとも一つのiに対しa_i =Tによって定義されそしてHc,nを

Hc,n(a_1,...,a_n) =T iff すべてのiに対してa_i=T

とおくことによって定義される真理関数としよう。
すべての真理関数がH￢とHd,nとHc,nによって定義可能であることを示せ。
(H￢(T)=F、H￢(F)=T)

初歩的な問題ですがわかる方おりましたらよろしくお願いします。
意味はわかるのですが、どう書けばいいのか表記法の点でわからないのです。

0423１３２人目の素数さん

2013/12/26(木) 01:34:27.60

Shoenfieldって内容は割と良いけど表記法が割と古いよね
KleeneとかChurchと現代の本の間くらいの雰囲気
Monkはもう少しだけ現代に近いのかな

0424１３２人目の素数さん

2013/12/26(木) 01:52:21.57

>>422
「命題論理のどんな論理式も，
　￢, ∧, ∨
の三つの論理記号だけで表現できる」
という事実があります。

（１）この事実の証明を何らかの教科書で勉強する。
（２）その証明をShoenfieldの表記法に直す。
で完了です。

0425１３２人目の素数さん

2013/12/26(木) 02:20:06.89

>>423
ついでに、あの体系が独特．
ヒルベルト流の一種と言えるが．

0426１３２人目の素数さん

2013/12/26(木) 02:39:12.43

公理の数を少なくするか推論規則を少なくするか、
大抵はどっちかだけどShoenfieldはちょうど間みたいな感じだよね

まあ演繹定理証明して完全性定理示したら後はどの体系でも大差ないが

0427１３２人目の素数さん

2013/12/27(金) 09:05:56.53

（φ∨ψ）∧（φ∨χ）├_HM φ∨（ψ∧χ）
がどうしても解けません。
どうやってやるのか教えてください。

0428１３２人目の素数さん

2013/12/27(金) 13:09:33.22

自己解決しました。

0429１３２人目の素数さん

2013/12/27(金) 13:20:33.04

とおもったら解決してませんでした。

0430１３２人目の素数さん

2013/12/27(金) 17:47:13.74

やっぱり自己解決しました。

0431１３２人目の素数さん

2013/12/27(金) 17:49:03.93

とおもったら解決してませんでした。

0432１３２人目の素数さん

2013/12/27(金) 17:50:26.59

いや解決しました。
むしろこんなに簡単なのに
３時間以上考えても解けなかったのが不思議なくらいです。

0433１３２人目の素数さん

2013/12/27(金) 17:56:37.32

やっぱり解決してませんでした。

0434１３２人目の素数さん

2013/12/27(金) 18:23:44.56

>>431,433は偽者です。
完全に解決しました。

0435１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 09:31:29.34

やっぱり解決してませんでした。
お願いします。

0436１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 10:57:33.51

├_HM の定義を明示してくれないと答えようがありません。

勉強を始めたばかりの人は自分の読んでいる本の記述が絶対に見えるかもしれませんが、
論理学の業界では本によってテクニカルタームの定義が異なることが多いんです。

0437１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 11:08:47.92

(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→b)→ (b→ｃ) →(a∨b)→c
(CI) a→b→（a∧b）
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)
これでいいですか？
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。

0438１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 11:10:58.84

[訂正]
(S)略
(K)略
(DI) a_i→(a_1∨a_2)
(DE) (a→ｃ)→ (b→ｃ) →(a∨b)→c
(CI) a→b→（a∧b）
(CE) a_1∧a_2→a_i
(MP)略
これでいいですか？
あとは量化子の規則なんで関係ないと思います。

0439１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 13:20:53.64

難しくないですか？
みんなやってますか？

0440１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 15:04:02.79

├_HM は →, ∨, ∧ だけの直観主義論理のようですね。
質問者は >>418 と同じ人かな？
>>421 の人が言っていることと同じですが、
まずは自然演繹で証明を書いて、
そこから「演繹定理の証明の分析」を使って
ヒルベルト流の証明を作るのが正解と思う。

0441１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 16:02:04.02

直感主義じゃないんですけど・・・
とりあえず、答え分かったら書いておいてください。

0442１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 19:15:12.46

直感（直観）主義じゃない、なら何なのでしょう？
あなたの読んでいる本ではこの論理のことを何と呼んでいるのでしょう？
├_HM の H は Heyting ?
M は？

0443１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 19:24:57.61

M は Minimal logic の M かな？
つまり記号 ⊥ はあるけれどもこれに特別な意味
（「矛盾からは何でも出る」という ⊥→φ ）
を持たせない、というやつ．

0444１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 21:19:54.29

相手する必要なし

0445１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 21:23:01.78

>>441
なのこの態度は

0446１３２人目の素数さん

2013/12/28(土) 21:35:36.84

>難しくないですか？
>みんなやってますか？

0447１３２人目の素数さん

2013/12/29(日) 09:54:58.66

>>442
予想だけどヒルベルトミニマルではないのかな。
443の云うとおり爆発律が成り立つことを仮定して無いので
直感主義では無いですな。
まあこの問題の性質上パズル的要素が強いんで
IQが低い奴はいくらやっても解けないということですな。

0448１３２人目の素数さん

2013/12/29(日) 10:23:15.11

本人登場

0449１３２人目の素数さん

2013/12/30(月) 10:14:04.69

>>427の問題を解いてみたけど諦めた人いる？

0450１３２人目の素数さん

2013/12/31(火) 10:11:53.35

a∨b→φ∨（ψ∧χ）
最後こんな形になりそうなんだけど
a,bが無いから解けないんですよね。

0451１３２人目の素数さん

2014/01/01(水) 02:09:43.36

>>427
できたよ
45行あるけど見たい？

0452１３２人目の素数さん

2014/01/01(水) 11:54:45.49

>>451
できてないのみえみえだから要らんわ（～～）

0453１３２人目の素数さん

2014/01/01(水) 13:15:39.04

>>451
15行目と30行目を書いてくれたらあとは自力で行間を埋めます。

0454427

2014/01/01(水) 14:16:44.26

自己解決しました。
ヒントはメール欄です。

0455１３２人目の素数さん

2014/01/01(水) 15:44:26.08

hmで二重否定使うなよw

いま出先だから後で貼るね

0456１３２人目の素数さん

2014/01/01(水) 19:52:40.59

1　(A→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C))　(DE)
2　A→(A∨(B∧C))　(DI)
3　(B→(A∨(B∧C)))→(A∨B)→(A∨(B∧C))　MP,1,2
4　B→(A∨(B∧C))　†
5　(A∨B)→(A∨(B∧C))　MP,3,4
6　A∨B　‡
7　A∨(B∧C)　MP,5,6

あとは（†）と（‡）の証明

（‡）は簡単
1　(A∨B)∧(A∨C)　(Pres.)
2　(A∨B)∧(A∨C)→(A∨B)　(CE)
3　A∨B　MP,2,1

0457１３２人目の素数さん

2014/01/01(水) 19:58:43.89

（†）からはいたちごっこ

1　(B→(A∨C)→(A∨(B∧C)))→(B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C)))　(Ax.S)
2　B→(A∨C)→(A∨(B∧C))　*
3　(B→(A∨C))→(B→(A∨(B∧C)))　MP,1,2
4　B→(A∨C)　**
5　B→(A∨(B∧C))　MP,3,4

次に（*）と（**）を導出する

ってやってるけど、自分の出した課題が2chに乗ってたら授業妨害だよねｗ
同業者としての倫理観としてここまでで、質問は受け付けるよ

0458１３２人目の素数さん

2014/01/02(木) 09:34:56.95

こういう問題で盛り上がっていると，論理学って単なる計算問題と思われそうで寂しい．

0459427

2014/01/02(木) 09:39:35.19

>>456
ありがとございます。
参考にします。

0460１３２人目の素数さん

2014/01/02(木) 16:51:10.82

>>458
こういう計算がスラスラできる者通しの会話だと思うと発言に厚みが生じる。

0461１３２人目の素数さん

2014/01/02(木) 16:56:48.49

アイデアはこれ→>>440なんだよね

計算問題だと思われるのはさすがに嫌だけど
こういうのを簡単に構成できるような人じゃないと
論理学に向いてないよね

0462１３２人目の素数さん

2014/01/02(木) 17:57:19.64

どっちかというとこういうごちゃごちゃした計算は
寧ろ数学の他の分野には良くあるけどロジックには
少ないというイメージだけどな

あとこういう計算をすらすらできることとロジックの能力は
必ずしも関連しないと思う
前原昭二が講義するときも、この種の計算はノート見ながら板書してたらしいし

0463１３２人目の素数さん

2014/01/02(木) 20:08:06.30

>>462
計算なんてつっかえつっかえでいいからね
それを板書でやられたらノートを取ってる側は困る

駄目なのは計算もせずに高いレベルの事をしようとする輩

0464１３２人目の素数さん

2014/01/02(木) 22:05:58.57

いま新版Kunen読んでるけど、第一章が
ほとんど知ってることを長々と繰り返すからダルい

まあ、後で大事になるのを見越して
冪集合の公理と置換公理がどういう風に使われるのか
割と緻密に分析してたりもするから面白いけどね

一方でKoenigの補題とかはどの入門書にも載ってるから
証明省略されたりしてる

0465１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 00:19:53.87

いきなりすごく下がっているけどなぜ？

0466１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 00:34:43.28

共終数で挫折したね
それ以来集合論には触れていない

0467１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 00:37:13.95

あれは使ってるうちに慣れてくしかないと思うよ

0468１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 02:53:19.26

数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラミングが好きであるとともに、得意であることは含まれますか。

0469１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 03:07:08.77

プログラマーに含まれる人が持っている特性は、数学者に含まれる人が持っている特性と違いがあるような気もします。
プログラマーが持っている雰囲気は、数学者が持っている雰囲気と違いがある気がします。
数学者は学者であるとします。すると、プログラマーは技術者であるとか、実験を補助、支援する職員という気もします。

0470１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 03:30:46.85

数学基礎論・数理論理学を研究することの範囲に、記号の集まりを論理操作することが含まれるとの主観的な印象を持っています。

また、仮に特定の手段によって記号の集まりを論理操作に基づいた文で電子計算機に入力して実行していくことがプログラマーの仕事や作業だとしたら、
数学基礎論・数理論理学により適性を持っている人が持っている特性は、プログラマーやプログラマーに近い人が持っている特性と似ていると思いました。
記号の集まりが並んでいいる、数学基礎論・数理論理学の本から受ける印象は、プログラマーが電子計算機に入力して実行する文から受ける印象と似ていると思いました。

他方、そのプログラマーでないと、その文を電子計算機に入力して実行し、それを実現できないことがあるとのエピソードも見聞します。
そうすると、プログラマーのプログラミングには、技術者や、実験を補助、支援する職員が持っている特性を超えた、学者の要素が存在する場合もある気がします。
プログラマーは学者であるのでしょうか。数学者は学者であるのでしょうか。

数学者もプログラミングをして電子計算機を利用することもあるそうです。ただ、そうだからといって、数学者はプログラマーであるとの文を記述してみましたが、
その文から受ける印象は、その文には誤りが含まれているとの印象です。

0471１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 06:54:29.26

仕事の内容その他の職務に属する作業や行動の観点から見てみて、学者とプログラマーとは、違いがあると思います。
もっとも、両者は同じ部分もあると思います。

プログラマーに類似した特性を持っていない学者が、プログラマーに類似した特性を持っているが前者の学者が持っている特性を持っていない学者や、プログラマーを、
技術者や、実験を補助、支援する職員と、同じように取り扱うのは、どこか間違っていると思いました。

以下の本を読んだとき、わたしは、プログラマーの作業や仕事を具体的に実行できる者を、とても尊敬しました。
人は自分ができることだけを評価するものである。この文を読めば、誰もがそのとおりであると思うかもしれません。ただ、わたしは、本当にそう思いました。

アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本]　クリストファー・スタイナー (著), 永峯涼 (翻訳)

みなさまはどのように思いますか。

0472１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 11:04:32.24

数学者とは、
たとえば以前に挙げられた（φ∨ψ）∧（φ∨χ）├_HM φ∨（ψ∧χ）といった
具体的な計算が単に出来るだけではなくて，
このような計算を一段高い所から論じて
メタな立場での未知の性質を明らかにする人でしょう．

プログラマーの定義が，単にプログラムが書ける人だととすると
それは「単に計算が出来る人」と同じで学者とは言えないと思います．

0473１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 13:04:02.46

なるほどでした。簡潔かつ明確で、平明かつ少しでも具体的な例を含む、品のある解答を示していただき、ありがとうございました。そのほかの皆さんの解答がありましたら、お教えください。

0474473人目の素数さん

2014/01/04(土) 20:04:38.12

>>472
アルゴリズムが世界を支配する (角川EPUB選書) [単行本]　クリストファー・スタイナー (著), 永峯涼 (翻訳)は駄本としか思えません
世界を支配しているのは希望を持続し続けようと必死にもがいているあなたや私の七転八倒だと思いますよ
もし数理論理学なりプログラミングスキルなりがその七転八倒の戦場になっているにしても
戦場自身あるいは戦場の部分的あれこれが世界を支配したりはできません
たぶんね（～～）

0475１３２人目の素数さん

2014/01/04(土) 20:14:13.65

age

0476１３２人目の素数さん

2014/01/07(火) 01:29:26.82

下がってるね

0477427

2014/01/07(火) 09:15:05.47

>>440
ありがとうございます。
その方法でやったら簡単に解けました。
逆に矢印系の問題はその方法のほうが難しいことが分りました。
自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
横線の横に定理名を書いて省略するのってありですか？

0478１３２人目の素数さん

2014/01/10(金) 21:22:50.20

今年モデル論やる授業ないかな

0479１３２人目の素数さん

2014/01/11(土) 00:10:16.53

＞自然演繹は公理しか使えないから長くなりますね。
推論規則の書き間違いかな？

0480１３２人目の素数さん

2014/02/06(木) 01:44:08.42

完全性定理を、「Σ＾0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」のように
簡潔な表現で表すとどうなるか教えてください。

0481１３２人目の素数さん

2014/02/08(土) 08:38:06.40

恒真な論理式全体の集合はRE。
（注意：REは Recursively Enumerable だが、CE (Computably Enumerable)と呼ぶ人も多い）

0482１３２人目の素数さん

2014/02/08(土) 09:10:08.73

いやいやおかしいだろそれ

0483１３２人目の素数さん

2014/02/08(土) 11:59:24.31

まず正確に言うと「一階述語論理の恒真な論理式のゲーデル数を集めた集合がRE」。

完全性定理が示しているのは次の二つの論理式集合が一致する、という事実。
　（１）恒真な論理式を全部集めた集合。
　（２）論理体系（自然演繹とかシーケント計算LKとか）で導出できる論理式を全部集めた集合。
このうち（１）はパッと見REではない（恒真の定義は「すべての解釈で真」なので）。
しかし（２）の条件は「それを結論とする証明図が存在する」なので、これはRE。

0484１３２人目の素数さん

2014/02/08(土) 13:44:54.58

それだけでは「完全性定理」とは言えない

0485１３２人目の素数さん

2014/02/08(土) 19:15:51.59

論理式全体の集合もREですから

0486481, 483

2014/02/08(土) 20:05:24.28

>>484
はい、これだけでは完全性定理とは言えないですね。
「Σ＾0_1文を表現可能なΔ^0_1理論は決定不能」に匹敵する簡潔な表現を完全性定理に対して試みたものです。

>>485
論理式全体はREどころかRecursive（計算可能）です。
ここでのポイントは
「恒真な論理式【だけ】を全部集めた集合」はパッと見REでないのに、
「論理体系で導出できる論理式【だけ】を全部集めた集合」は明らかにREである、
という点です。

0487１３２人目の素数さん

2014/02/08(土) 21:12:35.63

あと出しカッコ悪い

0488480

2014/02/10(月) 07:34:14.81

「一階述語論理（を表す記号）は完全（決定可能）」と言うことはできないのですか

0489１３２人目の素数さん

2014/02/10(月) 17:53:40.16

判定するアルゴリズムは無い。

0490１３２人目の素数さん

2014/02/10(月) 22:53:11.48

>> 488
たぶんここで使っている「完全（決定可能）」とは、
判定アルゴリズムがある、という意味の決定可能ではなく、
どんな閉論理式もそれ自身がその否定が証明できる、という意味の決定可能だと推測します。
しかしいずれも意味としても、
一階述語論理で恒真な（証明可能な）閉論理式全体は「決定可能」ではありません。

0491１３２人目の素数さん

2014/02/10(月) 22:57:40.41

【訂正】
>>490
誤>> ...それ自身がその否定が証明できる、...
正>> ...それ自身かその否定が証明できる、...

0492１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 15:05:22.34

なんでこの赤い丸で囲んだところのように定義するのか分かりません

0493１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 15:06:09.75

http://i.imgur.com/yzhDwuv.jpg
P_nでn番目の素数です

0494１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 19:06:01.87

>493
お前は質問を論理的に説明する方法を勉強しろ。
質問を理解するために必要な情報が全然足りない。

0495１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 19:56:45.20

>>494
別にお前は答えなくていいよ

補足すると
ゲーデルの不完全性定理について

IsformSeq(x)は「xは基本論理式から組み上げた論理式の列」
len(x)は「列xの長さ」
x・yは列xと列yを連結させた列

0496１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 20:00:02.73

まあどうせこんなとこで聞いても答えは出ないだろうけど

0497１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 20:00:03.23

論理式の構成列 n の最後の項が x とする
（無駄な項を省いて）構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる（理由は後述する）ことがわかるので
初めから len(n)≦len(x)^2 を満たす n を選んでおく

また、無駄を省いたことで、構成列 n には x の一部である論理式しか現れないとしてよい

n ＝ [P1]^m1×…×[Plen(n)]^mlen(n) ≦ [P1]^x×…×[Plen(n)]^x ≦ { [Plen(x)^2]^x }^len(x)^2 ＝ [Plen(x)^2]^xlen(x)^2

構成列をツリー状に配置すれば
len(n’)≦len(x)^2 となるような構成列 n’がつくれる理由：

構成列 n を元にして論理式 x を構成するツリーをつくる（ツリーの根に当たるのが x である）
このツリーには x の一部である論理式しか現れない
ツリーを遡るほど論理式は短くなるので、ツリーの高さは len(x) 以下
ツリーの葉（最も基本的な論理式）の個数も len(x) 以下
したがって、このツリーに現れる論理式の個数は len(x)×len(x) 以下である
逆にこのようなツリーを元にして x の構成列 n’がつくれる

0498１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 20:46:15.87

>>497
ありがとなす！
あと申し訳ないんだけど、len(n)のn番目の要素をxとすると、その要素は一つだからlen(x)って1になると思うんだけど…
よくわからない

0499１３２人目の素数さん

2014/02/11(火) 20:58:13.01

nは　　論理式が　　len(n)個並んだ列

xは　　記号が　　len(x)個並んだ（論理式と呼ばれるタイプの）列

0500１３２人目の素数さん

2014/02/12(水) 10:46:17.36

喪毎ら、何を呆けたこと議論すてんだ。こんバカタレが。ｗ

http://www.age.ne.jp/x/eurms/ にある、エムシラ御大の本を読んでみろ、目から鱗だぞ。

0501１３２人目の素数さん

2014/02/12(水) 11:37:07.47

はいはい。自分の巣にお帰り。

0502１３２人目の素数さん

2014/02/12(水) 17:15:05.61

御大は、生きてるうちから、伝説の人。

0503１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 05:03:23.40

どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論のほうが、全面的に、正しいようだな。

例えば、【対偶律】は、従来は (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。

そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。

M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html

0504Mujina2

2014/02/14(金) 08:27:38.70

>>503
おいおい（～～）

0505１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 16:12:20.82

前原昭二第2不完全性定理の内容的解釈
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/20/3/20_3_143/_pdf

上のpdfでは第2不完全性定理を例にとり、論理式の表す「内容」が真偽でも証明可能性でも捉えられないことを指摘しています。
すなわち…

（形式的体系が無矛盾という仮定の下で）
「xは1=2の証明のゲーデル数ではない」を形式化した論理式P(x)と、論理式x=xは、ともに恒等的に真な命題関数を表すが「内容」は異なる。

第2不完全性定理によると∀x(P(x)⇔x=x)は証明できない。
この事実を手掛かりに
　　A⇔Bが証明できるとき論理式AとBの「内容」を同一視する
と試みても、A⇔Bが証明できるかどうか（AとBが同じ「内容」かどうか）は形式的体系に依存することになり、不適切である。

第2不完全性定理は、「1=2は証明できない」という「内容」を表す論理式のうちの一つが証明できない、と主張するに過ぎない。
「内容」そのものが証明できないことを示すのが理想であり、そのためには、
原始帰納的述語を全称量化した「1=2は証明できない」という「内容」を、どんな種類の論理式と関連付けるべきかが課題である。
と、筆者は締めくくっています。

この問題の（部分的にでも）解決を試みた文献がもしありましたら、お教えください。

0506１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 19:08:27.73

第二不完全性とか言わなくても
A→AとA→(A∧A)と[(A→B)→A]→Aはどれも真だけど意味が違う訳で。

Loebのderivability conditions（可導性条件、導出可能性条件）が
最初に文献に出て来たのがいつかは分からないけど、
少なくともHilbert Bernaysには既に出て来るし、
最近の教科書には大抵載っている。
ロッサーの可証性述語の「自分より小さなゲーデル数の証明と矛盾しない」、
みたいな余計な条件によってバイパスされて"無矛盾性"が出て来ないための条件だけど、
これで或る程度用は足りてるんじゃないかな。
前原先生はたぶんこれもあまり知らなかったんじゃないかな、と思う。

真偽値とかと違う意味での命題の内包的意味とは何か、というのは
数学よりも哲学よりの話になってくると思う。論理学の話であるのは確かだけど。

0507１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 19:33:46.84

フェルマーの最終定理の証明はスキームの圏などを扱うから
その証明がZFCに収まらないかもしれない、とかいうのは
典型的なロジックに対する無知だよね。

0508１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 19:39:49.28

ACを使うから云々みたいなのも当時見た

0509１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 19:48:45.71

ここにいる人達は圏論的論理学はどう思ってんの？

0510１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 20:42:22.43

>>506
回答ありがとうございます。
その三つの可導性条件を、「証明できる」という内容を表す論理式が持つべき条件、と見なせばいいわけですね。
かなりスッキリしました。

0511１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 20:47:07.63

>>505
そんなに深く考えないでも、命題の真偽値とその意味内容とは別物だという事は
当たり前の事じゃないの?それらが同じだとすれば、命題には2種類の意味しか
ないという事になっちゃうと思うが?

0512506

2014/02/14(金) 23:24:44.22

まあ一見当然なんだけどそこを敢えて
命題の外延的意味、Bedeutung, meaningはその真理値だとみなした事が
Fregeの偉かった所だったりする。

まあそれ以後の言語哲学では命題の（内包的）意味Sinn, senseを理解するというのは
その命題がどういうときに正しくてどういうときに
間違っているかを理解することだ、とかそういうことも言われるけどね。
どっちかというと論理学と言うか言語哲学に近いか

0513１３２人目の素数さん

2014/02/14(金) 23:29:10.18

>>509
圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
圏論の入門書に期待してる

まあAwodeyも持ってるんだけど読む時間が無い
いつかはSheaves in ～読みたいなあ、とは思う

0514１３２人目の素数さん

2014/02/15(土) 11:09:00.62

>>508
まあ、命題の「意味」と言ったら命題そのもの（内包的意味）の事であって、
真理値は文字通り、命題の「（真偽についての）値」に過ぎない、
というのが普通の言葉使いであることは、じいちゃんばあちゃんに聞けばわかる。
それを「（外延的）意味」と言ったりするから、余計な哲学的問題を作って
しまうのじゃないかね？
年俸20億円というのは、田中将大という人間そのものじゃなく、その属性値の
一つに過ぎないよね。

0515１３２人目の素数さん

2014/02/15(土) 11:11:21.36

>>508じゃなく>>512だった

0516506

2014/02/15(土) 13:30:57.47

もう数学の話じゃないからこのレスまでにするけど、
「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的なsense（日本語では意義と訳す）は違うけど
述語論理の教科書に出て来る普通のTarski的な意味論を考えたら
その解釈は同じになる。意味論的に同じだということは、その意味は同じだと言っていることになる。

そもそも外延的意味と内包的意義では外延的な意味の方が数学的には扱いやすく、
Fregeがこういう区別を持ちこんで外延的意味の方を主に扱ったから
現代的な記号論理学が発達した訳で、その結果として数理論理学が発達した訳で、
外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ！とは言いにくいと思う。

0517１３２人目の素数さん

2014/02/15(土) 14:57:47.01

>>516
オレもこれでやめるが
>外延的な意味なんか余計な哲学的問題だ！とは言いにくいと思う。
ちょっと誤解があると思う．オレが言ったのは
「外延的な意味」という言葉使いが不適切だ、という事だった。
それから、「4-2」と「1以上の最小の素数」は内包的にもほぼ同じsenseの
ようにも思う。少なくとも、「内閣総理大臣」と「安倍晋三」程の内包的意味の
違いはないね。

0518１３２人目の素数さん

2014/02/15(土) 15:34:15.97

>圏論は全然知らないからもうすぐ出るという噂の
だれが書いてるの?

0519１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 04:37:50.91

圏論（category theory ）なんて、トンだお笑い草だ。ｗ

0520１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 08:25:18.12

>>519
どんなとこが?

0521１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 08:58:27.97

>>513
詳細希望

0522１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 10:24:04.38

>>520

material implication の上に構築された理論など「根無し草」ってことさ。

Goedelの、いわゆる“不完全性定理”とて同じ。ｗ

0523１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 10:50:22.31

>material implication の上に構築された理論
もう少し詳しく。
それに、それが圏論の本質的特徴なのか？
そして不完全性定理が根なし草とも思わないんだが。

0524１３２人目の素数さん

2014/02/16(日) 21:41:55.33

>>523
＞不完全性定理が根なし草とも思わないんだが

その“証明”の冒頭で、P&(P⊃Q)⊃Q であるとして、B_Russell の material implication
を平然として使っている。

0525↑

2014/02/16(日) 21:46:48.11

P&(P⊃Q)⊃Q は、P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミスです。御免なさい。

0526１３２人目の素数さん

2014/02/19(水) 22:09:32.65

こういう勘違いしてる奴って多いよなw

0527１３２人目の素数さん

2014/02/20(木) 08:27:55.61

>>526

勘違いしてんのはおまえのほうだ。ｗｗｗｗ

0528１３２人目の素数さん

2014/02/20(木) 09:52:03.94

どういう勘違いの話をしてるんだ？

0529１３２人目の素数さん

2014/02/20(木) 09:53:13.98

material implication の paradox

0530１３２人目の素数さん

2014/02/20(木) 18:50:13.77

不完全性定理の証明の中でP&(P⊃Q)⊃Qが使われていたら、どうまずいのだ？
そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。

0531１３２人目の素数さん

2014/02/21(金) 06:23:44.03

>>530
＞そんなの、数学の中では普通に使われていると思うが。

おまえ、アホちゃうか？　(^o^)

例えば、高木貞治（著）『解析概論』での定理の証明に
、P&(P⊃Q)⊃Qが使われている例があったらあげてみろ。

0532１３２人目の素数さん

2014/02/21(金) 15:06:40.98

、高木貞治（著）『解析概論』での定理の証明に、P&(P⊃Q)⊃Qが使われている例が
一つでもあったらあげてみろ。ｗ

0533１３２人目の素数さん

2014/02/21(金) 15:57:32.36

>>531
大雑把にP&(P⊃Q)⊃Q等と言っているけど、
PとQに何か条件を課さなくていいのかい？

0534１３２人目の素数さん

2014/02/21(金) 19:30:26.07

P&(P⊃Q)⊃Qは形式的定理の　一般形（PとQに何も条件を課さない）としては　実質含意のパラドックス的状況を含むけど、
不完全性定理等の　具体的な定理　の証明のために、この形式的定理を　実際に使う場面では　実質含意のパラドックス的状況は含まない。
もちろん、メタレベルの証明でも含まない。
実際に数学の証明を行うときはPとQには必ず内容の関連があるのだから。

0535１３２人目の素数さん

2014/02/21(金) 19:50:44.27

どうなん？ >531

0536１３２人目の素数さん

2014/02/21(金) 21:02:46.97

P&(P⊃Q)⊃Q は P&(P⊃Q)⊃Q の入力ミス。 P⊃Q は～PvQ と同義とするのが
実質的内含(material implication) で、この解釈は、古代ギリシアの昔から論議を
呼んできた難問中の難問！

0537１３２人目の素数さん

2014/02/22(土) 10:53:53.04

>古代ギリシアの昔から論議を
そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
つまり単なる哲学パズルなんだよな

0538１３２人目の素数さん

2014/02/22(土) 23:21:39.74

それ数学の話じゃないから

0539１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 07:38:11.39

>>537
>>538

バカモン！　＼(-o-)／

Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。

そして、それらの根っこには、material implication の困難が在るのだ。

0540Mujina2

2014/02/23(日) 11:02:21.36

>>539
>Goedel は Whitehead & Russell の "Principia Mathematica" に基づいて、
”不完全性定理”を得たのだ。
って『基づいて』じゃねーだろ　どんなDQN向け入門書一冊で書き込みしてるんだよ（～～）

0541１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 11:29:04.51

エムシラちゃんは隔離スレがあるんだからそちらだけで書くようにね

0542１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 11:55:26.92

>>540

"On Formally Undecidable Propositions of of Principia Mathematica And Related Systems"
by Kurt Goedel

0543１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 12:11:36.87

>>538
＞それ数学の話じゃないから

何ばボケちょるか（爆笑

メタ数学の話をしてんだぞ。

0544１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 12:19:19.45

>>537
＞そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
＞つまり単なる哲学パズルなんだよな

いいや違(tsuga)う。

0545１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 14:42:52.38

また、ハゲがなんか騒いでるな

https://twitter.com/Eukie_M_SHIRAIS

ゲーデルの不完全性定理に、実質含意の問題など関係ない

対角化補題の証明も知らん文系出身のハゲに
不完全性定理が理解できるわけないだろｗ

＞私は、学生時代、経済学や、マネジメント・サイエンス、電算機etcを専攻し、
＞物理を専攻したのではないのですが、物理は高校のときから得意でした。

0546１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 19:02:06.32

P⊃Q ⇔ ～PvQ
としてなんか問題あるんだっけ？

0547１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 19:44:15.05

問題ないよ。
material implication が変だ、というのは
数学での言葉遣いと数学以外での言葉遣いを混同して混乱しているだけだよ。
自分勝手な言葉を創造することは自由だけど、他人には通じないよね。

0548１３２人目の素数さん

2014/02/23(日) 22:25:34.59

>>547 etc,

コチ向かば
ソチが呆けてる
春の日だまり

詠み火と知らず　圖

0549Ｍ_ＳＨＩＲＡＩＳＨＩ

2014/02/24(月) 08:38:35.42

"material implication" とは B_Russell の“造語”であって、古代ギリシアには概念は在ったが
ことばは無かった。(^o^)　

古代ギリシアでは、フィロンというメガラ派の学者が唱えて大論争となったことが
今に知られている。

0550Mujina2

2014/02/24(月) 11:29:26.17

誰だ？呼ぶなよ（～～）ってか御大ようこそ
ご本人っすね？やーちょっととくしたきぶん
今EudoxosとMelissusやってるんすけど
なんか推奨文献とかうpして戴けませんか？
勝手なリクですんません<(__)>

0551１３２人目の素数さん

2014/02/24(月) 23:10:22.15

>>550

コチ向かば
ソチも呆けちょる
春の日だまり

詠み人知らず　圖

0552１３２人目の素数さん

2014/02/25(火) 02:16:15.29

圓

0553M_SHIRAISHI

2014/02/25(火) 05:36:46.16

辞書をＡから順に覚えるは愚の骨頂！

勝海舟は同じ辞書を２度までも直筆して覚えたのだ。
約１００年前の日本人にできたことが現代ないしは
未来の日本人にできないわけがあろうか！？！

おなじまま食って何処(toko)つがう！　
世界に冠たる★日本食★をだ！！！

0554１３２人目の素数さん

2014/02/25(火) 11:13:11.12

ベルトランの逆説に関しての議論で、M.Shiraishi氏が自爆したようなこと
を書いているヤシがいるけど、そいつって、マツシン並みの間抜けだよな（ｗ

M.Shiraishi氏は、「ベルトランの逆説に関しての従来の通説は間違いである
ことに気づいた」と言い出し、「この逆説は、確率の従来の定義が間違って
いたことによるものだ」として、議論を決着させている。

自爆どころか、２０世紀の確率論の基礎を覆す、凄い発見というべきだろう。

http://www.age.ne.jp/x/eurms/Bertrand.html

0555Mujina2

2014/02/25(火) 13:21:54.70

>>551
圖？　圖（ず）だよね圓（えん）じゃなくて
Gcc1εってことか？よーわからんzzz（～～）

0556１３２人目の素数さん

2014/02/25(火) 18:41:08.78

>>555

悩む無かれ。万事、楽しむべし。

0557１３２人目の素数さん

2014/02/25(火) 21:02:50.16

入力ミスしたっす。(^o^)

悩む勿れ。万事、楽しむべし。クイズを解くは楽し。

0558１３２人目の素数さん

2014/02/25(火) 21:20:03.34

>>555 --->>557
＞圖？　圖（ず）だよね圓（えん）じゃなくて
＞Gcc1εってことか？よーわからんzzz（～～）

ﾜﾛﾀYo

0559１３２人目の素数さん

2014/02/26(水) 11:19:52.77

>>537
＞そういうのは、アキレスと亀と同じく、大体が問題のための問題、
＞つまり単なる哲学パズルなんだよな

いいや違(tsuga)う。断じて違う！　Thus truly truly We tell YOU !

0560Mujina2

2014/02/26(水) 16:36:47.37

流れがよめんではないかShIt
誰かクイ圖とパ圖ルを混同してるだろ
日本語では別物だからな
それから　つがうどがいっでるしど（５５９）
ゲーデルの１９３１年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
あれ？わしレスの相手まつがえでるがもつがっでだらすまねな

0561１３２人目の素数さん

2014/02/27(木) 00:33:49.09

ZFCで理論Tに対して普通の集合のモデルMが存在したら
CON(T)が言えるのに、Tに対して特定のクラスモデル（整礎集合WFとか構成的集合Lとか）が
存在してもCON(T)が言えないのはどうしてですか？
健全性定理の証明のどこに引っ掛かるのか分からず悩んでいます。

0562M_SHIRAISHI

2014/02/27(木) 13:21:51.87

＞ゲーデルの１９３１年の論文は英訳だしもとの独語のは・・・
＞あれ？わしレスの相手まつがえでるがもつがっでだらすまねな

"Kurt Goedel Collected Works" Volume I Oxford University Press

pp.144～194

0563Mujina2

2014/02/27(木) 21:10:10.71

>>562
あ　すまねす
そりより５６１さの話おもしろそだがらながれそっじえもっでぐね（～～）

0564M_SHIRAISHI

2014/03/01(土) 05:40:56.32

SeiSei_DouDou to Jitstu_Mei wo nanorei Kon Бакамон！

0565M_SHIRAISHI

2014/03/01(土) 05:51:48.53

２１世紀を夢見れる人々は幸せである。新世紀は彼らのものである。

反対に、２０世紀に囚われているひとは惨めである。惨敗に次ぐ惨敗が待っている。

0566１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 10:37:15.27

>>

三々七拍子!（San_san_nana ByohShi !）Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU

0567１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 10:42:43.24

もう一度！

三々七拍子!（San_san_nana ByohShi !）Freeh Freeh TOHOKU,
Sore ! Fre Fre TOHOKU, Fre Fre TOHOKU Fre Fre TOHOKU

0568１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 11:17:27.87

>>561
「CON(T)が言える」ってどういうことなのかを
追求（定義？）する必要があるんじゃない？

0569561

2014/03/01(土) 15:50:50.33

ごめんなさい、教科書を先に読み進めたら
H(κ) |= Γであるとき、H(κ)が集合であることが言えたときと
言えない（クラスであることしか分かってない)ときに
CON(Γ)がどういう意味で帰結したと言えるのかに違いがある、
的な話がきちんと説明されてました。ほぼ>>561の答えそのものですね。

先に自分で疑問を持っていろいろ考えて調べたりしたのは無駄じゃなかったですけど。

そもそもCONがメタレベルの言明か、集合としてコードされた
論理式に対応する集合論内のオブジェクトなのか、違いがあるわけですね。

0570１３２人目の素数さん

2014/03/01(土) 16:05:38.60

上の方で、RobinsonのQで第二不完全性定理が示せる、という
お話がありましたけど、Qより弱いRでも第二不完全性定理は示せますか？
ご存知の方教えてください。

05711

2014/03/01(土) 17:00:55.16

昔>>1のテンプレを書いたものですけど、今思えば
>素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として
って専門外の人には分かりやすいしヒルベルトの心中に限って言えば
割と正しいかもしれませんが、実際は数学史的には偏った見方ですね。

「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
の方が良い気がしてきました。

http://www.shayashi.jp/HistoryOfFOM/papers/gendaishiso.html
>このとき、カントールにはパラドックスという意識はなく、肯定的にうけとめ集合論最大の発見とさえ書いている。
Cantorは、内包公理が矛盾したとき、理論の破綻と考えるのではなく、
内包公理の否定が導けたと言っていて、実はかなり現代的な理解をしている訳です。
尤も与えられた公理と推論規則の集まりが矛盾した時に、どれを間違っているとみなすか、
という問題はありますし、Quineみたいに
「どれか一つを選ぶ基準なんて全く無いよ」と明言する論理学者も居ますが。
http://www.academia.edu/1703202/_　も参照。

http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-2.html
の「パラドックス史観」の話も参照。
確かに不完全性定理が否定的な残念でガッカリな結果とだけ思われるのに
繋がるとしたら大変困ったことです。ゲーデル自身もロジシャンも、
不完全性定理を最初に勉強した時は「こんな上手い良い定理が成り立つのか！」
と思った人が多いはずです。

0572Mujina2

2014/03/02(日) 07:34:15.41

>>564
おりがまつがっでだ　ふんどにすまね
>>561
自己解決されたようでよかった今後の書き込みにも期待してます
>>571(1?)
thx テンプレへの言及がg.j. 先走りかもしれませんが次スレの『テンプレrel1.01』を
めぐってここで暫く討論してみればどうでしょうか鉄気味のほうへ脱線したらそれはそのときまた
改めて対処できると思います
>>570
できれば『強・弱』の５７０さんなりの理解をkwsk（～～）
質問に質問で返すのがお約束ですので

0573１３２人目の素数さん

2014/03/02(日) 08:23:39.80

572 ：Mujina2：2014/03/02(日) 07:34:15.41
>>564

＞おりがまつがっでだ　ふんどにすまね

おはん、言ってることとやってることとが矛盾しているのに
気がついていないのか？

0574Mujina2

2014/03/02(日) 08:39:19.84

>>573
確かに（～～）
まあ半分気づいてるんだが2chだとついなあたぶん人格が破綻しかけてるんだ
笑って許してとは言わんが生ぬるくスルーしてくんねーかな

0575１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 03:38:50.58

公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？

0576１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 03:48:11.67

算術の体系に矛盾が見つかったとして
2+3=5は成り立たなくなる、あるいは無意味になると思う？
極端な話と、それと同じことだ

0577１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 03:49:06.31

×　極端な話と、それと同じことだ
○　極端な話、それと同じことだ

0578１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 10:08:24.41

基礎論の研究はそれ以外の数学の研究と切り離せるとうことでok?

0579１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 14:49:51.84

ネット版のホストみたいなの発見。

イケメンなら稼げるんだろうけど。
話が上手けりゃ稼げるかな。

誰かレポ頼む。
メンガでググると出てくる。

0580１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 20:23:45.72

基礎論を特別視したがる人もいるけど、
整数論が整数を相手にして、グラフ理論がグラフを相手にしているのと同じく
基礎論は「数学」を相手にしてるだけと思う。
つまり研究対象が違うだけでやっていることは他の分野の数学と同じかと。

0581１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 21:48:26.96

>>576
もし仮に、算術の体系に矛盾が見つかったら…どうなる？

チョット想像がつかないが、仮定することはできるか、不可能な仮定か、どうだろう？

その場合でも 2 + 3 = 5 が成り立たなくなることはないが、2 + 3 = 6 も真になるな

論理がつぶれても、現実に２コのものと３コのものを合わせると５コになるという
経験則により強固に支持されているので意味を持つが、数学としてはどうなるか？
その場合、現実を数学では記述できない、ということになるかも。

集合論のときは公理系を変えてリカバーできたが
必ずしもリカバーできるつぶれ方ばかりとは限らないのでは？

0582１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 22:30:47.60

算術の公理から矛盾が出たら、集合論同様公理を変えるだけ。その公理がうまくいかなきゃやり直す。
どのみち誰もが納得できる絶対的な無矛盾性証明なんてできないんだから。

0583１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 22:43:36.27

その変える先の公理が存在するかを問題にしている

公理が底をついてしまうこともあるのでは？

0584１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 23:06:04.61

仮に矛盾しても、爆発(A∧￢A)→Bを認めなければ大した問題じゃない

もしも算術が矛盾するようなら、
古典論理を「数学者が現実に行っている非形式的な推論」の近似とすること自体を見直すべきかもね

0585１３２人目の素数さん

2014/03/07(金) 23:25:29.73

そもそも公理系は有限個しかないと証明されてないんだから心配ご無用

0586１３２人目の素数さん

2014/03/08(土) 13:40:47.93

矛盾が出て弱める為に公理を変える時は、その公理から出る適当な定理を公理にする
出る定理は無限だから問題ない
強めるときは決定不能な定理が必ずあるからやはり問題ない

0587１３２人目の素数さん

2014/03/08(土) 13:44:51.42

公理のセットではなく、定理のセットが無限個あるのでないと意味ないと思う

0588１３２人目の素数さん

2014/03/08(土) 16:14:43.23

＞公理が底をついてしまうこともあるのでは？
いや、ないでしょｊｋ

0589予言者

2014/03/13(木) 12:28:57.43

中国共産党独裁政権は、早晩、崩落する。

尚、余はソ連邦（ＣＣＣＰ）の崩壊を、その遥（はる）か昔に予言せり。

論理的必然性が在るのだ。

0590Mujina2

2014/03/13(木) 20:49:50.98

>>589
ふーん数理を現実の地政学にいとも簡単に拡張するのか？
預言と予言との異同をどうやってDefineするのか教えてくれんかのう（～～）

0591１３２人目の素数さん

2014/03/14(金) 15:35:08.47

CCCP；Союз Советских 以下省略。

0592１３２人目の素数さん

2014/03/14(金) 15:59:51.20

ロス亜誤だったんだべか、わす、シーシーシーピーってから、何のこと
かさっぱり和漢中田べ

0593１３２人目の素数さん

2014/03/14(金) 16:08:10.30

コチ向かば

ソチが呆けちょる

春の日だまり

詠み人知らず　圖

0594１３２人目の素数さん

2014/03/14(金) 16:34:11.55

さっさと半分売れよ北方領土

0595M_SHIRAISHI

2014/03/14(金) 20:07:58.53

自然数は０から始まらねばならぬ論理的必然性があえる。例を挙げてそれを示せ。

0596１３２人目の素数さん

2014/03/14(金) 20:25:09.22

単なる命名に、論理もクソも無い。
0以上の整数でも、1以上の整数でも、
好きな方を「自然数」と呼べば良いだけだ。
他方は「ビアマグ」とでも呼べばいい。
私は、0以上の「自然数」が好きだが、
それに「論理的根拠」を付けてくるような
馬鹿は嫌い。

0597１３２人目の素数さん

2014/03/14(金) 22:57:02.89

あえるって何？料理の方法的なアレですか？

>>596
名前欄に注意

0598１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 00:02:02.54

ソユーズ

0599１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 02:26:34.96

ж

0600M_SHIRAISHI

2014/03/15(土) 05:47:43.22

>>595
>>596

きみの居る所を、仮に地下一階（＝－１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？

一階か？　No! ０階や。　その上の階が一階（first floor）や。
以下、同様。

>>597

御免！　入力ミスしてた。ｗ　　ご指摘、ありがとう！

「あえる」を「在る」に修正してお詫び致します。m(_ _)m

# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。日*米は愚かなり。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

0601M_SHIRAISHI

2014/03/15(土) 06:11:10.90

>>595
>>596

きみの居る所を、仮に地下一階（＝－１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？

一階か？　No! ０階や。　その上の階が一階（first floor）や。
その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。

# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。日*米は愚かなり。

0602１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 06:29:33.82

>>601
＞その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。

その上の上の階が二階（second floor）。　以下、同様。

0603M_SHIRAISHI

2014/03/15(土) 07:16:52.92

>>575
＞公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？

浮き草になる。つまり、論拠を失ってしまうだけのことであって、
偽になってしまうとは限らない。

0604１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 07:40:20.66

浮き草---- 浮いたままのものもあれば、沈んでゆくものもある。

0605１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 07:46:33.21

確率は？

0606１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 07:50:45.13

統計をとってみなｗ

0607１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 10:10:11.64

>>603
数学でいう真実ってすべてアドホックなものだからなあ。

0608１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 10:37:21.79

>>607
どういうこと？

0609１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 10:40:19.26

>>575
Γ:={φ1, φ2, φ3, ......} が矛盾しているということは
Γ - φn から￢φnが証明できるということ。
どの公理φnが間違っていたか特定したうえで、
φnを証明に使っていない定理は生き残る。

φnを証明に使っていた定理は、
他の公理から証明できれば使い続けられる。
そうでない場合は切り捨てないといけない。

どの公理もどうしても捨てられない場合、
最後の選択肢として公理系は全部残したまま、
論理部分を改変する手もあるけど、これは最後の手段だと思う。

0610１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 11:02:31.97

>>608
ナマの事実（有限の記号操作）
前提・仮定（公理や推論規則）
証明されたこと（定理）

結局これだけしかなくて、真理や真実を探し求めてるわけじゃないってこと。

0611１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 11:15:19.51

>>610って、例えば
「位数が素数の有限群は巡回群である」
という定理は生の事実でない群論の公理を使うから
真実ではない、と言ってるのに近くない？

哲学者はともかく、数学者にこういうこと言ったら多くが反発すると思う。

0612１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 11:24:00.58

>>611
数学は「真実か否か」なんて議論自体をしないだろう。
というか、そういう議論から自由な存在だ。

0613１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 11:49:06.14

>>611
「位数が素数の有限群は巡回群である」という主張を
群論の公理が仮定されていない場所で使うのか？

0614１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 11:51:23.21

別に「定理～～はこの世における絶対的真理だ」が
数学の命題だなんて言ってる訳じゃないよ。

それに>>610でも数学の定理は真理や真実じゃない、みたいなこと言ってるやん。

真理かどうかはどうでも良いと言えば良いけど、個人的には
「素数は無限に存在する」という定理などが、他の科学的な事実の主張に比べて
ad hocだとは全然考えない

0615１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 11:54:47.83

>>613
群論の公理は証明不要の自明の真理というよりも、ほとんど
これこれのものを群と呼びましょう、という定義だから
そもそもそれなしに群に関する主張はできない。

またそれを使ったからって、公理の正しさに依存するad hocな真理だ、
というのは無茶だと思う。

0616１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 13:38:06.02

>>615
前半は全くその通りだけど、公理の「正しさ」って何だ？

0617１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 13:41:56.98

真理だということは正しいということかと思う

数学の哲学上のかなり極端な立場でもない限り
なんで「位数が素数の有限群は巡回群である」
「素数は無限に存在する」がad hocなのか分からんと言ってるだけ

0618１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 14:05:14.83

そもそも「自然数全体の集合」ですら何か共通の信念を持つことに依存してないでしょ。
その実在を信じない人がレアかどうか、ってのは関係ないよね。
何かを真実と信じることはあっても、その信念を「論拠にして」数学的な結論を導いたりはしないんだからさ。

0619１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 15:24:29.88

>>607 ---- >>618

結局、M.Shiraishi氏（つーか、ＥＵＲＭＳ）の言う、”論階”の差に帰着するなぁ～。

真実や事実は「０階の真理」。　論理学を除く諸科学の法則（真理）は「１階の真理」。

但し、数学的帰納法の原理とか相対性原理 etc. は「２階の真理」。

論理法則は、すべて、「２階の真理」。

0620↑

2014/03/15(土) 15:30:20.19

「３階の真理」もあっでよう！（ｗ

0621１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 15:32:34.85

>>619
そういう分類自体を絶対視してね？
そういうのは受け入れ難いんだよ。

その時その時の議論に応じて前提条件を変える。
変えていいんだ、ってのが「アドホック」の意味。

0622１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 17:20:24.06

>>618
標準自然数の真理述語の一意性はかなり微妙

それは背景の集合論に依存して真理述語1、真理述語2……
と同格の複数のものが考えられる、という立場もあり得るけど
あまり明確に主張してる人は聞いたこと無いなあ

0623１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 17:27:06.22

>>610
ナマの事実（有限の記号操作）って何のこと？
wikiに載ってたけど、そこに書いているような意味なの？

0624１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 18:15:42.64

「証明」とは何か？　何であるべきか？？？

0625１３２人目の素数さん

2014/03/15(土) 18:35:54.64

>>623
別に大した意味じゃない。
「式　1 + x の変数ｘに4を代入したものと、式　y + 4 の変数yに1を代入したものは同一の式である」
って程度の個別に直接確認できるような事実のことだね。

0626１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 01:13:25.32

http://pc.watch.impress.co.jp/docs/news/20131125_624993.html
頭ロボ君大学入試でTarski-Saidenbergの定理使うとかまじヤバいｗｗｗ

l'Hopitalならまだしも、「Tarskiの量化子除去を行うことにより～～」とか
入試答案に書かれたら東大や京大の教授でも顔を顰めるだろうなｗ

0627M_SHIRAISHI

2014/03/16(日) 05:41:24.94

>>607
>>615
>>621

適切な日本語が在りながら、ラテン語由来の英語（ad hoc）を、わざとらしく使って、
ソチ等は優越感にひたりたいのか、こん馬鹿たれが！

これを「“下衆”の勘ぐり」と言うならば、受けて立つ。
先ず、実名とE-mail address を書け！

以下、“ad hoc””なる用語は「使用禁止処分」とし、代わって「その場かぎの」」 or「一時凌ぎの」を用いる。

Follow US！

##　これに従わざる者には、塗炭(totan)の苦しみが待ち受けていることを覚悟せよ！

0628１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 07:32:50.19

隔離スレに帰れよw

0629１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 08:39:53.40

>>625,610
そういうナマの事実と、　「前提・仮定（公理や推論規則）」および「証明されたこと（定理）」
だけで、どれだけ数学を構成できるというんだ？

0630１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 09:46:36.23

>>629
ん？数学を作る人間の直観のことでも言ってんの？
表に出てくるのはその３つだけで十分。

0631１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 10:33:53.37

>>630
×表に出てくるのはその３つだけ
○その３つに帰着できる
な

0632１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 10:38:45.34

こういう場合よくあるのが「数学」の指してるものが
両者で違って議論になってないというパターン

現代の数学は基本的に形式化できる
→数学者の閃きをどうやって形式化できるんだ！みたいな

0633１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 11:25:48.21

Do you mean that the so-called “Completeness Theorem” is a result of an ill-posed
problem ?

0634１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 13:17:43.94

>>632
別にそんなことじゃないよ。表に出てくる結果のことだと認識してるよ。

0635１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 19:42:58.06

>>633
いわゆる「完全性定理」が不良設定問題の結果であることを意味するか？

？

0636１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 21:35:12.15

エーゲ海は大小あわせ約約2,500 の島々が浮かぶ海である。
瀬戸内海は大小あわせ約3,000 の島々が浮かぶ海である。

間違っているのはどっち？

0637１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 22:41:09.37

島々が海に浮かんでるなんて初めて知った
内海だから海流に流されないで済んでるんだね

0638１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 22:48:03.55

風が光ってる
波が光ってる
夢が光ってる
琥珀色に
風が呼んでいる
波が呼んでいる
夢が呼んでいる
エーゲ海

0639１３２人目の素数さん

2014/03/16(日) 22:56:57.29

ad hoc を日本語にするの難しいわ～

0640１３２人目の素数さん

2014/03/17(月) 23:00:49.30

>>635
完全性定理の証明に（弱い形での）選択公理が必要になること、
可算理論の場合でも少なくとも算術は必要になること。

0641１３２人目の素数さん

2014/03/18(火) 00:00:27.49

完全性定理は集合論の定理です。

0642１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 08:42:45.52

それは算術級数定理が関数論の定理だと言うようなものだ

0643１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 09:43:00.90

教えてください．
ゲーデルの不完全性定理などの場合は，その意義は一般にも理解し易い
（本当に理解できているかは別として）のですが，
ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性は，なにを意味していると理解すればよいの
でしょうか？「形式体系というものは，．．．なものだ」という意味を
もっているに違いないと思うのですが．

0644１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 19:19:25.63

>>635
言語Lの記号が整列されていれば選択公理要らないですよ。
我々が扱う具体的な理論（Peano算術とかZFCとか代数閉体の理論ACFとか）は
全部記号は整列可能ですよね？

何かを示すのに算術が必要だからill-posed problemだとか言い出したら
数学の大半の問題ははill-posedになると思うんですが。

0645１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 21:07:54.53

>>642
慣習的なことを言ってるの？
関数論の定理だと言って別に何か困ることないでしょう。

>>644
ill-posedなんじゃなく、必要な前提を明らかにしたうえで「～論の定理です」と言えばいいだけでしょ？

0646１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 22:43:52.26

>>643
一般にも理解し易い意味なんて別にないから気にしないで！

0647644

2014/03/19(水) 22:55:27.08

ごめん>>640へのレスのつもりだった

完全性定理はill-posedか
　→意味が分からない
→選択公理が要ったり、少なくとも算術を必要とする

という文脈で、算術が言ったってill-posedだとは言えないだろう、
というつもりのレスでした。

0648１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 22:58:56.64

>>646
世の中とは全くつながりがないということ？
そんなこともないでしょ？

0649１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 23:01:05.18

ええ…？
ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？

0650１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 23:10:19.41

不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから

0651１３２人目の素数さん

2014/03/19(水) 23:36:48.61

>>645
本当はXではなくてもXと呼ぶことはある。
慣習は守らなきゃ。

甘納豆は甘い納豆ではないし、
焼きソバは蕎麦ではない。
わんこソバは犬ではない

0652１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 13:34:11.47

>>649
>ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？
もちろんそうです．
「世の中とのつながり」というと，少し通俗的な感じがして，違いますが，

>>650
>不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから
誤解（解釈のし過ぎなど）が多いのは知っていますが，
定理をそのまま理解したり，その証明を追うだけで留めておけば
誤解は避けられるでしょうが，それでは，明らかにその意味を
理解したことにはならないわけで．
いろんな意味で一般化が必要ですよね．

0653１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 20:11:28.79

いや「世の中とのつながり」ってのはあなた自身が言った言葉だよ。
　そうです。　違いますが。　
とか言われても意味が分からない。

　定理をそのまま理解したのでは、
　明らかにその意味を理解したことにはならない
と言うのも意味分からない。

0654１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 21:24:55.79

653さん
定理をそのまま理解するというのは，定理が真であることが分ること，
その証明が追えてかつ自分で再現もできること，定理を適切に適用できること，
というようなことを指していました．
通常はこういう理解で満足するのでしょうが，考えてみると，こういう理解は，
いってみれば，無矛盾であればよしとする理解，機械でもできる理解，定理の
内部に閉じた理解，受動的な理解ではないかと思います．
そうではない理解，特に定理の外部との関係においての理解というものが
あり得て，むしろそういう理解をしたいと思っています．
これは数学なら数学の内部に閉じこもっている人たちには，何をいっているか
分ってもらいにくいと思いますが．

0655１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 21:31:25.16

数学の他分野ならともかく、よりにもよって集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ
しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし

0656１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 21:41:58.17

>集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ
いやいや独立性の定理なら，その定理の内部に閉じない理解でよいのです．
>しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし
そういう期待はまったくないんです．だから「世の中とのつながり」というと，
だいたいがそういうふうに誤解されるだろうなと思っていたのですが．

0657１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 21:44:18.93

当然具体例はあるのだろう。
「○○の定理は△△という形で世の中と繋がっている」
みたいな。
なんかあげてみてよ。

0658１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 21:49:41.83

「世の中とのつながり」というのが不適切な表現だったというのは良いとして、
じゃあどういう意味だったのかが不明

あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。

その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
と言い出すと得てして中途半端なことになる。

0659１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 21:53:16.08

不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の
一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが，
それと同じようなことがZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性定理についても
できないのかな？ということでした．

0660１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 21:57:19.09

>>659
そんじゃレーヴェンハイムでいいから、その「有意味な形」ってのを教えてよ。

0661１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 22:03:20.94

>>658
>あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
>というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
>ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。
>その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
>と言い出すと得てして中途半端なことになる。
通常の意味で定理が理解できるとかできないとか（どうもそれが相当
難しいと思っているようですが），そういう話をしているのじゃないんですよ．

0662１３２人目の素数さん

2014/03/20(木) 22:04:58.95

>>659
あと有名どころで、完全性定理とバナ・タルもよろしく

0663１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 03:57:21.62

悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。

こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。

「集合」という、カントールやツェルメロの時代には明確に把握されていると
思われていた概念が、どこまで行ってもかなり基本的な部分で
不明確な概念であることを示した、とまでは大雑把に言えるけど形式体系一般がどうという話じゃない。
それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。

単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
というだけじゃないのかな。それを
「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。

0664１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 11:05:50.29

>>663
>悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
>「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。
そうなのですか？そうなら残念です．
>こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。
そういえば，不完全性定理は，独立な命題を一つ二つ具体的に構成していますが，
「独立な命題がなぜ生じるのか」については何も言えていませんよね？
>それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。
たとえばどんな意味でしょうか？（それはまさに定理外部の意味だと思うのですが）
>単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
>というだけじゃないのかな。それを
通常のレーヴェンハイムの定理の表現では，むしろ一般の人は興味をもちにくい
と思います．

下は本題でないし，こういう場では結構起きがちな口論？なので
敢えていちいち気にしないことにしているのですが，
>「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
「内部に閉じている人」はたしかに（結構沢山）存在していて
そういう人たちには分かってもらいにくいのは事実ですよね．
>定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
>なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。
「高度な」とは一言も言っていないです．高度か低級かなんてことには
関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんです．
だけど，外部もありますよ，と言ってるだけです．

0665１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 11:16:55.80

単に自分好みの解釈を求めているだけだから。
待ってるのに来てくれないから。

0666１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 11:31:31.37

＞高度か低級かなんてことには関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんで

>>654の
「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？

0667１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 11:43:25.89

>>666
>「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？
何なの？ってどういう質問ですか？
まさかここでも，「機械でもできる」や「受動的な」を負の意味（批難の意味）に
とらえているのではないでしょうね？そうではないんですよ．

0668１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 12:07:18.14

避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
君には難しすぎて理解不能かも知れないが…

0669１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 12:18:06.23

>>668
>避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
>君には難しすぎて理解不能かも知れないが…
ここにも現れているように，
結局，あなたは，「難しいことが理解できること」ことが自慢の人の
内部的な人なんでしょうね．
先にも言いましたが，こんな口論みたいなやりとりは私はもう止めますね

0670１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 13:24:10.47

数学の内部で、他の定理や例や他の数学の分野との関わりにおける
意味と言うのは数学やる人も当然大事だと思っている。

「数学内部に閉じこもっている人」は証明をそのまま追うだけだから
機械でもできる受動的な理解に留まっていて
こういう理解の仕方はあまりしないだろう、とか言われても、
普通の数学者はそうではないので、何を言っているんだ？ということになる。

なんか、自分が分かって貰えないのは、レスを返す人が
「数学の内部に閉じこもっている」からだ、と思ってるみたいだけど、
自分のレスが分かりにくかったり実態に即していなかったり、という可能性は考えないの？

小平邦彦が書いていることだけど、或る定理を理解するには
その定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある。
>>643で書いてある独立命題についても、
重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
>>669は「形式体系とはこういうものだ」という一般論を求めているようなので
それじゃ満足しないだろうけどね。

0671１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 14:13:54.70

>>670
最初の３つのパラグラフはもともと同意です．
それに，これと同じことは私の方からだって言いたいかもしれない．
どちらにしても，私にとっては本題ではないです．こんなことはどうでもよいです．

>或る定理を理解するにはその定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある
「ことがある」ではなく，ほぼつねにそうでしょうね．
ただし，「証明をきちんと理解する」が，証明を（写経するように）追うことで
できるのでは必ずしもない（私の経験ではそれはむしろ下手なやりかた）とは
思います．

> >>643で書いてある独立命題についても、
>重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
>このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
これは貴重なコメントです．ちょっと考えてみます．
「定理の内容よりも、強制という証明手法が重要」？

>それじゃ満足しないだろうけどね
そんなことないですよ．

0672１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 14:54:03.41

これだけレスの応酬があって、「一般人が興味を持ちやすい説明」というものを頑なに例示しないのは何故だ

0673１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 16:33:53.87

理由は明白だ。自分でも理解できていないからだよ。

0674１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 18:27:07.75

「機械”でも”できる」を負の意味に捉えないでくれって言われても、ニュートラルな表現ではないからねえ。

「一般人が興味を持ちやすい説明」ってのは必ずしも自分の言葉じゃなくてもいいんだよねー。
○○の定理についてこのサイトではこんな説明がされてて、有意義で分かりやすいと感じた、でもいいし。
それすら示してくれないのは残念だね。

0675１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 19:16:37.13

言うとすれば自分の言葉で言うしかないようなものですが，
お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね．
それに，独立性命題についてなど，まだ見えない部分もありますので．

なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは，
「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません．

0676１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 19:20:13.53

>>675
独立性命題の説明じゃなくて、
＞不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の
＞一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが，
これら↑について例示してほしいのだけど

＞お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね．
ここには「数学の内部に閉じこもっている人たち」しかいないから？ｗ

0677１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 19:36:59.84

> なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは，
>「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません．

曖昧な言い換えを繰り返してもどこにも到達しないよ。
自分ば言いたいことを、一般人にも理解できる言葉や具体例で説明することから
始めるのが良いでしょう。

0678１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 19:53:31.47

>>675
適切な場所ではない、だって？
自分が質問するのは構わないが、同じ主題で自分が答えるのは適切でない、と？

0679１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 20:32:45.07

>>676
>これら↑について例示してほしいのだけど
そんなに興味がおありなら，yes/noくらいでなら答えられます．

>>678
なにも変ではないと思いますが．
私が質問しているときも，答えられる範囲で答えてくれることを
期待しているだけです．

ほら，つまらない口論の場になってるでしょ

0680１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 20:36:13.01

完全に喧嘩腰
もういいわ

0681１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 20:37:56.99

>>679
いや、非常に興味があるし、もしかしたら自分の見識を広められるのかもしれないので、
yes/noくらいでとおっしゃらずに

ぜ　ひ　教　え　て　く　だ　さ　い！

0682１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 20:39:07.04

結局、口論がしたかっただけなのかもな、この人は。

0683１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 20:52:36.51

とんだアルゼンチン野郎だ！

0684１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 21:29:37.63

目標：数学基礎論の諸定理に隠された意義を明らかにする

方法：基礎論・論理学スレでヒアリング

成果：数学の内部に閉じこもった者たちの無理解に阻まれ、当初の目的は達成できず。

評価：設定した目標は達成できなかったが、つまらない口論を避けるためにはやむを得なかった。
　　　　部外者を排除しようとする数学者の動機の存在を確認できた。

0685１３２人目の素数さん

2014/03/21(金) 22:10:02.37

こういう人は、他人から理解されないとその分だけ自身の正しさを確信していくから、この結果に満足してると思うよ。

0686１３２人目の素数さん

2014/03/22(土) 07:18:29.90

おのれのつまらないプライドを守るためには、
おのれの殻に閉じ込もり、
「おれを理解しない奴らが馬鹿」というおまじないを唱え続けるのが
ベストです。

矮小なプライドを守る代償として人生を失うことになりますが。

0687１３２人目の素数さん

2014/03/22(土) 08:43:15.94

プライドなのか飯の種なのか。

例示が無いのは持ち駒を潰されることを避けるためだろう。

0688１３２人目の素数さん

2014/03/22(土) 09:12:07.75

その程度じゃ飯を食ってけんよ

0689１３２人目の素数さん

2014/03/23(日) 06:19:07.35

オカズってことじゃないの？

0690１３２人目の素数さん

2014/03/23(日) 10:35:52.38

村上陽一郎とかそういう人だっけ？

0691１３２人目の素数さん

2014/03/23(日) 21:48:50.85

せこい人間だったな
しょーもない

0692１３２人目の素数さん

2014/03/23(日) 22:01:24.35

なんでここで村上陽一郎が出て来るのか分からん

0693１３２人目の素数さん

2014/03/23(日) 22:04:56.85

南部陽一郎

0694１３２人目の素数さん

2014/03/23(日) 22:56:15.66

ゴールドストン

0695１３２人目の素数さん

2014/03/28(金) 02:11:44.26

質問です。
数理論理学で修士号を取るためには、専門の数理論理学以外の数学の基礎知識はどこまで必要ですか？

0696１３２人目の素数さん

2014/03/28(金) 22:03:11.19

「数理論理学修士」（正確には「修士（数理論理学）」かな？）というものは、
現在の日本ではたぶん存在しない。
あるのは、理学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（理学）」とか、
工学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（工学）」とか、
文学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（文学）」とか、
、、、他同様。
数理論理学以外の知識として何をどれだけ要求するかは、先生に依存する。

0697１３２人目の素数さん

2014/03/29(土) 00:01:20.71

>>696
馬鹿かこいつ
微分幾何学修士も群論修士もないわ

0698１３２人目の素数さん

2014/03/29(土) 22:09:26.31

しかも質問には答えてねえし

0699１３２人目の素数さん

2014/03/29(土) 22:13:26.65

>>695はたぶんこいつ
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1395942865/

0700１３２人目の素数さん

2014/03/30(日) 03:09:20.17

一番最後で答えてると思うが

0701１３２人目の素数さん

2014/03/30(日) 08:19:29.07

>>695
修士論文を書ける専門能力以外に、必要な学力とは：
（１）大学院入試に合格する学力。
（２）大学院修了に必要な授業単位を取得できる学力。
だと思いますが。

0702１３２人目の素数さん

2014/03/30(日) 08:50:16.42

学費を払う経済力は？

0703１３２人目の素数さん

2014/03/30(日) 23:12:32.06

>>701
このご時世、(1)も(2)もほぼゼロだがな

0704名無しさん＠大阪商業大学

2014/04/02(水) 01:11:45.25

Jean van Heijenoortってどのくらい有名ですか？

0705１３２人目の素数さん

2014/04/11(金) 23:45:27.90

メタ数学って結局数学なの？数学じゃないの?

0706１３２人目の素数さん

2014/04/11(金) 23:53:08.22

数理論理学では、「理論」とか「モデル」とか、
「数学」のおもちゃのミニチュア模型みたいなものを作って
その性質を調べるようなことを良くします。
その際に研究対象のミニチュア模型を調べる時に使う普通の数学のことを、
研究対象となる「数学」と区別してメタ数学と言います。
つまりメタ数学は普通の数学です。

0707１３２人目の素数さん

2014/04/11(金) 23:55:42.45

>>706
調べる対象が「数学」なだけで、実体は普通の数学だと言うの？

推論規則は同じだよね？
公理は明示されてないようだけど、算術の公理一式ってこと？

0708１３２人目の素数さん

2014/04/12(土) 00:00:16.64

それは場合によって違う。

証明論とかは普通の算術であることもあるけど、
モデル理論とかだと集合論を仮定したり、連続体仮説を仮定すると
どういうことが言えるかを調べたりとかまでする。

いずれにせよ、最近ではメタ数学は有限の立場じゃないといけないのかどうかとか、
メタ数学で排中律を使って良いのかどうかとか、そういう問題意識はあまり流行らない。

0709１３２人目の素数さん

2014/04/12(土) 00:05:46.30

「証明論とかのメタ数学は普通の算術であることもあるけど、
モデル理論とかのメタ数学だと集合論を仮定したり、」ってことね

流行らないと書いたけど、そういう研究はそういう研究でちゃんと研究されてるみたい。
ただし数学科というよりも哲学科や情報科学科とかのロジシャンが研究してることが多いけど。

0710１３２人目の素数さん

2014/04/12(土) 00:08:12.71

>>708
よくわかりました。

「○○を仮定すると～」は数学的でわかるけど、「△△でなければならない」なんてのは
一体何の議論？って感じで馴染めない。

0711１３２人目の素数さん

2014/04/12(土) 00:26:12.15

あーでも証明論はよくわからないな。
実際の数学の証明に応用することがあるんなら、どんな仮定が入ってるのかが問題な気がする。

0712１３２人目の素数さん

2014/04/12(土) 00:47:23.56

>>711
実際の証明に応用される証明論の結果なんてあるの？
原理的には公理に推論規則を淡々と適用してくだけなんだし。
7+5=3*4を示すのに算術なんていらないのと同じ。

0713１３２人目の素数さん

2014/04/12(土) 08:00:26.43

前原昭二『記号論理入門新装版』は入門として良い本ですか？

0714１３２人目の素数さん

2014/04/12(土) 12:28:21.98

>>711
wikipediaに”不変条件”って項がある。
そこに書いてる、「MUパズルでMU を作ることができないことを示す方法」が有効だってことは認める？

0715１３２人目の素数さん

2014/04/12(土) 23:06:42.01

>>714
こういうのは一番わからないな。
有効か無効かで答えれば「無効」。

0716１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 18:55:41.80

>>715
算術の命題をMUシステムのメタな言明に翻訳したら「MUパズルでMU を作ることができない」となります。
あくまで算術の応用であり、その適否は各人が自由に判断してください。

と言ったら満足するの？

0717１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 19:14:39.82

あんたが何を主張してるのか意味不明だな。
証明論が実際に数学の証明に役立つ、という主張をしたいなら
MUパズルなんかではなく数学の具体例を出す必要がある。
証明論がおもしろいからやってるだけだ、文句あるか！？
というのであれば誰も文句はない。

0718１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 19:20:29.26

>>717
安価つけろや

0719１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 20:36:31.86

誰も証明論が実際に数学の証明に役立つなんて言ってないようだけど。

0720１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 20:55:04.36

発端の>>711がそもそも不明確なレスだからなあ
とりあえずMUパズルは直接関係無い気はするけど

0721１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 21:17:54.08

wikipediaにあるMUパズルに書いてる考え方ってどういう位置づけなの？
実際の証明論とはかけはなれたことなのか、それとも典型的で簡単な例と捉えるべきなのか。

0722１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 21:44:11.80

論理学も数学もあまり知らない
一般の人向けの大雑把な説明としては良いんじゃない？

スマリヤンのゲーデル関係のパズル本とかにも
似たようなもっと複雑なパズルが結構載ってるから
典型的で簡単な例と考えても良いんじゃないかと思う。
良く知らんけど。

0723１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 23:01:15.24

出題します。

「落ちる」「受かる」を互いの否定命題とする。
このとき、次の２つの命題は互いに否定命題であるか？

Ｐ「Twitterばっかやってたら落ちる。」
Ｑ「Twitterばっかやってても受かる人は受かる。」

0724１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 23:03:52.47

馬鹿は落ちる

0725１３２人目の素数さん

2014/04/13(日) 23:35:25.79

>>722
MUパズルのとこの説明は非常に簡便だけど、これが何かの証明になっているかと聞かれたらNOだよな。
本格的な証明論の内容はよく知らんけどｗ

0726１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 04:57:35.58

そもそも何のつもりMUパズルなんか持ちだしたのかわからん。
持ちだした本人には何らかの意図があったはずなんだが。

0727１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 12:10:18.91

>>726
>>722の言う通りに典型的で簡単な例として出したんじゃない？

0728１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 12:44:26.40

>>727
何の例なんだ？
数理論理学や証明論との関係が見えないのだが。

0729１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 13:05:07.30

証明論の例だろ

0730１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 13:25:22.21

>>729
証明論について根本的な誤解をしてるようだね。
入門書でも読めばいいんじゃねーの。

0731１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 14:37:52.38

>>730
俺の持ってる入門書ではMUパズルと同じような議論してるぞ。
証明図のdegreeとかrankとか。
どう根本的な誤解なんだよ？

0732１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 20:21:27.10

このパズルみたいな簡単な不変量じゃないし
厳密にいえば不変量でもないけど、
subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが
単調に増加していくということだから、似た空気ではあるよね。

逆に順序数の単調減少な量を定義するというのもよくあるテクニック。

ただ証明論についてあまり詳しくないから
「同じような議論」とまで言えるかどうかは分からんけど。

0733１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 20:28:28.51

>>732
> subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが
> 単調に増加していくということだから
cut除去ではcut論理式の複雑さを減らしていくことで
cut除去プロセスの停止性を保証するのでは？？

0734１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 20:45:54.28

根本的に誤解してるポイントが何なのか明らかにしてよ>>730

0735１３２人目の素数さん

2014/04/14(月) 23:12:15.51

結局は算術、そして結局は帰納法。
そこまで言っちゃえば「同じような議論」。

>>730の意図はわからないけど。
発端の>>711と>>715と合わせて全体の意図がよくわからない。

0736１３２人目の素数さん

2014/04/15(火) 09:37:55.37

>>735
> そこまで言っちゃえば「同じような議論」。

そうなんだよな。そこまで言っちゃえば、数学も証明論もMUパズルも全部一緒。

0737１３２人目の素数さん

2014/04/15(火) 23:28:15.17

Pour-El=Kripkeの定理って驚愕の定理みたいに書いてあることあるけど、
扱ってるのが本質的に可算で無原子的なブール代数であることを考えると
ブール代数として同型になるというのは
当時から良く知られていた事実のはずでどこが驚きどころなのか分からん

どっちかというとどういうときに成り立たないかの方が数学的には興味ある内容だと思う

0738科学史・科学哲学

2014/04/19(土) 05:12:52.35

非常にばかばかしい質問かもしれませんが、お答えください。
数学基礎論・数理論理学で博士号を取るためには、数学基礎論・数理論理学以外の数学をどの程度知る必要があるのでしょうか？
たとえば経済学ならば、経済史で博士号を取ろうと思えば理論経済学の知識は(むろん必要ではありますが)それほど深くは要求されません。
数学基礎論・数理論理学もそのような特殊な分野でしょうか？

数学基礎論・数理論理学で博士号を取る場合に必要とされる他分野の知識は、

修士なみ
学士なみ
学部教養なみ
学部入試なみ

これのどれくらいにあたるかおしえてください。

0739１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 08:23:03.34

扱っている内容によるし分野による。

たとえば証明論や非古典論理とかをやるなら現代数学より
計算機科学とかの知識の方が役に立つかもしれません。

数学史を研究するときに現代数学の知識が要らないのとは違って
厚生経済学を学ぶのにマクロ経済学の知識があまり要らない
（のかどうか知りませんが）というような感じに近いと思います。

0740１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 09:18:48.60

証明論も非古典も数学使うよ
計算機の側がそれらを道具として使うだけで
どっちも学部程度の数学知らないと研究できない
（見かけは数学を使ってないように見えるだろうけど

0741１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 13:16:38.26

学部程度の数学っていうか、帰納法だけでやっていけるような、、、、

0742１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 13:18:17.50

応用数学だけどね

0743１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 14:37:40.00

基本的には数理論理も数学なので
他の数学の分野と大きく違うということは無いとは思う

まあ非古典論理の研究とかは数学的に高度なことをしたから
良い研究と言う訳でもないとは思うけど

0744１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 14:55:27.21

一般教養レベルの数学は最低限必要ですね。
微積分、関数論、線型代数、集合、位相。
これくらいは常識レベルとしてください。

数学基礎論や数理論理学を専攻するのであれば
実数論とかガロア理論も知っておく必要があるし、
また、測度論についても知っておく必要があるでしょう。

上記以外については研究動機やテーマによりますので
指導教官に相談してください。

0745１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 22:56:34.78

実数論って微積分の一部じゃないの

0746科学史・科学哲学

2014/04/19(土) 23:01:08.05

>>744 「一般教養レベル」とは学部2年修了レベルですか？

0747１３２人目の素数さん

2014/04/19(土) 23:56:22.24

ちょっとでも余計なことは意地でもしたくないみたいだな

0748科学史・科学哲学

2014/04/20(日) 01:05:37.88

>>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。

0749１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 01:09:39.71

なら師事する先生に尋ねるしかないな

0750１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 07:17:58.39

研究に向いてないと思う
数学基礎論・数理論理学やるのに
学部程度の数学やりたくないとか話にならないから
哲学系の林さんも幾何学なんかまで知ってるから

0751１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 07:29:25.17

式遊びでもやってろ。

0752科学史・科学哲学

2014/04/20(日) 08:11:40.35

>>750
>数学基礎論・数理論理学やるのに
>学部程度の数学やりたくないとか話にならないから

なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？
たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。
それと同じようなこと。いらないことはしたくない、早く本丸に取りかかりたいということ。

0753１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 08:53:11.52

こんなところで油売ってないで
さっさと本丸にとりかかってください。

0754１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 08:58:27.67

その必要最低限の範囲ってやつが事前に確定できると思ってんのか？

0755１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 09:04:58.18

ゆとりなんだろう（笑）

0756１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 09:16:16.70

＞>>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。

違うな。お前は数学基礎論・数理論理学をやりたいのではない。
「博士号」という称号が欲しいだけなのだ。

数学が好きで好きでしょうがない人間でなければ、
博士号まで息が持たない。

お前には無理だよ。

0757１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 09:27:36.92

>>756
それは
数学基礎論・数理論理学が数学に含まれることを前提としてるね。
多分>>752の認識は違うんだろう。

0758１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 10:44:10.03

なんで>>752が経済史を例に出すのか分からんけど
数理論理というのがあくまで数学の一分野であって
16世紀数学史とかそういう歴史の研究とは全然違うというのは分かってる？

数学史をやりたいならここじゃなくて数学史やってる人のところで聞いた方が良いよ

0759１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 10:50:19.25

それどころか一種の応用数学。
数学のあらゆる分野が必要になる可能性あり。

0760１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 15:26:35.58

必要になったら勉強するという態度でも何とかなると思うけど、
勉強する範囲を限定するのはムリだろ。

特に数学基礎論・数理論理学なんて適用範囲広いんだし。

0761１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 15:36:06.74

必要になったらその都度勉強します
というスタンスの人は>>738みたいなことを書かないもんな

0762１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 22:35:32.06

>>752
> なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？
> たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。
> それと同じようなこと。

全然違う。
今でも日本だけが数学基礎論って時代遅れで哲学っぽい（裏を返せば数学っぽくない）呼び方をしてるが
世界中での常識的な呼び方としてのMathematical Logicつまり数理論理学は
論理学で現れる諸概念を研究の題材としてるだけで道具立ても手法も
代数学や幾何学などの通常の数学とほとんど何も変わらない。
それらの道具を適用する対象が違うだけ。

だから現代において数理論理学で良い仕事をしようとすれば現代数学のさまざまな道具を身に着けておくのが不可欠。
時代遅れの哲厨くずれな人間が基礎論屋を気取って棲息する余地なんてのは現代の高度に技術化され抽象化された
数理論理学には残ってないんだよ。

日本から数理論理学で良い仕事が出ない理由は相も変わらず「数学基礎論」なんて哲厨な名前を有難がってるから。
海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。
日本だけだよ、「基礎論」とか"Foundations"って言葉を今でも素人ファンじゃなくてプロの数理論理学屋が有難がって使うのは。

0763１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 23:12:17.02

大したロジックだね

0764１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 23:22:19.40

「数学基礎論」という字面に哲学臭さなんてあるか？
教養課程の科目名みたいだとは思うけど

0765１３２人目の素数さん

2014/04/20(日) 23:54:36.44

>>762
素人ファンはどうすりゃいいんだよ？

0766１３２人目の素数さん

2014/04/21(月) 00:12:08.42

おかしいと分かっていても一度普及した呼び方は変え難いんだよね
適切な呼び方を新しく考えだしても相手に通じなければ意味がないし、
逆に変な呼び方であっても相手に通じるのであれば問題ない

昔の化学では「質量作用の法則」という奇妙な訳語があったのを覚えてる人もいるだろう
マスゲームを「質量ゲーム」と訳すようなもんだ
今ではまともな訳語に直ってるけどね

0767１３２人目の素数さん

2014/04/21(月) 00:18:46.01

完全性定理と不完全性定理では「完全」の意味は異なるが呼び方を使い分けようとは誰もしてない

0768１３２人目の素数さん

2014/04/21(月) 01:33:09.02

完備性定理ぐらいにして欲しいよね。

0769１３２人目の素数さん

2014/04/21(月) 07:38:54.20

＞海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。
Kunenがつい最近出してたけど……

0770１３２人目の素数さん

2014/04/22(火) 08:45:24.79

岩波文庫の「不完全性定理」って今、
書店で手に入れることできますか？

0771１３２人目の素数さん

2014/04/22(火) 17:14:02.61

絶版にはなってないから、売ってるところでは売ってるだろ

だが、そもそも岩波なので最初から入荷してないトコロもおおいし
取り寄せもへたすりゃ断られるかもよ
おとなしく amazon で買ったほうがいい

0772１３２人目の素数さん

2014/04/24(木) 19:16:42.98

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0773１３２人目の素数さん

2014/04/26(土) 16:29:47.71

普通の数学での主張を述語論理での主張に書き換える場合
　pのときqとなる
に対応するのは
　p |- q
　|- p→q
の何れが適当なのでしょう？

0774１３２人目の素数さん

2014/04/26(土) 17:18:50.62

普通に数学を使うときに使う論理は自然演繹に最も近いから
どっちもでも良いんじゃないの。
そういう使い分け自体を意識しないと思う。

0775１３２人目の素数さん

2014/04/26(土) 18:08:37.24

ご回答ありがとうございます．
ヒルベルト流のシステム上で表す場合も
どちらでも良いのでしょうか？

0776１３２人目の素数さん

2014/04/26(土) 18:32:58.17

束縛変数を適当に選んでおけば同値な条件だから、気にするほどのことではない

0777１３２人目の素数さん

2014/04/26(土) 18:59:39.81

> 束縛変数を適当に選んで
とはどういったことでしょう？

0778１３２人目の素数さん

2014/04/26(土) 20:49:04.10

公理なら |- p→q
定理なら p |- q
じゃないの？

0779１３２人目の素数さん

2014/04/26(土) 22:55:50.80

>>773
> 　pのときqとなる

この命題全体を証明したいならば
> 　|- p→q

pを前提としてqを証明したいなら
> 　p |- q

0780１３２人目の素数さん

2014/04/26(土) 23:48:49.75

再帰的可算な理論の全てを解釈できるような再帰的理論ってありますか？

0781１３２人目の素数さん

2014/04/27(日) 10:43:49.70

解釈できる、とは、どういう意味ですか？

0782１３２人目の素数さん

2014/04/27(日) 22:06:30.07

>>770-771の岩波文庫が丸善にあったので買ってみた。
第6章にこうある。

また、多くの数学者は、彼らの「社会基盤」である共通言語としての集合論に、認識論的な安全性などは求めていない。
集合論が数学の本質とも考えていない。多くの数学者は、集合論を数学を記述しやすい言語、つまり、道具と考えており、
数学の本質はそれ以外にあると思っている。集合論は、いわば価値に対する貨幣である。
それが「表現」する価値にあたる「真の数学」は、どこか別のところにある。これが多くの数学者のメンタリティーであり、
そのことは、第二次世界大戦に公理的集合論を数学の基礎の実質標準とすることに貢献したフランスの数学者集団
ブルバキの見解に、見事に表れている。
ブルバキは、公理的集合論を数学の基礎としながらも、
「もし、未来にそれが破綻しても数学は必ずや新しい表現を見つけるだろう」という信念が、数学者を落ち着いた
気持ちで仕事に専念させるのだと書いたのである。

0783１３２人目の素数さん

2014/04/28(月) 17:58:04.93

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0784１３２人目の素数さん

2014/05/01(木) 14:05:40.75

体の理論を含む体系において∀x(inv(x)=inv(x)⊃￢(x=0))は証明可能ですか？

0785１３２人目の素数さん

2014/05/16(金) 18:32:42.38

RCFは完全だそうですが，加法単位元の定項記号0，逆元の関数記号^{-1}に対して，0^{-1}=0は証明可能ですか？

0786１３２人目の素数さん

2014/05/17(土) 08:48:32.89

RCFは環論の言語L_ringで書かれた公理系で
x≠0→∃y. x・y = 1 などの公理を満たすもの、
というふうにモデル論の教科書には書いてあるよ。
785が参照した本ではどうなってる？

0787１３２人目の素数さん

2014/05/20(火) 22:43:07.22

お返事遅れてすみません．
わたしが見た本にも関数記号^{-1}を使ったものはありませんでした．
つまり，これ使って公理を∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1
と書くのはまずいということですか？

0788１３２人目の素数さん

2014/05/21(水) 21:23:55.41

そのように書いても理論にはなるけど、
そう書いたら0＾(-1)の値については公理系で一切言及されず、
どう決めてもどうでも良い、ということになる。

本質的には一つに定まるはずのモデルが、0の逆元を
便宜上どう決めるかだけの為の不定性のために
互いに同型でないいろんな構造が出来たりしてしまうので、
モデル理論的には相当都合が悪いと思う。
普通の代数学として考えても気持ち悪いし。

0789１３２人目の素数さん

2014/05/21(水) 23:28:26.54

∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1 に加えて
例えば0^{-1}=0も公理とすれば完全性は保たれますね．

0790１３２人目の素数さん

2014/05/22(木) 21:27:25.66

完全性ってどういう意味での完全性？

0791１３２人目の素数さん

2014/05/22(木) 22:28:08.46

任意の閉論理式またはその否定が証明可能という方です．

0792１３２人目の素数さん

2014/06/30(月) 01:27:09.48

イラストレーターで収入が少ないからと30代後半で漫画家になろうとする、ひきこもりのバカ発見。
足立区に住んでいるそうだ
http://inumenken.blog.jp/archives/6609090.html

0793１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 15:20:47.40

数学や論理学は絶対的な確実さを持ってるよね
ただ科学は帰納をその基礎に置いてる
それを自覚する頭のいい人間なら
その観点で断定的な話はあまりしないだろうね

自然科学
→実験データの結果

社会科学
→客観的な事実の集合

論理学
→論理的な整合性

数学
→論理的な証明による実証

バカ
→論拠なしの妄想？

学のなさってこういうところで出るよね
論外って言葉を知らないらしい

0794１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 20:44:59.51

数や図形や論理の概念は、「合理的」、
つまり生物の生き残りのために有利な道具になるからこそ生じて
発展してきたんじゃないの？それを正しいと言って良いんだろうか
数学や論理学の真理はなぜ正しいのかと言うと、
それを正しいと規約するからとしか言えないんじゃないか

あと自然科学と社会科学を793のように風に区別するのは変だと思う

0795１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 21:11:47.31

社会科学を客観的な事実の集合と思っているのなら、認識を改めるべき。
アンケート調査なんて文面の解釈に幅があるし、国勢調査でもない限り、必ず調査対象に漏れがある。
さらに、これらの不備の大元には人間の心理的・文化的・世相的・etc...な曖昧で捉えどころのないファクターが絡んでおり、
確率的に予測することすら不可能ときてる。

0796１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 21:27:31.03

>>795
実証的学問としての社会科学を舐めてはいけない。
一つ一つは僅かな手掛かりを膨大に積み重ねて事実を確定していく作業はそんなにあやふやなものではない。

0797１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 21:32:48.75

それってつまり一つ一つは客観的ではないってことでは

0798１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 21:33:14.24

憲法解釈を変更して集団的自衛権の行使を容認する

0799１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 21:59:44.28

>>797
数理パズルの大部分は客観的ではないことになるな

0800１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 22:01:02.96

なんでそうなる

0801１３２人目の素数さん

2014/07/01(火) 22:43:08.13

社会科学だから

0802１３２人目の素数さん

2014/07/02(水) 06:45:28.03

Nik WeaverのForcing for mathematicians面白そうだね
forcingの理論についてはどれくらいself-containedなんだろう？読んだ人居る？

0803１３２人目の素数さん

2014/07/02(水) 18:53:11.00

神戸大学のサマースクールで強制法の講座があるみたいだね。
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/set-theory2014/kisoron-summerschool-14.html

0804１３２人目の素数さん

2014/07/07(月) 22:52:57.70

強制法って、なんか無理矢理やらされるっていう語感がやよね

0805学習院の学部生

2014/07/28(月) 21:10:10.76

Graham Priest教授の論文(dialetheism)を読んで衝撃を受けました。
数理論理と哲学的論理をきっちり勉強したいと思います。

0806１３２人目の素数さん

2014/07/28(月) 23:24:50.74

最近Jechの強制法のところを証明はほぼ全て飛ばして眺めてて
やっと強制法が何をしているか大体のところが（数年越しに！）分かって来た。
ブール値モデルとかを齧りもしないで
（Cohenのオリジナルじゃなくて現代的な）nameの超限再帰的定義とかを
始めて読んで何をやりたいのかピンとくる人は天才だと思う。

genericityは未だに謎。どうも代数位相幾何とか代数幾何にも
同じgenericという似た概念があるらしいけど、そっち方面は知識無いから分からん。

0807１３２人目の素数さん

2014/07/31(木) 07:53:32.64

俺もかれこれ強制法の名を聞いてから4年は立つのだが
いまだにジェネリックフィルターの後がついていけない
難儀なものである
しかし強制法は今や現代数学最大の武器、使わざるをえまい！

0808１３２人目の素数さん

2014/07/31(木) 08:02:29.38

>>805
すまぬが、具体的にプリーストのどの論文に衝撃をうけたのか
御教示願いえないだろうか？
わしはプリーストの非古典論理を安価で手に入れ勉強した記憶があるのでな
>>804
強制法はForcingどうやら本来はゴリ押しという言葉に近いそうじゃ
>>803
注目しておる
>>799
文章題に関しては複数に問題を解釈ができるものである

0809１３２人目の素数さん

2014/07/31(木) 08:21:07.60

お薬ジェネリックにしますか？

0810１３２人目の素数さん

2014/07/31(木) 12:25:15.27

>>808
>>799へのコメントは意味不明だ

0811806

2014/08/14(木) 20:45:19.05

>>809
田中一之先生が、米国留学したらデカイ看板に
generic filterの宣伝がされていてさすがはロジックの先進国だと思ったら
ノーブランドの煙草のフィルターのことだったとか冗談を書いてたね。

でも集合論のgenericってのも割とそういうニュアンスっぽいんだよね。
体の超越拡大の超越元とかと似たような感じで、
Mのある要素との関連が別の元との関連より深いようなことがなくて、
"ノーブランド"だ、みたいな雰囲気。

あとどうも強制概念の実例を色々勉強して、
それぞれの場合でgenericであることから何が言えるか
見てみるのが理解の早道っぽい。
JechにCohen forcingでGがgenericであることから
Cohen実数∪Gがω上の全域関数であることが結論する、
とか書いてあるのはそういう意味だと思う。

0812１３２人目の素数さん

2014/08/15(金) 23:31:41.97

では強制法について解説しよう！

連続体仮説はω1＝2^ω0だった。
ω0の次に大きなものが2^ω0であることはわかっている。
ω1は非可算である。
さて、ω0とω1の間の無限を取り出すとしよう！

0813１３２人目の素数さん

2014/08/15(金) 23:35:31.91

つまるところ

ω0とω1を使ってω0.5をつくってみよう、
だだし直接表現できないので間接的にやりたいがためである。

やっぱ挫折
このサイトがわかりやすい
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/Forcing/index.html

0814１３２人目の素数さん

2014/08/15(金) 23:45:08.03

(･∀･)

0815１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 00:12:47.74

そのサイト、3ページ目みて何でこんなに分かってないのに
自分が強制法の解説できるつもりになれるのかと小一時間（ｒｙ
なんか圏論スレとかでも似た奴居たけど

0816１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 05:30:22.89

強制法についてちょっと面白いのは、基礎論嫌いだった
Bourbakiが考えたfilterという概念が集合論で一番活きているということ
（尤もfilterの考案者のCartanはさほど嫌いじゃなかったようだが）。

それからもっと面白いのは、
Cohenは最初かなり構文論的なものとして考えていたのを
Solovayとかがブール代数値モデルを使ったものとして整備して、
さらにShoenfieldがブール代数を経由せず直接モデルを拡大する
（その代わり何をやってるのか大変分かりにくい・但し
半順序の自由度を最後まで殺さないので使いやすい）
方法を考え出した。つまり内包→外延という順序になっている。
Cohenは後年にあれはもう自分が考え出した強制法じゃない、という態度であったらしいが、
面白いのが、実はCohen自身がGoedelのLの理論は
公理から要請される操作の閉苞を取っているだけで、数学ではよくある議論なのに
無意味に構文論的にごちゃごちゃした議論をしている、という
（正に的確な）感想を当時から持っていたと言うこと
（"The discovery of forcing"だったか"The origins of forcing"だったかに書いてある）。

つまりどちらも最初に内包的手法で見出されて後に外延的に明快に理解されている。

普通、現代数学では先駆者の幾何学的な明快なイメージがあって
あとから代数学的・構文論的で厳密な証明が付いてくるという
数学観を持っている人が多いが、最先端の茫漠とした未知の世界で
真に新しいものを探求するときは案外逆のパターンが多い、と言う一例になっている。
これは他の分野でも同じことだと思うけどね。

0817１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 05:58:07.27

>>816
最後の段落は数学をよく知らない人の印象でしかない。
「数学者の名声は、その人の行ったまずい証明の数に比例する」って言葉もあるくらい、先駆的な論文はゴチャゴチャとしている。

竹内外史はソロヴェイのブール代数値モデルを「天才のアイデアの平凡化」と言っている。

0818１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 06:57:16.40

本当に、Cohenがどうしてあんな驚異的なテクニックを思いついたのかが知りたくて
色々Cohenの書きものなんか読んだりしたけど、未だに良く分からないんだよね

ただ、Cohenは代数位相幾何（ジェネリック性）とか
Bourbakiの位相の理論（フィルターとか）とかの
いわゆる「普通の」数学の素養がロジックの専門家よりずっとあったから
forcingに到達することができたのではないか、という気はしてるけどね。

0819１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 07:02:19.98

>>805
こんなのがあるよ、きちんと到着して、まだ読んでない状態だけど。
http://www.amazon.co.jp/dp/product/1848900406/
http://www.amazon.co.jp/dp/product/1848900414/

>>816
idealを代数で、近傍を位相で使っていればfilterがでてくるのが自然。
ブルバキ同人は基礎論ぎらいでなく
基礎論に詳しいエルブランが早逝したから基礎論が不得意。

0820１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 07:11:52.17

ヴェイユとデュドネが基礎論嫌いだったのは割と大きいと思うよ

彼らの書きものには、数学基礎論は他の数学の分野とは
全然関係ない分野で、まともな数学者はこういうことには煩わされない、
みたいな（俺らが読むとプチンと来ちゃうようなｗ）記述が結構ある

0821１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 07:19:45.26

>>817
数学の勉強が、既にある山道を登山するようなものだとしたら
数学の研究は、草ボウボウの道無き道を藪漕ぎして新しい道を切り開くようなものなんだよね。
真っ暗闇の中で目的物を探して手探りで進むようなものだ、とか言う人も居るけど。

実はこの二つはかなり別のもので、
それを理解できないで大学院を終えてしまう人は東大にも京大にも多い、
ということだと思う。

0822１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 07:28:57.51

>>817
未解決予想を立てる人は、しばしば定理の証明以外の
全てを完璧に見通している、みたいな文章もみたことあるけどね。

幾何化予想とかは割とそんな感じだと思う。

先駆者の直観は、後世の整理された理解より
遥かに混沌に満ちている、ということなんだろうか。

0823１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 08:02:20.62

>>822
「偉い人は全てお見通し史観」ってあるよね
おかげでヒルベルトは哀れなピエロ扱いだ

0824１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 08:18:49.04

不完全性定理発見あたりの時代の歴史について
良く勉強するとヒルベルトが恐ろしく偉大な学者だったことが分かるんだけどね
林晋さんもそのクチだと思う

0825１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 08:36:29.26

あれか、先駆者・開拓者は問題と一見大して関係が深くなさそうでいて
うっすら関係があるようなちょっと離れた周辺事項について
山のような知識を持っていて、そういう非常に重層的な視点から
定理や証明のあり方を探っている、ということなんだろうか

0826１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 22:00:28.26

大学受験生です。証明論や計算論と其の周辺や、数理論理学に興味があります。
京都大学を志望しているのですが、工学部情報学科と理学部のどちらがカリキュラムが適しているでしょうか。

0827１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 22:03:18.02

そういうはっきりした目的があるなら、京理は除外を考えた方が良いでしょう

0828１３２人目の素数さん

2014/08/16(土) 22:41:56.46

>>826
東日本なら東北大
西日本なら神戸大
をお奨めします

0829１３２人目の素数さん

2014/08/17(日) 00:52:15.30

まだ大学以前なんだから、大学で色々学んで
少し興味の方向が変わるということもあると思うけど
数理論理で有名なのは寧ろ神戸の
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/index-jp.html
このグループだと思うけどね（ただ、計算論の専門家は居ないけど）

数学じゃなくて計算機科学に重点を置くのならまた違うんだと思うけどね

0830１３２人目の素数さん

2014/08/17(日) 08:33:09.44

>>813
の強制法の解説って正確なのでしょうか？

0831１３２人目の素数さん

2014/08/17(日) 10:11:19.20

>>815を見よ

0832826

2014/08/17(日) 23:31:47.48

>>827-829
ありがとうございます。西日本に住んでいます。京都大学が近いです。
推論と計算の構造、論理の限界、計算量の質の違いなど理論的なことが気になりますが、
プログラミングやソフトウェアや人工知能などの工学的なことは殆ど興味がありません…。
工学的なことを勉強するくらいなら寧ろ、整数論やトポロジーや微分方程式などのほうが好きです。
情報学科に入って、実用的な授業ばかりだったらどうしよう、と悩んでいます。
役に立たない、とは思いませんが、興味がないとツラそうです。
理学部数理論理学科があれば理想なんですが…。

0833１３２人目の素数さん

2014/08/18(月) 00:15:16.02

いちおうRIMSには照井先生っていう
それなりに有名な偉い先生も居る
京大出身じゃないから学部時代からどれくらい関わりが持てるのかは知らんけど

0834１３２人目の素数さん

2014/08/18(月) 13:14:35.62

>>826
工じゃ数学の勉強は無理。
計算論も今や数学の基礎体力養わないと厳しい。

0835１３２人目の素数さん

2014/08/19(火) 12:25:55.23

ぐだぐだ言わんと理学部行け

0836１３２人目の素数さん

2014/08/19(火) 14:21:43.50

数学科に行って勝手に本読みまくればええんやで

0837826

2014/08/19(火) 17:09:14.09

みなさん意見ありがとうございました。
判断しかねるので照井先生にも訊いてみることにします。

0838狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/08/20(水) 10:09:11.28

狸

>20 ：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/17(日) 08:52:07.23
> 自然数の 0, 整数の 0, 有理数の 0, 実数の 0, 複素数の 0, ring の 0 を述べなくてはなるまい.
>
>25 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/19(火) 21:45:08.56
> 自然数の公理が知られている今は 0 は自明である.
> Ring の範囲で自然数から複素数に拡大できる.
> 公理的集合論で 0 をどう定義するかは集合論の事であり本来の数学の話ではない.
>
>27 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/19(火) 23:55:07.47
> 公理的集合論より前にも数学はある.
>
>29 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/20(水) 00:53:06.14
> Re:>>28 零の法則を満たす. a+0=0+a=a.
>

0839１３２人目の素数さん

2014/08/20(水) 22:15:14.55

独立命題とは、その公理系から真偽決定不可能な命題で、
より高度な数学を用いれば解けるかもしれないんですよね？
それとも、どんな数学を使っても絶対に解けないのですか？

0840１３２人目の素数さん

2014/08/20(水) 22:25:24.67

まずは真偽と証明可能反証可能の区別から

0841１３２人目の素数さん

2014/08/24(日) 04:56:56.22

数理論理学の初心者です。
ShoenfieldのMathematical LogicとEndertonのA Mathematical Introduction to Logicとではどちらがおすすめですか？

0842１３２人目の素数さん

2014/08/24(日) 08:43:48.84

Endertonの方が新しい分良いんじゃないの

0843１３２人目の素数さん

2014/08/25(月) 22:05:18.16

マジレスするとレベルもかなり違う。

数学的議論を理解するための成熟度で言うと、
Endertonが学部低学年レベルだとするならShoenfieldは修士レベルくらいはある。
その代わりrecursion theoryとかモデル理論とか一階論理の特徴付けとかについては
Shoenfieldの方がずっと詳しい。
但し、何でもかんでも一冊で済ませる必要無いんじゃないのという説も、実はある。
不完全性定理についてはEndertonの方が新しいだけあって議論が整理されているはず。

新井敏康の数学基礎論もレベルはShoenfieldに近い。

もちろん英語の数学書が読める人じゃないとEndertonもShoenfieldも読めません。
全然違う本ですのでお金に余裕があれば両方買って本棚に飾っといても良いんじゃないでしょうか。

0844１３２人目の素数さん

2014/09/02(火) 09:51:47.97

束論を学びたいのですがお勧めの本やネット上のPDFなどを紹介頂けないでしょうか。
英語でもOKです。

0845ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 12:54:25.31

狸

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0846ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 12:59:10.51

狸

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0847１３２人目の素数さん

2014/09/02(火) 13:23:37.41

引っ込んでろクソ狸。

0848ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 14:30:04.08

狸

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0849ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 14:33:12.62

狸

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0850ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 17:29:43.99

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0851ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 17:33:48.61

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0852ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 18:14:31.59

狸

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0853ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 18:18:25.98

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0854ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/02(火) 18:21:33.46

狸

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0855１３２人目の素数さん

2014/09/02(火) 21:01:30.38

en.wikipediaから文献たどってけば良いんじゃないの
特にBurris & Sankappanavarの普遍代数の教科書は
GTMの本だけど、ネットからただでDLできる

0856１３２人目の素数さん

2014/09/03(水) 01:52:13.43

Davey & Priestley
Introduction to lattices and order
これよりわかりやすいのはない

0857ド狸 ◆2VB8wsVUoo

2014/09/03(水) 11:46:50.29

狸

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0858１３２人目の素数さん

2014/09/10(水) 09:17:53.29

ShoenfieldのMathematical Logicについて質問です．
20ページに出てくる記号⇔は，自然言語であるiffの略記なんですか？

0859１３２人目の素数さん

2014/09/11(木) 22:58:45.37

押し入れからShoenfield出してきてチラ見した限りでは
だいたい858の言うとおりだと思って良いと思うよ。

ただ「A iff B」と「AとBは同値である」は、
形式論理的には同じだけどちょっとニュアンスが違って、iffは、
「Aであるのはどんな場合かというと、ちょうどBであるときだ」
という感じで、Aであるための条件に力点が置かれていることが多い。

「マジで？」が「それは本当にあった話なのですか？」と代替可能かというと
可能だとも、全然不可能だとも言えるのと同じ話だね。

0860１３２人目の素数さん

2014/09/12(金) 01:20:28.99

iff は何と発音するのでしょうか

0861１３２人目の素数さん

2014/09/12(金) 01:56:36.88

板書とかするときはちゃんと
if and only ifと読んだ方が良かろう

0862１３２人目の素数さん

2014/09/12(金) 09:32:18.69

シェーンフィールドの25ページ問題ｇ）は脱字があると思うけどこんなことに
30分以上も考えてしまった。
他にも誤植があるし、訂正集みたいなものがあるといいな。
誰か知らない？

0863１３２人目の素数さん

2014/09/12(金) 13:29:39.11

>>860 俺の大学時代の恩師は「イフフ」と読んでいた。

0864１３２人目の素数さん

2014/09/13(土) 02:05:13.93

iffがどういう意味か知らないレベルだったら先に
「数学ビギナーズマニュアル」
http://www.nippyo.co.jp/book/6447.html
とかを最初に読んだ方が良い。
ドイツ文字一覧とかも載ってるから何気に役に立つ。

ロジックを勉強するとき限定の注意点としては、
論理屋は意外と数学の議論中の「任意の」を横着して∀xと「略記」したりしないということ。
というのも、ロジックでは「∀x」は論理式の一部としての文字列として扱うので
メタなレベルでの普通の「任意のx」と区別が付きづらくなるからね。

或る程度他分野の素養があってロジックを勉強したばかりの人は∀とか∃を○で囲って
区別してみたりする人も居るけど（俺も最初はそうだった）、
やがて逆に煩雑だと分かってやらないようになる

0865１３２人目の素数さん

2014/09/13(土) 02:33:42.29

その本には発音の仕方も載ってるんですか？

0866１３２人目の素数さん

2014/09/13(土) 03:11:28.58

iffはif and only ifの略で、if and only ifを定型的に日本語へ訳す時は
「～であるとき、またその時に限って」
みたいに訳す、というようなことは載ってる。

a~はa ティルダと読む、みたいなことも載ってたと思う。
ただ実際の現場ではa ニョロとか適当に読んでる先生も多いし、通じればそれで全然問題無い。

iffも同じで通じりゃ何でもいい。「同値」でもif and only ifでもイッフフでも

0867１３２人目の素数さん

2014/09/14(日) 10:28:36.16

EndertonのA Mathematical Introduction to LogicとMendelsonのIntroduction to Mathematical Logicとだったらどっちがいいんだろう

0868１３２人目の素数さん

2014/09/14(日) 13:53:59.35

Mendelsonのほうがレベル上なはず

mathematical maturityの目安としては
Endertonが学部低学年向けなら
Mendelsonは学部高学年くらい

0869１３２人目の素数さん

2014/09/16(火) 01:13:27.89

>>802の本cumulative hierarchyの定義間違えてるね
　Vα := P(V<α) = P(∪_{β<α}Vβ)
とか定義してるからrank ωとかω+1のところで普通の定義とズレてくる。
それなのにVα := V_{β≦α} Vβが成り立つことが従うと書いてるけどこれは嘘。

著者の定義でこの後のrankとかnameとかの議論がずっと上手くいくのか確かめてないけど、
たぶん普通の定義でやらないとダメなんじゃないかな

通常の定義と少し変えているとは書いてるから、初めて集合論を勉強する読者は
変だと思った後、特別な意図があるのかも、と暫く考えて、
その後やっぱり変だと言うことで普通の教科書をもう一冊参照してこっちが正しいと気付くことになる。
やっぱりself-containedとはちょっと言えないね、

0870１３２人目の素数さん

2014/09/16(火) 20:10:07.53

本屋で岩波数学入門辞典立ち読みしてたら
「ジェネリック」の項目に
　距離空間<X, d>とその可算個の稠密開集合の族U_iたちがあり、
点aに対して何か対象X_aがそれぞれ決まるような状況があったとする。
このとき任意のU_iに属すようなaに対するX_aをジェネリックなX_aという、

というようなことが書いてあるけど、これforcingのgenericと絶対関係あるよね。
微分可能力学系や特異点論でよく用いられるらしい。

wikipediaみるとPerter SarnakはP. Cohenの弟子らしい。
P. Cohenはforcing以前に
Cohen-Hewitt factorization theoremのような関数解析の業績があるし
それまでシカゴ大学でZygmundの下で解析学を研究してた人なので、
genericってこういう一般位相とか由来なのかな。

https://www.google.co.jp/#q=%22generic%22+%22metric+space%22

0871１３２人目の素数さん

2014/09/17(水) 00:39:32.09

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Generic_set#Logic
こことかその他のとことか見たら答え書いてあった

範疇の方の（ω^ωじゃない方の）Baire spaceがあったとき、
性質 G を満たす要素と満たさない要素に分けて、
G を満たさない要素全体がmeagreである場合に G を generic な
（無印、通有的な）性質であると言うんだね。
arXiv:1003.5087
"The complementary of a meager subset of a Baire space is
said to be residual. At last, given a Baire space B, we say that a generic
element of B enjoys a property if the set of elements which satisfy this property
is residual."
forcingの場合はposetにlower topologyを入れている。

だからgenericを非天下り的に自然に導入したい場合は
先にカテゴリ定理関係の土地勘を養う必要がある。

そりゃCohenはそもそも解析学者で、
しかも連続体濃度の研究してたんだから、そりゃカテゴリ定理関係にも詳しくなるわって話だ

0872871

2014/09/17(水) 19:17:00.89

すいません訂正させて下さい
今日の午後分かったんですが、
posetにlower topology（Kunen新版などでいうposet topology）を
入れているというのはちょっと不正確で、実際はposetの超フィルタ全体のなすStone空間が
（たとえばposetが完備？ブール代数などの場合に？）
property of Baireをもつということのようです。
　　　……情報源バレバレな感じですが。
新Kunenのp286とかp198に関連する情報があるようです。

0873１３２人目の素数さん

2014/09/17(水) 19:37:13.69

強制法の勉強や講義って、
ゴーカートやオートマチック車に乗れれば十分な初心者なのに
かなりpeakyなtune upがされたレーシングカーに乗せよう/乗ろうとして
案の定クラッシュするというのが「あるある」みたいですね

第二不完全性定理は実はQでも証明できる、とかいうのも
ピーキーな例ですが、これに関しては、大抵の初心者は第一＋第二のスケッチとかの
普通自動車レベルで満足する人が多いようです。健全ですね。
ω無矛盾を仮定するゲーデル版とロッサー版でも
AT車とMT車くらいの違いがあるように思います。

ルービックキューブの解法でいうと
ツクダオリジナル式（初心者用）と、
定石・アルゴリズムの数がやたら多い代わりに
スピードキュービング向きのLBL（layer by layer）法とかの違いも似ています。

強制法で言うならブール値モデル＋ctmアプローチが初心者用、
Shoenfieldの現代式＋forcing over Vアプローチがpeakyな競技用という感じでしょうか。

0874１３２人目の素数さん

2014/09/17(水) 21:08:26.41

おまえら教えてくれ

リンゴ3個あります。一個を四分の1食べました。答えはいくつですか？

2と4分の1
12分の1
どっち？

0875１３２人目の素数さん

2014/09/17(水) 21:21:17.90

>>1参照

あとマルチはいかん

0876１３２人目の素数さん

2014/09/17(水) 22:21:31.80

>>873
>第二不完全性定理は実はQでも証明できる

本かリンク教えて貰えませんか？

0877１３２人目の素数さん

2014/09/17(水) 22:52:13.41

このスレの>>89以降に書いてありますよ。
参考文献も挙がってます。

限定算術の議論により、という感じの話です。
たぶんBussのpdfの方が読みやすいと思います。

0878１３２人目の素数さん

2014/09/18(木) 22:38:10.37

コンパクト性定理
純syntactical定式化、純semanticalな定式化両方あり

不完全性定理
純粋にsyntaxに関する定理
semanticalな解釈もあり、純semanticalな
定式化もあるかもしれないが見たことない

完全性定理
syntaxとsemanticsの関係を表現した定理

よって完全性定理が一番難しいと主張してみるテスト

オブジェクトな世界の外にメタな世界がありその外にメタメタな世界があり……
という説明は多くの場合syntax/semanticsの区別と
object/metaの区別を区別してないせいで妙なことになっている

0879877

2014/09/18(木) 23:14:07.09

>>94でQでの第二不完全性定理は
普通の不完全性定理とちょっと感じが違うということが書いてあるけど、
要はnot【Q |- not 《Q |- Con(Q》】みたいな感じで
|- の入れ子の入り方が違うかもしれないということだと思います。
勉強するときはその点に注意して下さい。
（そしてどういう違いがあるのか、或いは違いは無いのか
分かったらよろしければ教えてください）

0880１３２人目の素数さん

2014/09/18(木) 23:17:06.83

「～～と言ってみるテスト」
懐かしい

0881１３２人目の素数さん

2014/09/18(木) 23:17:34.83

http://www.amazon.co.jp/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%A8%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%B3%BB-Geometric-Algebra--%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3-%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89-/dp/4627077416/

0882１３２人目の素数さん

2014/09/18(木) 23:18:20.24

あ、ごめん
誤爆した

0883１３２人目の素数さん

2014/09/18(木) 23:32:20.91

力学系のgenericと強制法のgenericが関係あると言う話だけど、
CohenがChicago大学でPh.D.を取ったころ、
ちょうど4歳年上のStephen Smale（後のフィールズ賞受賞者）がChicago大に移ってきている
しかもCohenは調和解析（≒多様体上のフーリエ解析）をやっていたわけだから
かなり近い分野の研究者だったはず

これってかなり重要な話だと思うんだけど、Smaleはもう84歳だから
早く聞いとかないと手遅れになる気がする
誰か聞いてきてくれないかな

0884１３２人目の素数さん

2014/09/19(金) 01:05:40.49

>>878
> 不完全性定理
> 純粋にsyntaxに関する定理
> semanticalな解釈もあり、純semanticalな
> 定式化もあるかもしれないが見たことない

Smullyanの不完全性定理のモノグラフ(Oxford Univ. Press から出版され日本語訳も丸善から出てたもの）の
不完全性定理の抽象的というか一般的な特徴付けとそれに基づく定式化は純semantical だったと思うが。

0885１３２人目の素数さん

2014/09/19(金) 01:21:50.59

そうでしたっけ？
いま関西だけど帰宅したら確認してみます
ありがとうございます

0886１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 00:59:34.52

今確認しました
Xが証明可能なのをBXと表す、という感じなので
これがsenamticsなのか分かりませんが、
良く考えてみれば第二不完全性の（限定的な場合の）
純粋な集合モデルの存在の有無を言う証明は見たことありました
両方ありでした

0887|- |= ||- ◆9sKb4E4v3fcJ

2014/09/20(土) 08:06:11.04

Cohenは数学のさまざまな分野に手を出そうとした人だ、
というイメージが巷間では持たれている。
ちょっと上でZygmund云々調和解析云々と書いたように
集合論に興味を持ったきっかけは実はCantorのそれに近いと思われる。
そしてforcing発明の後はRiemann予想を解こうとしたなどと言われているけど
Riemann予想は解析的整数論の予想で、三角級数に関する
深い知識などがすごく活きそうな分野だということに注意する必要がある
（Riemann予想についての本とか解析的整数論の本を
ちょっと眺めてみれば納得できると思う）。

Cohenは、集合論の研究に焦点が当てられる事が当然多いけど、
彼は、少なくとも彼の自意識としては生涯に亘って解析学者だった。
そして基本的には、解析学者の自分だったら解けるかもしれない問題だ、
と思ったときにその問題にトライしようとしている。

それにしてもホントに、フーリエ解析は底無しやで

0888１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 08:59:49.81

>>887
コルモゴロフもフーリエ級数と数理論理学で業績をあげているが、その内的関連はあまり考察されていないようだ。

0889１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 09:04:28.62

>>887
最初の2行の巷間のイメージは正しいということだな。
色んな分野に手を出す人は、大概狭い分野でのしっかりした技術を他の分野で応用している。

0890|- |= ||-

2014/09/20(土) 09:11:54.20

上のgenericうんぬんは、どうも日本でこの疑問に答えられる人居なさそうなんだよねー

SarnakのCohen追悼記事、KanamoriさんのCohen記事と渕野先生の記事読んで
discovery再読して分かんなかったらどっか英語の場所で聞いてこよう。
海外にも居なかったら、世界でこの事に気付いたのは
俺が初めてだということになるけどまあ多分居るでしょう。

0891１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 09:34:36.63

>>890
ジェネリックへの言及は複数箇所ありますが、どれのことを言っているのでしょうか？

0892１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 09:36:30.62

>>890
渕野さんは日本にいる。
渕野さんの文章を読もうとするのは矛盾してないか？

0893|- |= ||-

2014/09/20(土) 09:36:45.77

>>889
ヒルベルトも実はそうなのではないか、
というようなことを林晋先生が研究テーマにされてますね。
若いころの抽象代数的な数学観が彼の数論の業績にも
基礎論の業績にも解析学の業績にも基礎となっているのではないか、という。

幾何学の発展とは残念ながらあまり合いませんでしたけどね。

0894|- |= ||-

2014/09/20(土) 09:42:09.42

>>891
Cohenのgenericの定義は
とくにproperty of Baireを持つ空間におけるgeneric
（岩波数学辞典第四版の力学系関係のところに載っている奴です）
とのアナロジーから出て来たという話です。

ただのアナロジーではなくて（モデルへのcodabilityの観点を除いて）
数学的命題レベルで似た事が成り立ちます。

いけがみ先生はSpecとgeneric pointと似ているという話をされていて、
僕は代数幾何は良く知らないので良く分からないのですが、
力学系とか関数空間で使うgenericの方が似ているような気がします。

0895１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 09:48:56.72

自分の全く理解していない世界を勝手なイメージでよくどうどうと語れるなｗ

>Riemann予想は解析的整数論の予想で、三角級数に関する
>深い知識などがすごく活きそうな分野だということに注意する必要がある
>（Riemann予想についての本とか解析的整数論の本を
>ちょっと眺めてみれば納得できると思う）。

でたらめ

0896１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 09:49:39.60

あ、
「力学系とか関数空間で使うgeneric」
というのは
「property of Baireを持つ空間におけるgeneric」
のつもりで書いてます

0897１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 09:51:12.41

>>895
一応、活き「そう」としか書いてませんけど、それはともかく
どうしてでたらめだと思われるのですか？

0898１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 09:52:15.44

>>895
そこは全くの出鱈目とは思わない。

0899|- |= ||-

2014/09/20(土) 09:54:56.84

あ、あとSmaleとの絡みについては
Kanamori先生が記事にちょっと出てくるようですね

まだ読んでないですが

0900１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 09:57:11.09

青土社「アメリカの数学者たち」のコーエンのインタビューに、
強制法を思い付いた過程について語っていたように記憶する。

0901１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 10:02:57.13

数学は集合で書けるから集合論の深い知識が活きそうとかと同じ主張

0902１３２人目の素数さん

2014/09/20(土) 10:11:48.80

有限生成群はケイレイグラフで表されるから距離空間の深い性質が使えそう、は実りある発想であった。

0903|- |= ||-

2014/09/20(土) 10:12:33.70

数学は集合で書けるというのは
きちんと書くとZFCは代数学や解析学の研究対象モデルを与えることができる
という意味ですから、まあ活きるとこでは活きるんですけどね

（そして集合論の専門家以外の人がforcingを使いたい場合
forcing over V approachはオーバースペック過ぎると思います。
Calkin代数関係とかもそうですが、ZFCを使って独立命題を示そうという
最近の流れでは集合論プロパーと解析などが専門の人が
協力して研究しているように思います。
ShelahのWhitehead問題の場合は、彼自身が代数学に比較的詳しかったのが効いてますが）

ただ「三角級数に関する」は確かにさすがに我ながら狭過ぎますねえ
関数解析的観点とかも大事みたいですし、
「解析学に関する」くらいに読み替えといて下さい

0904|- |= ||- ◆9sKb4E4v3fcJ

2014/09/21(日) 08:08:33.02

nowhere denseとかmeagreとgenericの間にどうして強いアナロジーが成り立つか
keyとなりそうなpoint見つけたのでメモしとく。

p.o. Pから完備Boole代数を作るときには
Pのlower topologyについてregular openな開集合全体を
集めて来てB := r.o.(P)を取ったりする。
regular openな開集合をとるというのはつまり、任意の x に対して
その閉苞の開核x^-°を取るということである。

一方でnowhere dense（至る所非稠密）であるというのは、x^-°=Ø であることで、
つまりこの操作で潰されてtrivialなものになってしまうということ。
閉苞開核作用素・^-°の一種のkernelのような感じ。

nowhere denseであればその補集合は任意のdense setと交わる（定義からほぼclear）。
meagre setもnowhere denseを高々可算個集めたものだから、
或る意味でnegligibleであってほしいというニュアンスは変わらないけども、
そのためには全体の空間が何かしら理想的な条件（i.e. property of Baire)を持つことが必要になる。

0905１３２人目の素数さん

2014/09/21(日) 08:09:27.62

竹内外史先生の「現代集合論入門」はこのあたりのことがかなり詳しいので
それだけの為に僕はこの本を買って手元に置いてます

0906１３２人目の素数さん

2014/09/21(日) 20:46:46.20

みなさんアマチュアの方ですか？>>904-905

0907|- |= ||- ◆9sKb4E4v3fcJ

2014/09/21(日) 21:53:07.18

僕は数学や論理と関係無い学科で学士号を得て
数学や論理と関係無い仕事をしていますので定義上amateurの人間です。

ただ、どうも今考えている事に関してはsemiproくらいの理解はあると言わざるを得ないようです。

関係ある講義と言えば教養の頃二つ専門の頃一つくらいしか受けた記憶がありません。
あとは研究結果の出版バイアスや科学研究上の研究不正などについて
学部の頃の授業で習ったりしたことが記憶にありますが、その程度ですかね。
ただし大学の図書館は充実していたので、学部の頃から
数学科やCSの学部の図書館にお邪魔して本を借りたりはしていました。

0908１３２人目の素数さん

2014/09/21(日) 21:57:54.13

すいません、論理と関係無い学科というのは
論理学の研究と関係が薄い学科、くらいにしといて下さい。

論理と関係無い仕事も同様です。

論理的思考の能力が役に立たない仕事などほとんどありません。

0909906

2014/09/21(日) 23:04:57.07

なぜアマかって言ったのは
少なくとも日本の数学科卒ではないなと上の書き込みみて感じたので。
例えば代数学とか解析学と基礎論の関係のはなしがよくでるんだけど
基礎論の人のいう代数とか解析ってのが我々の興味とやっぱり違う
あとWhitehead probremってのはマイナーでほとんど知らないだろうけど
学部までで誰でも理解できるものだし
結局基礎論の人の言う代数って代数的な様式を借りた集合論なんだと思う
関数解析の件についても明らかに解析学でやる関数解析とは目的が違う
（これは批判じゃないけど、やっぱり文章読んでて根本的に違う方向向いてるなーって感じるんですよね

0910^-° ◆uMXNrRFQ7uPT

2014/09/21(日) 23:33:49.33

なんかAAっぽくて可愛いので名前にしました。

やはりロジックの人間は（日本の数学科卒院卒であっても）
ZFCから独立っぽい部分に興味を持ち、そんな匂いがし出すと目を輝かせるような所はありますね。

いっぽう普通の数学者は、普段の数学がZCの中とかのかなり弱い集合論で
行えるという感覚が体に染みついているから、そういう命題の存在は例外的現象だと感じてしまう
（集合論の強弱の感覚や、命題の存在・非存在自体を
数学的現象だと捉える視座がそもそも無いかもしれません）。

ちなみにロジシャンの中には、普通の数学のなかになぜ独立な命題などが
こんなに「少ない」のかに興味を持って思索されている人なども居ます（J. Avigadなど）。
というのも、決定不可能性や独立命題はロジシャンにとって
有理数でない実数と同じくらい、至る所にありふれたものだからです。

＞明らかに解析学でやる関数解析とは目的が違う
そうでしょうね。
数論の偉い学者などが、不完全性定理があるからこれは独立かもしれない、
と到底、論理学的に独立でなさそうな命題について喋ったり、
或いはPenroseが、停止問題があるから人間の心は機械より優れているのだ、
とか妙な事を主張したりするのを見ると、折角ロジックに興味を持ってくれていて
嬉しい半面、たいへん複雑な気持ちになりますね。

ロジックは分析哲学とも数学とも計算機科学とも言語学とも関係ある分野ですので
非常にinterdisciplinaryで独特の味がある領域で、非常に面白いですよ。

0911１３２人目の素数さん

2014/09/22(月) 10:00:14.33

関数解析（笑笑笑）

0912１３２人目の素数さん

2014/09/24(水) 00:44:39.25

Bachman-HowardのHowardがAndre Weilの学生だったって本当だろうか
Weilの下で何を研究してたんだろう
謎過ぎる

0913１３２人目の素数さん

2014/09/24(水) 10:39:22.05

>>910
>到底、論理学的に独立でなさそう

こういう感覚って、ロジックをやっていると身に付くものなんですかね

0914１３２人目の素数さん

2014/09/24(水) 15:11:03.03

>>912
CohenがZygmundのry

0915１３２人目の素数さん

2014/09/24(水) 16:17:50.19

>>912
竹内さんが、Weilは「こんなアホでもlogicの学位は取れる」ことを証明するために、
誰か（忘れた）にlogicをやらせた、というような毒舌を吐いてたが、この人のこと
じゃないだろうな
Weilを首になってMacLaneに救ってもらったとか？
向こうじゃ、誰かから破門されたが別の教授から学位貰った大物とか知っている。

0916１３２人目の素数さん

2014/09/24(水) 19:12:38.96

基本は放置新聞

運営乙

0917１３２人目の素数さん

2014/09/25(木) 19:02:31.30

>>915
Harish-ChandraはDiracに破門された（というのは語弊があるが）がColumbia U.でChevalley
に救われた。実解析のE.S.はそのH-Chに破門されたが，シカゴに行ってZygmundに救われた、
とかいう話しか

0918１３２人目の素数さん

2014/09/25(木) 23:41:48.83

最近の基礎論ってどんな感じのことがはやってんの？
arxivとかみて

0919１３２人目の素数さん

2014/09/25(木) 23:53:16.86

うえで力学系がどうとか言ってたものですが、
KanamoriさんのCohenについてのpdf読んでたら
上で僕が書いた事は九割がた書いてありました。

forcingの数学史的起源はBaireのカテゴリ定理や、
C[0,1]にsupノルムを入れた空間のなかで至る所微分不可能な
連続関数がco-meagerに存在するというStefan Banachの定理
（Baireのカテゴリ定理を使うと簡単に証明できるらしい）
それから時代的にだいぶ近いところからSmaleの安定多様体の理論の三つくらいが挙げられるが
最後のものは本当に影響があったのか微妙だ、という事のようです（詳細は原文参照）。

co-meagerとgenericが非常に似ていることはほぼ常識みたいな扱いのようです。

なんだかお釈迦様の掌の上を飛んでいる孫悟空の気分になりました。
Kanamori先生が集合論の一流の研究者とされる理由の一端を垣間見た気がします。

Kanamori先生のサイト見てみたら、
誰々 and set theoryシリーズがちょっと前はCantorとかZermeloとかだったのに
なんか最近ではKunen and set theoryとかLaver and set theoryとか
Erdos and set theoryとかになっててビビります

0920１３２人目の素数さん

2014/09/25(木) 23:56:23.95

>>918
一流誌に近いのはJournal of Symbolic Logicとか
Annals of Pure and Applied Logicとか
Notre Dame Journal of Formal Logicとかになるのかなあ

0921１３２人目の素数さん

2014/09/26(金) 15:58:26.48

CoqってInductiveで定義した型TからT_rectとかT_indを自動生成するけど、
そのアルゴリズム知っているエライ人いたら教えてちょ。
理論的背景も知りたいなあ。

0922１３２人目の素数さん

2014/09/29(月) 17:35:48.99

「数学」に
トルケル・フランセーン：
ゲーデルの定理－利用と誤用の不完全ガイド
の書評が載ってたんだが、
2ちゃんのキチガイ長文のような異様な読みにくさだった。
何なんだあれは？編集部のミスか？

0923１３２人目の素数さん

2014/09/29(月) 20:42:01.56

2chの長文読むのなんて義務でも何でもないんだから
読みたくないなら読み飛ばせば良いのに

書評全体の分量は6頁くらいみたいだけど
「数学」の書評としては標準的な分量だと思うけどね
内容は読んでないから知らんけど、一文が異常に長いのかな
まるでWeylの英文みたいだな

0924１３２人目の素数さん

2014/09/30(火) 16:24:35.65

読んでみたけど、かなり細かく内容整理してる書評だった。
購入判断を下すのにとても参考になる書評だと思ったがね。

まあ購入後に役立つまとめ兼インデックスみたいな感じで、
書評に徹するには無駄な記述が多く、読みにくいと言われるのも分からんでも無い。

0925１３２人目の素数さん

2014/10/05(日) 20:00:01.32

>>913
身に付きます
WHAT IS ... Forcing? by Thomas Jech
http://www.ams.org/notices/200806/tx080600692p.pdf
より最後あたりを引用

A word of caution: If after reading this you entertain the idea that
perhaps Riemann Hypothesis could be solved by forcing, forget it.
That conjecture belongs to a class of statements that, by virtue of
their logical structure, are ABSOLUTE for forcing extension:
such a statement is true in the generic extension M[G] if and only if
true in the ground model M. This is the content of
Shoenfield's Absoluteness Theorem.

0926１３２人目の素数さん

2014/10/11(土) 01:39:14.02

ShelahとWoodingとかを考えたときに
Shelahがforcingに詳しいと言うのは、恰も、
F1レーサーとマシンメカニシャンではレーサーの方が
エンジンの事をよく知っていると言うような話で大変一面的だと思う

0927１３２人目の素数さん

2014/10/11(土) 18:58:39.11

関西で数学基礎論・数理論理学を専攻したい場合、お勧めの大学院はどこですか？入試対策なども含めて教えてください。

0928１３２人目の素数さん

2014/10/11(土) 19:32:19.87

ここんところ数理論理学の出版が多い

今度こそわかる論理数理論理学はなぜわかりにくいのか本橋信義 (著) ￥ 2,916
学んでみよう! 記号論理単行本高崎金久 (著) ￥ 2,700
数理論理学―合理的エージェントへの応用に向けて加藤暢￥ 3,024
不完全性定理菊池誠￥ 4,860
スマリヤン数理論理学述語論理と完全性定理村上祐子 (翻訳) ￥ 3,240

0929１３２人目の素数さん

2014/10/11(土) 20:16:31.65

>>928
本橋さんのは数理論理学と言えるかどうか。
彼の本は意味不明な記述があるからね。
例えばゲーデルの不完全性定理は計算可能性とは無関係で
計算可能性と関係があるのはゲーデルの完全性定理のほうだとか。
確か彼が岩波から出した最初のロジックの本にそういう趣旨の記述があったと記憶しているが。
誰か彼がその本で上の趣旨の箇所で言わんとしていたことを理解している人がいたら
解説してくれれば幸いだ。
というわけで、私には本橋さんの本は数理論理学の本とは思えん。
まあ彼独自の哲学と考えればいいのかも知れんが
私も含めて多くの人間が数理論理学の教科書・参考書・解説書に求める客観性や明晰性に欠けると思う。

0930１３２人目の素数さん

2014/10/11(土) 20:19:27.16

戸次さんの本はどうですか？

0931１３２人目の素数さん

2014/10/11(土) 20:38:10.39

スマリヤンの一階論理の訳が出るんだ

>>927
分野によるとしか言いよう無いけど
関西周辺だと神戸名古屋くらいが有名かなあ
京大はよく分からん

0932初心者

2014/10/22(水) 07:58:09.36

数理論理学をやるのに神戸大学とNotre Dameのどちらがいいですか？
http://math.nd.edu/research/research-groups-in-mathematics/logic/

0933１３２人目の素数さん

2014/10/22(水) 14:13:51.94

数理論理学をやるのに神戸大学の間違って理学部に行ったらおもしろいのに

0934１３２人目の素数さん

2014/10/23(木) 22:15:17.82

カリー化とは何か？

0935１３２人目の素数さん

2014/10/23(木) 22:57:25.61

二変数函数を一変数函数値一変数函数と思う

0936１３２人目の素数さん

2014/10/24(金) 18:26:11.58

f(x,y)=(fx)y

0937１３２人目の素数さん

2014/10/25(土) 10:05:53.90

最近シェラハがクリーチャー強制法とかいうヤバい概念を提唱したらしいよ
http://arxiv.org/pdf/math/9807172v1.pdf

しょっぱなからQ^*_ｓ∞(K,Σ)強制法とか使っててかなりハードな感じ。
コーエン実数の(f,g)有界とかも登場してる。
これからの進展が楽しみだわ。

0938１３２人目の素数さん

2014/10/25(土) 11:09:10.54

>>937
「ヤバい」とか怪しげな事を言い出すのは止めてくれ

0939１３２人目の素数さん

2014/10/25(土) 12:21:18.89

937の理解は怪しげなだけじゃなくて
真実、怪しいというかあやふやだから仕方ない

0940１３２人目の素数さん

2014/10/25(土) 12:21:52.74

つうか「最近」って16年前の論文かよ　おいおい

0941１３２人目の素数さん

2014/10/25(土) 21:19:31.03

環とか体なんていう超難解な概念

0942１３２人目の素数さん

2014/10/25(土) 23:10:31.30

菊池の不完全性定理立ち読みしたけど最高だった
ここで話題になった限定算術とかランダム性とか
チャイティン版の定理の関係とかすごい詳しい
入門書としても過去最高
特に第二あたりのごたごたとか暗いぜるの注意とか
議論になりそうなところを徹底的に解説してる

0943１３２人目の素数さん

2014/10/25(土) 23:19:15.08

クライゼルの注意

0944１３２人目の素数さん

2014/10/26(日) 22:25:08.12

>>915
Weilはオレオレ君だからいちいち真に受けると発狂するよｗ

0945１３２人目の素数さん

2014/10/26(日) 22:42:23.86

>>942
後から出すほうがいろいろ情報盛り込めるのは当然
ま、でも読みどころは1章と9章だな
著者の主張に賛同するかどうかはともかくとして
今までああいうことを正直に書く人はいなかったから

0946１３２人目の素数さん

2014/10/27(月) 07:05:29.85

え？逆だろ
俺は１章と９章はスルーで良いな、って目次見て判断したんだが

0947１３２人目の素数さん

2014/10/28(火) 02:47:28.00

目次を見て判断するに、１、８、９章以外は、どこにでもある標準的な解説だと思うけど

0948１３２人目の素数さん

2014/10/28(火) 07:06:30.89

お前ら目次だけでよく語れるな

0949１３２人目の素数さん

2014/10/28(火) 11:18:25.83

この程度でよく語ってるように見えるなんて、どんだけ口数少ないのよｗ

0950１３２人目の素数さん

2014/10/28(火) 12:43:27.61

>>849
日本語は苦手ですか？諦めずに頑張ってください。諦めたらそこで人生終了ですよ。

0951１３２人目の素数さん

2014/10/28(火) 23:38:05.69

　
お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。
http://www.apamanshop.com/membersite/27009206/images/kamo.jpg
浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
　
このように現在まで６通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
　
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に１１通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
　
弊社としましても今後メールでのやり取りを差し控えたく、浪速建設様
と同行の上でお会いさせていただきたい所存です。
　
・ブラックロックシューター
　http://s-at-e.net/scurl/BRS.html
・ベヨネッタ
　http://s-at-e.net/scurl/BAYONETTA.html
・風ノ旅ビト
　http://s-at-e.net/scurl/JOURNEY.html
　
http://s-at-e.net/scurl/kabetokyojinto.html

0952１３２人目の素数さん

2014/10/29(水) 00:03:52.73

　
・2012
　http://s-at-e.net/scurl/2012.html
・プロメテウス
　http://s-at-e.net/scurl/Prometheus.html
・アバター
　http://s-at-e.net/scurl/Avatar.html
　
大阪府八尾市上之島町南４-１１クリスタル通り２番館203
に入居の引きこもりニートから長期にわたる執拗な嫌がらせを受けています。
この入居者かその家族、親類などについてご存知の方はお知らせ下さい。
[email protected]

0953１３２人目の素数さん

2014/10/29(水) 00:39:49.81

[転載禁止] スレ立てるほどでもない大会・海外卓球リーグ842ch.net
http://hayabusa6.2ch.net/test/read.cgi/pingpong/1414340423/
ここで暴れてる247の知識ってホンモノなの？

0954１３２人目の素数さん

2014/11/01(土) 06:16:27.59

>>920
アメリカ数学会の提供しているMCQ(直近5年の被引用率)によると
論理の雑誌で0.4を超えているのは以下の2つ

Journal of Symbolic Logic
Annals of Pure and Applied Logic

0.3台の（2流雑誌？）が

Bulletin of Symbolic Logic
Archive for Mathematical Logic
Journal of Mathematical Logic

ノートルダムは0.2台の三流雑誌だ

0955１３２人目の素数さん

2014/11/01(土) 11:03:50.21

哲学とか数学の雑誌の評価するときにIFとかMCQとか持ちだすのは何だかなあ、と思う

象牙の塔の典型例みたいな学問だからね

0956１３２人目の素数さん

2014/11/01(土) 16:26:04.88

Journal of Mathematical Logicって
ロジックにも高IFの雑誌を作ろうという意図があったと聞いたが。
引用される頻度で見る限りその企て失敗していたんだな。

0957１３２人目の素数さん

2014/11/01(土) 19:36:12.96

68歳の文系の人間ですが、矛盾許容論理というものを、文系にもわかるような、
公式を使わない文章で教えてもらえませんか？
４日ぐらい考えてみたのですがよくわかりません。
背理法ならわかるのですが。

0958１３２人目の素数さん

2014/11/01(土) 19:54:46.23

「公式を使わない文章」というのが何を言いたいか分からないですが、
論理式を使わないと良く分からないですよ。

式を使うのが完全に無理なら諦めた方が賢明かと思います。

0959１３２人目の素数さん

2014/11/01(土) 20:56:10.30

>>955
そういう指標と関係なしに
「APALとJSLがツートップで、AMLとかBSLがそれに続く」というのは
分野の誰もが認めることじゃないかな？
MCQはその共通認識に合致しているみたいだから
個人的に信用できると思ったのだが。

0960１３２人目の素数さん

2014/11/02(日) 22:24:59.34

>> 957
全然難しくないですよ。
真でも偽でもあるような命題があることを容認すればよいだけです。

0961^-° ◆uMXNrRFQ7uPT

2014/11/03(月) 18:44:20.02

菊池誠「不完全性定理」買ってきて1章と9章読みました。
著者が一番書きたかったのはたぶん9章でしょうか。

専門家にとってはfolklore同然だが初学者にとっては躓きの石となる
多くの点について、きちんとした言葉で説明がされている本です。

また、分析哲学についても或る程度ちゃんとした
内在的理解をもって書かれた本だと思います。

個人的には「数学とは何か」を考えるのに、
物理的現実との驚異的対応という現象を救わない議論は十全とは、
言い難いと思いますが、ロジックや哲学の専門家はこういう話題は苦手ですね。

1.1 Russelのantinomyとは、要は「内包公理の否定」が述語論理の定理だということで、
　これを導出するときに外延性公理を持ってくる必要は無いでしょう。
　日常語をできるだけ用いずに形式的に論理式で命題を表現すると分かりやすいはず。

1.2 Browerの直観主義において排中律は原理ではなく、原理や動機からの帰結である、
　ときちんと明記してあります。

1.3 20世紀前半の数学基礎論論争は（広義の）形式主義の実質的勝利だと明記されています。

0962^-°

2014/11/03(月) 18:44:59.92

9.1 truth theoryの専門家の若手の某先生も仰っている事ですが
　parodyやomageの作法に則って居ないように思われます。
　文学理論の基礎的な話で、分析哲学ではないですが。

　sacred⇔profaneのメトニミーは、個人的に非常に重要な話題だと思います。
　van DalenのLogic & Structureの序文にあるみたいですね
　"I have come to accept this viewpoint as the didactically sound one: before
　going into esoteric niceties one should develop a certain feeling for the
　subject and obtain a reasonable amount of plain working knowledge."
　このスレでも上の方で先駆者はesoteric (sacred)であるが
　徐々にdidactically sound(profane)になっていくというような話がありました。

9.2 Tarskiのtruth clausesに明晰でない部分がある、という話です。
　Hamkinsさんとかも似たような問題意識を持っている気がします。

9.4 WoodinのΩ論理がちょっと触れられています。私はΩ論理は全く知りません
　（一応Woodinとか依岡先生の雑誌の記事は持ってます）。
　でも、Woodinは"syntax"という用語を普通の数学者の想像も付かないような
　意味で使っているのではなくて、forcingのmechanicsやBaire性について普通の数学者より
　遥かに深い理解を持っている為に、 |-Ω が、普通の |- の類似物に見えている、
　と考えるのが常識的じゃないかなあ……　実際、命題としては類似した性質が成り立つわけですし。

9.5- Quineの、定義は「同義性の報告」「解明」「名付け」の3通りに分類できると言う話がひたすら
　適用されています。この節以降は僕はQuineの論文を読んだことが無いので、
　どうして術語の多義性がこんなに批判されるのか、ちょっと良く分かりません。
　Quineのtwo dogmasを読んでから再読するかもしれません。
　
　個人的には、言葉が多義的でその境界が不分明であるのは当たり前の話であるように感じます。
　菊池先生も丸山圭三郎「ソシュールを読む」を参考文献に挙げていらっしゃいますが、
　共時的に意味があるのは語間の差異のみであって、さらにその差異性は常に揺らいでいるのです。

0963１３２人目の素数さん

2014/11/03(月) 19:09:24.62

範疇的でないことって何だか不安を誘うよね

0964１３２人目の素数さん

2014/11/03(月) 21:40:58.00

>>962
メトニミーとは換喩(かんゆ)のこと
2ちゃんねるの隠語はメトニミーが多いですね

0965１３２人目の素数さん

2014/11/04(火) 21:18:42.37

ま、ぶっちゃけ、ペアノ数論みたいにテキトーな自然数の定義しといて、
無矛盾だと、無矛盾性が証明できない、ああ困った、とかいうのは、
なんつーか、自業自得というか、身から出た錆といえなくもない。

0966１３２人目の素数さん

2014/11/04(火) 21:48:22.46

じゃあ>>965がまず
適当じゃない自然数の定義をお願い

0967^-°

2014/11/04(火) 21:54:35.23

菊池先生の「不完全性定理」には、
第二不完全性定理によってロジシャンが大変困ってしまった、
というようなことは全然なくて、寧ろ二十世紀数学にとって、
一つの悟り、諦観、諦め＝明らめであったというようなことが書いてます。

実際この本を読んでいて、僕は、高校や大学の頃に
不完全性定理を初めて学んだときに感じた、
目の前に未だ全く見た事がなかった世界が広がっていく
感動的な興奮を少し思い出しました。

0968１３２人目の素数さん

2014/11/04(火) 23:26:15.77

論理式を定義するときに、次のような定義をよく見かけますが

（１）原子式は論理式である
（２）A∧B、A∨B、・・・・は論理式である
（３）（１）と（２）によって論理式とされるもののみが論理式である

（３）の定義の必要性ってなんでしょうか？
（３）が無くても十分論理式が定義できているように思います

0969１３２人目の素数さん

2014/11/04(火) 23:37:56.03

(3)がないと
　∧A(BC∨D(
は論理式かも知れないし、そうでないかも知れない、
ということになります。でも、こんな滅茶苦茶な記号列
論理式じゃないと言い切ってしまいたい訳です。

0970１３２人目の素数さん

2014/11/05(水) 00:17:15.70

>>968
if and only if のonlyと同じでしょ

0971１３２人目の素数さん

2014/11/05(水) 00:40:54.27

当たり前のことだけど、Fという概念を定義するためには ∀x(Fx⇔Gx) の形の主張をすることになる。
しかし、慣習として定義文は「xがGのとき、xをFと呼ぶ」というふうに省略して書くので、
見た目の上では ∀x(Gx⇒Fx) の形の主張になっている。

>>968では（１）（２）が ∀x(Gx⇒Fx) に相当する。
厳密には逆向き ∀x(Fx⇒Gx) に相当する（３）も書かなければならない。

0972１３２人目の素数さん

2014/11/05(水) 00:54:35.88

>>926
フォーシングのマシンメカニシャンって誰・どういう人たち？

0973１３２人目の素数さん

2014/11/05(水) 01:36:59.11

>>969-971
逆向きに考えると>>969のようなことになってしまうので、きちんと定義したいということですね
しっくり来ました
ありがとうございます

0974１３２人目の素数さん

2014/11/06(木) 07:06:28.91

>>966
第二不完全性定理を避けるなら、最後の数が必要だね。
「ｎが自然数なら、ｎ＋１が自然数」というような形じゃ
どうしようもない。

0975１３２人目の素数さん

2014/11/06(木) 12:04:33.02

>>959
長い論文ではAPALが最高峰で
短い論文についてはJSLが最高峰と聞くが？
そういう住み分けがあるんじゃない？
（短くてAPALに載った論文とか
長いJSLの論文がしょぼいってことはないんだろうけど）

0976１３２人目の素数さん

2014/11/06(木) 18:00:33.78

>>972
横からだがたぶんウディンとかってことじゃ？

0977１３２人目の素数さん

2014/11/06(木) 22:37:51.93

どっちかというと
シェラーの方がマシンメカニシャンで
ウディンがレーサーじゃないかなあ

0978１３２人目の素数さん

2014/11/06(木) 23:04:54.30

どうして？
独立命題という(ZFC主義者にとっての）ゴミを取り除いていって
ZFCからの真理を探そうとするところは気質的にはそうかもね

0979１３２人目の素数さん

2014/11/08(土) 22:17:14.16

カリー化って何のためにするの？その利点は何なの？

0980１３２人目の素数さん

2014/11/09(日) 00:21:57.35

>>979
値が何でもすべてが1変数関数として扱える

0981１３２人目の素数さん

2014/11/09(日) 20:29:57.54

>>980
ありがとう。
だけど、すべてが1変数関数として扱えるとなにがいいの？
カリー化することのデメリットはなに？

数学基礎論・数理論理学 その14

数学基礎論・数理論理学　その14