>>791
集合としての証明なので
元がどうなっているかを見ているだけ

もう少し段階を追えば
① ⇒ x ∈ A … ③
① ⇒ (x∈B または x∈Ｃ)
の両方が導かれる

(x∈B または x∈Ｃ)　なので場合分けして

(1) x ∈ B の時
③と合わせて
x∈A かつ x∈B

(2) x ∈ C の時
x∈A かつ x∈C

(1)または(2)の少なくとも一方が必ず成り立つのだから
①から
(x∈A かつ x∈B) または(x∈A かつ x∈C)

これが言えたことによって集合としての包含関係
A∩（B∪C）⊆（A∩B）∪（A∩C）
が言えている。
これは左の集合に含まれる元x が右の集合にも含まれることを言ったに過ぎず
示したい = の事はまだ示せていない。
そのため後半で逆の包含関係を示している。