>この大雑把な再帰性への理解は
単に、私が数学とは公理から定理を証明する学問だと考えているのに対して
>>659が、定式化される前の頭の中のボンヤリした数理的イメージのことを数学と呼んでいるだけ。

>>630では、不完全性定理の「公理の集まりが無矛盾、算術を含む、再帰的」、
という三つの条件のうち再帰性を落とせば良い、と言っている。
読むほうは当然、公理が無矛盾かつ算術を含むという条件は残されるんだな、と理解する。
それなのにいきなり、数学は公理から定理を導く学問ではない、
みたいなことを言い出したら暗黙の前提がいつの間にかひっくり返されてるからついていけない。

また、>>630では、不完全性定理が成り立ってしまっては困るから
我々の算術の知識の総体が再帰的であるという条件を捨てよう、とか言ってるけど、
これは自分で勝手に選ぶ条件ではなくて、「人間は皆不死ではありえない」みたいに
もともと決まってしまっているものだから、我々にはどうにもできない。
人類の算術に関する知識は再帰的かもしれないし、実際に私はそう信ずる。
その根拠が「有限時間に〜〜」で書いた部分。

不完全性定理は実質的に算術についての定理だから自然数に関する命題に限って話すが、
>>630の言うように、我々の算術に関する知識が実は再帰的でなく、完全である為には、
ZFCから導出不能であるような算術の命題が、実は自明で証明の要らない基本的命題だった、
ということが起きていないといけない。でもの可能性はほとんど考え難い。