>再帰をすてれば問題ない。
>というか再帰を考慮したら計算機科学に出てくるような数学しかできなくなる。
>そっちのが明らかに数学の破たん。

公理の集合が再帰的可算という条件は、
ある命題が公理かどうかを判断するアルゴリズムが存在する、
ということ。この条件を落とすと、
（たとえば連続体仮説とかリーマン仮説とかのような）
ある命題が公理であって証明が必要かどうかは
ケースバイケースで頭の良い学者が判断する、機械的には決められない、
みたいな事になる。
それで良いなら良いけど、それはユークリッド以来の論証的学問ではないよね。