とりあえず現在の数学は

(0,0)-圏は集合論、(0,1)-圏が通常の圏論、(0,ｎ)-圏がｎ圏、
って拡張されてるけど
逆に
(1,0)-圏がモノイド(圏論の意味で)、(2,0)-圏が可換モノイドってな方向にも拡張可能っても覚えとかないと
結び目とかホモトピーのホモトピーに関するTQFTとかも理解できないってことよ
ｍが２以上なら
(2,ｍ)-圏にはすべてホモトピー理論、(3,ｍ)-圏にはすべて結び目理論の具体例が存在することが示されてるし
(3,1)-圏、(4,2)-圏、(5,3)-圏にはきれいな対称性が存在することがわかってる
高次圏のすごいところは複素ベクトル空間と３次元のユークリッド空間の結び目など
直感的には全く接点がないような異なった数学の間に、同じ構造が存在することが示されることなんだよね
まさに数学際数学とでもいうのかな圏論は
まぁ具体例が発見されているのはまだほんの少しだけだけど