>>476
存在しません．

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy*exp(x+y) を満たすf(x)があるとする．
まず，(x,y)=(0,0) を代入し，f(0)=0 を得る．
これを踏まえ，(x,y)=(1,-1), (2,-2) を代入すると
f(1)+f(-1)=1, f(2)+f(-2)=4. …①
一方，(x,y)=(1,1), (-1,-1) を代入すると
f(2)=2f(1)+exp(2), f(-2)=2f(-1)+exp(-2). …②
②から
f(2)+f(-2)=2(f(1)+f(-1))+exp(2)+exp(-2).
これと①から
exp(2)+exp(-2)=0
という矛盾が生ずる．