馬鹿正直というか、力技というか。

100回勝負なので場合の数は2^100。

10回目で資金0になるのは連続10回負けなので
場合の数は1、あとの90回の勝ち負けは何でも良いので
場合の数は2^90。
10回目で資金0になる確率は
(1*2^90)/(2^100)=1/(2^10)。

11回目では、10回目までに1回勝ち11回目で負けなので、
場合の数は10C1で、10。あとの89回の勝ち負けは何でも良いので
場合の数は2^89。
11回目で資金0になる確率は
(10*2^89)/(2^100)=10/(2^11)。

……

100回目では、99回目までに90回勝ち100回目で負けなので、
場合の数は99C90。
100回目で資金0になる確率は
(99C90)/(2^100)。

以上の合計。
頭を使って何か計算式を立てるのがスマート。