＞4領域のすべてに存在するのであれば
「ダイヤの集合」とは、全てのダイヤを含み、しかもダイヤ以外は含まない集合（そのような集合が唯一つ定まる）のことです
そもそも集合というものの定義ですね
4領域のすべてに存在するという状況はあり得ません

＞「ダイヤの集合」というものを考えた時点でそれがダイヤの定義になってしまうのでは
定義ではなく、単に名前をつけただけ

数学として厳密に話す必要があるので、ダイヤと産廃の例は使わないことにする
x＋2y＝1
2x＋4y＝3
という連立方程式の解の集合をAと名付ける(Aは正体不明だが、集合Aは確かに存在するし、名前をつけることができる)
もしAが空集合でないなら、その要素(x, y)を１つとってくることができる
しかし、このx, y が上の２つの方程式を同時に満たすことは不可能
よって、Aは空集合であったということになる

以上の議論に循環論法は使われていない