1/9==0.111....でこれに*3すると1/3==0.333...になります。
左辺は3/9で有理数の約分の規則に従うだけ特に問題はありません。
右辺に注目すると0.111....が無限の桁でありこれに*3して0.333....となるようですが、
0.111.... * 3 == 0.333....が成立しない演算の体系は例えばどういうのがありますか？

それと、難しい議論になるので例では特に触れませんが、*を行うと小数の各桁が10進で収まらないときは、
桁上がりで収まらなかった数値が次の桁の+になりますが（例えば0.333 *4==1.2+0.12+0.012+....)、
この様に*を行っても桁上がりが成立しない、言い換えると左辺式 * (Π)と右辺式 + (Σ)が可換でない演算の体系は例えばどういうのがありますか？