f(x)=f(x+T) for all x (T≠0)
F(x)=∫ f(x)dxとすると
F'(x)=f(x)
F'(x+T)=F'(x) …①

元の関数が周期性を持てば
①を変形して( F(x+T)-F(x) )' = 0
ゆえに積分してF(x+T) = F(x) + C (Cは積分定数)
ここでF(x+kT) = F(x+(k-1)T) + C = F(x) + kC
もしFに周期性があるならばF(x+kT)=F(x)を任意のxで満たすあるk(≠0)が存在する。
ゆえにC=0
逆にC=0ならばF(x+T)=F(x)を満たすのでF(x)は周期Tを持つ。

よってある関数が周期関数のとき、その原始関数が周期関数になるための必要十分条件は原始関数の積分定数がゼロになることである。

論理チェックよろしくお願い