>>595
>連続じゃない離散的なものの微分。

http://www.math.tohoku.ac.jp/~ytakao/papers/abc.pdf >>361
フェルマー予想と ABC予想. 山崎隆雄（東北大学）
中
”6.1. 多項式の微分. ABC 定理の証明には「微分」の概念を必要とする。簡単に復習する。微分のことを
知っていれば聞き流していいが、余裕のある人は次の点に注意してもらいたい：ここで扱う微分は完全
に代数的な操作であり、「定数」が実数でなくても（従って極限操作が意味をなさない状況でも）通用す
る。（例えばR をQ で置き換えてもよい。もちろんC でもよい。）”（原文まま。「定数」→「変数の取りうる値」とするのが正確ではないかと思う）
とある

これは、よくある流儀で、形式的演算として（極限操作をせずに）微分を定義する
ただ、”p進Teichmuller理論に登場する「標準的なFrobenius持ち上げの微分”は全く別の話と思います。
（>>598の二つのPDFは読まずに話をしているので不正確だが。おっと、今から読んで見るよ）