取り敢えず簡略化のために[ (e^x) - {e^(-x) } ] / [ (e^x) + {e^(-x) } ]をE(x)と置いておく
∫E(x)dx=∫tanhxdx=∫(sinhx/coshx)dx=∫{(coshx)'/coshx}dx=log(coshx)+C=log[{(e^x) + {e^(-x) }/2]+C

∫E(x)dx=∫{(2sinhx)/(2coshx)}dx=∫{(2coshx)'/(2coshx)}dx=log(2coshx)+C=log(e^x) + {e^(-x) }+C

こんなかんじになります