無矛盾とは理論Tと任意の論理式Fについて、
not( T |- F & T |- ¬F )
となることで、この論理式を変形すると
( ( T |- F ) & not( T |- ¬F ) )
or( not( T |- F ) & ( T |- ¬F ) )
or( not( T |- F ) & not( T |- ¬F ) )
となるのですが、これの上半分の
( ( T |- F ) & not( T |- ¬F ) )
or( not( T |- F ) & ( T |- ¬F ) )
の部分を完全と呼びます。つまり、
not( T |- F ) & not( T |- ¬F )
となるFが存在しなければ完全になります。
しかしながら、
・理論TがΔ^0_1
・理論TがΣ^0_1-完全集合を表現可能
の2つの条件を満たせば
not( T |- F ) & not( T |- ¬F )
となるFの存在が証明されてしまうのです。
これが第一不完全性定理です。
もちろんここまでで真偽値は関係しません。