>>623
完備距離空間なら、Xがコンパクトとは、任意のε＞0に対してXの有限集合{x_1,…,x_n}があって任意のx∈Xに対して1≦k≦nが存在してxとx_kの距離がε未満、ということだから∀∃∀∃だね。