どういう体系から証明すれば何かを示したと見なされるかについては大体コンセンサスがある

こういう性質を満たす数学的対象が存在するのかどうか良く分からないが
そのようなものを考えるとその圏がこうなっていることが示せる、
というような証明は何かをfullに示したとは見なされない
世に言われる圏論を使った議論と言うのはそういうものではなくて、
大抵は最初にその圏の具体例を集合論的に構成しているはず

グロタンディーク宇宙の公理は、〜〜を満たす集合が存在する、
というタイプの公理なので集合論の命題として表現できるし
強到達不能基数の公理と同値らしいので同値なようなので巨大基数公理で完全に代用できる

集合に関する主張についてNBG（ACを含む）はZFCの保存拡大だから強さは同じ
P=NPのようなクラスに言及しない定理がZFCで示せないのにNBGで示せたりすることはない