圏論が必要な数学なら、
当然プロパークラスを考える必要があるので、
ZFCにグロタンディーク宇宙の存在を添加するか、
NBG集合論からの独立性を示す必要があるかもしれない。
しかし圏論を使った証明がそれを使わずに証明できる可能性もあるので、
最終的に何から独立かは明確にならないと思う。