>>586です
これじゃダメですか？

f(x)が任意のxで連続で微分可能な関数より
f(ax)cos(x)+asin(x)=g(x)-g(0)…①
f(ax)sin(ax)+kcos(x)=h(x)-h(0)…②
を満たすxの関数g(x)、h(x)を考えるとg(x),h(x)も任意のxで連続で微分可能な関数
①よりg'(x)=af'(ax)cos(x)+f(ax)sin(x)+acos(x)
②よりh'(x)=af'(ax)sin(ax)+af(ax)cos(ax)-ksin(x)
ゆえに
g'(0)=af'(0)+a
h'(0)=af(0)
ここで与式について
(左辺)=g'(0),(右辺)=h'(0)より
af'(0)+a=af(0)
a(1+f'(0)-f(0))=0
f'(0)≧f(0)より(1+f'(0)-f(0))>0
∴a=0