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ガロア拡大とクロネッカー
2012/05/04 23:10

ガロア拡大は、体の構造を調べる道具ですが、そのガロア群が重要な情報を持っています。
また、ガロア拡大体の中間体は、ガロア群の部分群と対応しています。

体は一般に無限の要素を持つので、扱いが難しいですが（もちろん有限体もあるけど）、対応するガロア群の部分群は有限集合なので、扱いやすいのです。
このように、体を群と結びつけて代数構造を調べる方法論が「ガロア理論」です！！

ガロア理論を用いれば、５次以上の方程式に解の公式が無いことが分かったり、定規とコンパスによる作図の問題を考えることができます。

ちなみに、ガロア群がアーベル群（可換群）になっているガロア拡大をアーベル拡大といいます。
上の例では、画像はアーベル拡大です。

この拡大体画像は円分体画像の部分体になっています。画像は1の8乗根画像です。
逆に、有理数体の任意アーベル拡大は円分体の部分体になることが分かっています。
これが、クロネッカー＝ウェーバーの定理と呼ばれるものです。

クロネッカーは、基礎体を有理数体から虚二次体に変えたらアーベル拡大はどうなるか、と考えました。
これが、クロネッカーの青春の夢（Kronecker's Jugendtraum）です。

この問題は、高木貞治の類体論により、解決されました。
虚二次体のアーベル拡大は、J-不変量と呼ばれる保型関数の特殊値を添加した体になります。
有理数体のアーベル拡大は指数関数の特殊値を添加したものでした。

では一般の代数体に拡張したら？
これが、ヒルベルトの23の問題の12番目、
「任意の代数体のアーベル拡大は、解析関数の特殊値を添加して構成できるか」です。

この辺の話は、僕も流れを知っているくらいで詳細は全く分かりません。。。
ネットで調べてみると、この問題は現在未解決で、全然分かってないみたいです。