はさみうちの原理の証明についての質問です。

定理
a[n]≦b[n]≦c[n] (n=1,2,3,...) かつ lima[n]=limc[n]=αであれば、limb[n]=αである。
証明
0≦b[n]-a[n]≦c[n]-a[n]→0 (n→∞) より、b[n]-α=(b[n]-a[n])+(a[n]-α)→0 (n→∞)
すなわち、limb[n]=αが得られる。

この証明で(b[n]-a[n])+(a[n]-α)→0となっていますが、これはどうやって示されたんでしょうか？
0≦b[n]-a[n]≦c[n]-a[n]という不等式からb[n]-a[n]→0を言おうとすると循環論法になってしまいますし…