解析概論第1章の「1.数の概念」から質問です。ここには、

＞今P=(x[1],x[2],…,x[n]), P'=(x'[1],x'[2],…,x'[n])なるとき
＞　　√((x[1]-x'[1])^2+(x[2]-x'[2])^2+…+(x[n]-x'[n])^2)
＞なる数をP,P'の距離と略称して、それをPP'と書く。然らば’三角関係’ PP'+P'P''≧PP''が成り立つ。

とありますが、確かにPP'+P'P''≧PP''という関係は、PP'などを普段使うような、図形的な距離として捉えれば、
下のような図を想像して当たり前のように思えます。
　 　 　P'
　 　／　 ＼
　／　 　 　 ＼
P―――――P''

ですが、本文の中ではPP'というのは「距離」という名こそ冠しているものの、あくまで
　　PP'=√((x[1]-x'[1])^2+(x[2]-x'[2])^2+…+(x[n]-x'[n])^2)　　……(※)
という風に定義された「数」であるに過ぎないので、「PP'+P'P''≧PP''が成り立つ」というのも、
「実数x[1],x[2],…,x[n],x'[1],x'[2],…,x'[n],x''[1],x''[2],…,x''[n]について
　　√((x[1]-x'[1])^2+(x[2]-x'[2])^2+…+(x[n]-x'[n])^2) + √((x'[1]-x''[1])^2+(x'[2]-x''[2])^2+…+(x'[n]-x''[n])^2) ≧ √((x[1]-x''[1])^2+(x[2]-x''[2])^2+…+(x[n]-x''[n])^2)
が成り立つ」……(☆) という命題に過ぎないのですよね。
このような「実数についての命題」を勝手に上図のようなものによって納得しようとしてはいけない……という考え方は合ってるでしょうか？

つまり、上に引用した文だけでは「図形的な意味での距離」と「(※)式で定義された数としての『距離』」が同じものであるかどうかが分からないように思うのです。
だから、「PP'+P'P''≧PP''が成り立つ」と言うためには実数についての命題(☆)の証明を示さなければならないと思うのですが、
そのことは特に本文に書かれていなかったので少し混乱してしまいました。
どなたかこのあたりの解説をお願いできないでしょうか？