全然わかっていませんでしたがたぶん今回のでわかった気がします
これで大丈夫だと思うのですがどうでしょうか？

ユークリッド空間E^nの相異なる2点 x,y∈E^n に対し
E^nにおけるそれぞれの開近傍U,Vが存在して U∩V＝Φ とできることを示せ】
U＝｛ v∈E^n | d(x,v) <ε｝
V＝｛ v∈E^n | d(v,y) <δ｝
ε＝d(x,y)/2
δ＝d(x,y)/2
と仮定する
d(x,y)≦d(x.v)+d(v,y)<ε＋δ
これはd(x,y)<d(x,y)となり矛盾
よって U∩V＝Φ とできることが示せた