【ユークリッド空間E^nの有限個の点から成る部分集合AはE^nの閉集合であることを示せ】
E^n＼Aが開集合であることを示す
∀x∈E^n＼A に対して ∃ε>0　s.t. ｛ y∈E^n | d(x,y) <ε｝⊂E^n＼A
∴E^n＼Aは開集合
∴Aは閉集合


2つ目も3次元でイメージしてみました
x,yをそれぞれ中心とする球体2つを考える(現時点では2つの球体の共通部分が存在するかも)
それぞれの半径ε,δを小さくしていけば(u,vがそれぞれx,yに近づけば)
共通部分は小さくなっていき、十分に小さくなると U∩V＝Φ となる
この考えで2つ目の解答も作りました

【ユークリッド空間E^nの相違なる2点 x,y∈E^n に対し
E^nにおけるそれぞれの開近傍U,Vが存在して U∩V＝Φ とできることを示せ】
開近傍Uが存在⇔∃ε>0　s.t. ｛ u∈E^n | d(x,u) <ε｝ ⊂ U
開近傍Vが存在⇔∃δ>0　s.t. ｛ v∈E^n | d(y,v) <δ｝ ⊂ V
ε＋δ<d(x,y)となるε,δを取れば U∩V＝Φ とできる

できのよくない頭をフル回転させた結果です
どうでしょうか？