>>439
とりあえず自分なりに解答を作ってみました
*をつけたところが怪しいと思います

【ユークリッド空間E^nの有限個の点から成る部分集合AはE^nの閉集合であることを示せ】
E^n＼Aが開集合であることを示す
*「有限個の点から成る部分集合A」内の最小値をε/2とすると
E^n＼A内の任意のxに対し、∃ε>0　s.t. ｛ y∈E^n | d(x,y) <ε｝
∴E^n＼Aは開集合
∴Aは閉集合


【ユークリッド空間E^nの相違なる2点 x,y∈E^n に対し
E^nにおけるそれぞれの開近傍U,Vが存在して U∩V＝Φ とできることを示せ】
こちらは全くです・・・
スタートとしてはこれでいいのでしょうか？

開近傍Uが存在⇔∃ε>0　s.t. ｛ y∈E^n | d(x,y) <ε｝ ⊂ U
開近傍Vが存在⇔∃δ>0　s.t. ｛ y∈E^n | d(x,y) <δ｝ ⊂ V

UとVについてそれぞれεとδのように文字を変える必要はあるでしょうか？