>>699
そもそも考えるべき問題が違う。
問題は「a=b=0のとき、a=b⇔a^2=b^2はどう示すのか」だろ？
この場合、a=b=0とすでに仮定されてるんだからa=bもa^2=b^2も真
よってa=b⇔a^2=b^2も真
というだけ。

a^2=0⇒a=0の証明は、厳密に言えば、実数の定義を知らなければならない。
もしかしたら大小関係を定義するためにa^2=0⇒a=0が必要かもしれないし、
>>702だってもしかしたら「0でない元に逆元が存在する」を証明するためにa^2=0⇒a=0が必要かもしれない。
(実際は両方ともそんなことは無いからどちらも正しい)
こういうのは高校数学じゃ限界がある。とりあえず今は>>699や>>702の証明で納得しとくのがいいと思う。