x^2+y^2=4とy=kx+4が異なる二点P,Qで交わっているときPQの中点Mの軌跡を示せという問題
M=(p,q)とおく
x^2+(kx+4)^2=4から(1+k^2)x^2+8kx+12=0
この方程式の2解をα,βとしてpを求めると
p=-4k/(1+k^2)
またMはy=kx+4上にあるのでq=kp+4
p≠0であるからk=(q-4)/p
これをpの式に代入して整理するとp^2+(q-2)^2=4

ここまでは分かったのですがkの範囲はk<-√3,√3<kなのでp,qの範囲を考えないといけない
3<k^2からpの範囲が絞れそうですが分子のkが邪魔で出来ません
ここからの進め方を教えて下さい