東大にも前に出てた論証とかの問題によくある

ｘに０とか１とか−１とか代入して
その式を満たす必要条件であることを確認したあと
十分性を考慮して代入する

みたいな手法があるじゃん
確かにそれは理解できるんだけど、もしそのｘにもっと大きな他の数を代入したら
式が成立するかもしれないってことにはならないのかって(実際にはならないんだろうけど)疑問が拭えないんだが…

要は代入して必要十分を満たす値が唯一の解になる理由を教えてください