>>125
ざっくりと叩き台投げてみる

{AB接触 - (AB接触 and AC非接触)} or {AB非接触 and BC接触 and CA接触}
で解いた

【AB接触 and AC非接触】
球を地球に見立ててAを北極におくと、Bは北半球に存在する
∠BOA=θとおくと0≦θ＜π/2
各θは緯線の長さ2πsinθ/(4π)に応じた確率をとる
(上の一行は正確な数学表現ではない）

南半球かつB側の半球(以下B半球)にないエリアというのは、
２本の経線で挟まれた舟のような形をしている
球面に対する表面積比は2(π-θ)/(4π)=(π-θ)/(2π)

求める確率は
∫_[ 0 ≦θ＜π/2 ]2πsinθ/(4π)*(π-θ)/(2π) dθ = (π-1)/(4π)

【AB接触 - (AB接触 and AC非接触)】
AB接触確率が1/2なので1/2 - (π-1)/(4π) = (π+1)/(4π)

【AB非接触 and BC接触 and CA接触】
AB接触 and AC非接触と同様に考えて、同じく笹舟のような形なので
∫_[ π/2 ≦θ＜π ](2πsinθ/4π)*(π-θ)/(2π) dθ = 1/(4π)

【答え】
(π+1)/(4π) + 1/(4π)= (π+2)/(4π)