>>791

５９. For 0≦x,y,z≦1, prove that:
　　(2^x+2^y+2^z){2^(-x)+2^(-y)+2^(-z)} ≦ 10.

　　yはxとzの中間にあるとしてよい。
　　(左辺) = 3 + {2^(x-y)+2^(y-x)} + {2^(y-z)+2^(z-y)} + {2^(z-x)+2^(x-z)}
　　　　　≦ 5 + 2 {2^(z-x) + 2^(x-z)}
　　　　　≦ 5 + 2{2 + 1/2}
　　　　　= 10,
　　　等号は {x,y,z} = {0,0,1} {0,1,1}

６０. For real numbers a, b, with ab≧1, prove that a^2+b^2 ≧ a+b.

　　(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab ≧ 4ab ≧ 4,
　∴　|a+b| ≧ 2,
　　|a+b-1| ≧ 1

　(左辺)-(右辺) = (1/2)(a-b)^2 +(1/2)(a+b)^2 - (a+b)
　　　　　　　　= (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(a+b-1)^2 - (1/2)
　　　　　　　　≧ 0,

６２. Let a,b be real numbers, such that a(a^2+1)^2 + b(b^2+1)^2 =8. Prove that:
　　a+b ≦ 2,

　　(左辺) = (a^5+b^5) +2(a^3+b^3) + (a+b)
　　　　　 = (a+b){a^4 -(a^3)b +(ab)^2 -a(b^3) +b^4 +2(a^2 -ab +b^2) +1},
　　題意より、s = a+b > 0,
　　8 = (左辺) ≧ s{(s/2)^2 +1}^2 = f(s),
　　f は単調増加だから、s ≦ 2.