>>63　（念のため記録）

〔問題〕
非負実数 a,b,c と 自然数n≧2 について、
　(a^n)b + (b^n)c + (c^n)a ≦ K_n (a+b+c)^(n+1),
ここに　K_n = (n^n)/(n+1)^(n+1),

(略解)
　G(a,b,c) = K_n (a+b+c)^n - (a^n)b -(b^n)c -(c^n)a,
とおいて偏微分すると、
　G_a = (n+1)K_n (a+b+c)^n - na^(n-1)･b - c^n,
　G_b = (n+1)K_n (a+b+c)^n - a^n - nb^(n-1)･c,
　G_c = (n+1)K_n (a+b+c)^n - b^n - nc^(n-1)･a,
辺々たす。
　G_a + G_b + G_c ≧ 3(n+1)K_n (a+b+c)^n - (a+b+c)^n
　　　= {3(n+1)K_n - 1}(a+b+c)^n
　　　= {3[n/(n+1)]^n - 1}(a+b+c)^n
　　　> (3/e - 1)(a+b+c)^n　　{← (1 + 1/n)^n < e}
　　　> 0,
∴　{a,b,c} の差を固定して一斉に増加するとき、Gも増加する。
たとえば a,b≧c≧0 のとき、
　G(a,b,c) ≧ G(a-c,b-c,0)
　　　　　　= G(a',b',0)
　　　　　　= K_n (a'+b')^(n+1) - (a')^n･b'
　　　　　　= (1/n){(a'+a'+･････+a'+nb')/(n+1)}^(n+1) - (a')^n･b'
　　　　　　　　　　　　　n個
　　　　　　≧ 0,　　　　　　　　(← 相加･相乗平均)
　等号成立は a'=nb' すなわち、{a,b,c}={n,1,0} とその rotation