不等式への招待 第６章
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0001不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
2012/03/29(木) 00:58:23.29＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/l50
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0002不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
2012/03/29(木) 00:59:57.34[1] 不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
http://direct.ips.co.jp/book/Template/Goods/go_Boo...
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001...
[5] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[9] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[10] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...
[11] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
[12] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[13] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
http://amazon.jp/dp/3034600496
0003不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
2012/03/29(木) 01:01:05.88[1] 特集 「現代の不等式」 （数理科学 No.386） ，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2] 特集 「不等式の世界」 （数学セミナー No.2-569） ，日本評論社，2009年2月号
http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3] 連載 「不等式の骨組み」 （大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
http://www.tokyo-s.jp/index.shtml
不等式の埋蔵地
[1] RGMIA http://rgmia.vu.edu.au/
[2] Crux Mathematicorum Synopses http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/
[4] Mathematical Inequalities & Applications http://www.ele-math.com/
[5] American Mathematical Monthly http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6] Problems in the points contest of KoMaL http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7] IMO リンク集 http://imo.math.ca/
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10] Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11] MathLinks Contest http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/
[14] GRA20 Problem Solving Group http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16] Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
0004１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 01:01:22.31, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
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0005不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
2012/03/29(木) 01:02:59.67[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
我々は不等式ヲタだ！
お前達を同化する。抵抗は無意味だ！
0006１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 03:24:39.86俺もだけれど、暇な時でも見つけてスレ内の面白かった不等式(とその証明)のっけていければいいのだけれど
0007１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 04:47:49.660008１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 05:34:24.820009１３２人目の素数さん
2012/03/29(木) 06:01:41.40具体的に、どの本？
0010不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
2012/03/29(木) 06:10:08.45すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました
不等式の本
[1] 不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
http://direct.ips.co.jp/book/Template/Goods/go_BookstempKindai.cfm?GM_ID=KD1006&CM_ID=004300504&SPM_ID=1115&HN_NO=00430&PM_No=&PM_Class=
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[9] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[10] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[11] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/
[12] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[13] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
http://amazon.jp/dp/3034600496
0011１３２人目の素数さん
2012/04/02(月) 01:54:22.46（＿_）
（＿＿） ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
(∩・∀・)＜ もしもし? このスレに不等式１人前お願いします
□……(つ ) ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
￣￣￣￣￣￣￣￣|
( ﾟ∀ﾟ) ﾏｲﾄﾞｰ、税込1050円ﾃﾞｽ
x、y、z > 0、xyz=1 のとき、(x/(1+x))^2 + (y/(1+y))^2 + (z/(1+z))^2 ≧ 3/4
0012１３２人目の素数さん
2012/04/02(月) 01:55:54.750013１３２人目の素数さん
2012/04/02(月) 06:22:54.06x、y、z > 0、xyz=1 のとき、(x^2/(1+x))^2 + (y^2/(1+y))^2 + (z^2/(1+z))^2 ≧ 3/4
0014１３２人目の素数さん
2012/04/02(月) 20:45:12.54（＿_） ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
（＿＿） ／ あ～もしもし、追加注文お願いします
(∩・∀・)＜ うんち特盛り…じゃなくて、類題１人前
□……(つ ) ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
￣￣￣￣￣￣￣￣|
( ﾟ∀ﾟ) ﾏｲﾄﾞｰ、税込850円ﾃﾞｽ
( O┬O
≡ ◎-ヽJ┴◎ ｷｺｷｺ
x、y、z > 0、xyz=1 のとき、x/(1+y) + y/(1+z) + z/(1+x) ≧ 3/2
0015１３２人目の素数さん
2012/04/04(水) 06:35:52.58不等式の左辺の分母の1を(abc)^(1/3)に置き換えたり、
あんなことやこんなことをするんだろうと思うけど、できぬ・・・
0016１３２人目の素数さん
2012/04/08(日) 01:02:39.630017１３２人目の素数さん
2012/04/14(土) 00:07:17.24分母分子a^2で割って、b/a、c/aを置き換えて三角形の成立条件とか使うん蟹？
0018１３２人目の素数さん
2012/04/14(土) 14:40:05.35そんなに各種不等式に詳しくないので、ここで聞きます。
abc=1を満たす正の実数a,b,cにたいして、
a^3+b^3+c^3+6≧(a+b+c)^2
0019１３２人目の素数さん
2012/04/14(土) 23:44:24.72コレクションにあるかな～と思って探したけど持ってなかった
とりあえず ( ﾟ∀ﾟ)ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
考えてみ松
0020１３２人目の素数さん
2012/04/18(水) 17:08:14.502012/04/13(金) 17:58:32.59
表の出る確率がp(1/2≦p≦1)のコインを奇数枚投げたとき
表の出たコインの枚数が,裏の出たコインの枚数より多い確率は
p以上であることを示せ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第二十問
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325575627/
0021１３２人目の素数さん
2012/04/18(水) 22:24:05.39x erfc(x) < 1/4.
0022１３２人目の素数さん
2012/04/19(木) 15:39:59.97Problem B4: Let ? be a real function with a continuous third derivative such that ?(x) ,
?'(x) , ?"(x) and ?'"(x) are positive for all x . Suppose that ?'"(x) ￡ ?(x) for all x . Show
that ?'(x) < 2?(x) for all x .
Solution B4: For any x and X , Taylor’s formula for ?(X) with an integral remainder is
?(X) = ?(x) + (X?x)?'(x) + (X?x)2?"(x)/2 + ox
X (X?t)2?'"(t)dt/2 ; and if X < x we find, since
?'"(t) > 0 , that ?(X) < ?(x) + (X?x)?'(x) + (X?x)2?"(x)/2 . Set X := x ? ?'(x)/?"(x) < x to
infer first 0 < ?(X) < ?(x) ? ?'(x)2/?"(x) + (?'(x)2/?"(x))/2 and then ?'(x)2 < 2?(x)?"(x) .
Similarly ?'(X) = ?'(x) + (X?x)?"(x) + ox
X (X?t)?'"(t)dt ; now, since ?'" ￡ ? and X?t has
the same sign as X?x and also dt , we infer ?'(X) ￡ ?'(x) + (X?x)?"(x) + ox
X (X?t)?(t)dt .
Integration by parts turns this last inequality into
?'(X) ￡ ?'(x) + (X?x)?"(x) + (X?x)2?(x)/2 + ox
X (X?t)2?'(t)dt/2 .
Again, if X < x we find, since ?'(t) > 0 , that ?'(X) ￡ ?'(x) + (X?x)?"(x) + (X?x)2?(x)/2 ;
this time set X := x ? ?"(x)/?(x) < x to infer from 0 < ?'(X) that ?"(x)2 < 2?'(x)?(x) . This
combines with the inequality ?'(x)2 < 2?(x)?"(x) inferred above to prove ?'(x) < 2?(x) , QED.
( An example of such a function ?(x) is s + exp(m・x) for any constants s 3 0 < m ￡ 1 . The
example s + (mx + O(m2x2+1))n for n 3 2 , s 3 0 and m ￡ 3O((5/2)5/2/(n(n+1)5/2(n+2))) is
less obvious.)
0023１３２人目の素数さん
2012/04/19(木) 16:44:12.25Cirtoajeのプレプリのアイデアを応用すれば, x,y,z が正のとき,
x^9+y^9+z^9 + 6x^3 y^3 z^3 ≧ xyz((x^6+y^6+z^6)+(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3))
が成り立つことは証明できますが, 泥臭くて長い計算(A4版TeX印刷で2ページくらい)になります。
p=x+y+z, q=xy+yz+zx, r=xyz とおいて, 不等式の (左辺)-(右辺) をp,q,rで書き直したとき, rの2次式になるのがポイントです。
鮮やかな簡明な証明は思いつきません。
ところで, 次の問題のほうがずっと難しいと思いますよ(私の証明でA4版10ページくらい)。
x, y, z が正のとき
x^5+y^5+z^5 + (5 \root{4}\of{5}/4 - 1)xyz(x^2+y^2+z^2)
≧ (5 \root{4}\of{5}/4)(x^4y+y^4z+z^4x)
斉次対称不等式はいろいろな一般論が利用できますが, 巡回不等式のほうは難しいのです。
0024１３２人目の素数さん
2012/04/19(木) 19:14:59.910025１３２人目の素数さん
2012/04/19(木) 21:27:26.13不等式の本を早く出してください、ﾜｸﾜｸ…
0026１３２人目の素数さん
2012/04/20(金) 14:21:33.95x[1]+x[1]x[2]+x[1]x[2]x[3]+…+x[1]x[2]x[3]…x[n]
の最大値って出せます？
0027１３２人目の素数さん
2012/04/20(金) 14:35:40.04ラグランジュの未定乗数法は試した？
0028１３２人目の素数さん
2012/04/20(金) 14:40:01.88002926
2012/04/20(金) 19:20:41.75最大値はx[1]=1のときですね
0030１３２人目の素数さん
2012/04/20(金) 20:52:45.54, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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0031１３２人目の素数さん
2012/04/21(土) 14:20:47.71, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0032１３２人目の素数さん
2012/04/21(土) 18:27:35.41, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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0033１３２人目の素数さん
2012/04/21(土) 22:31:50.93, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0034１３２人目の素数さん
2012/04/22(日) 01:10:24.150035１３２人目の素数さん
2012/04/22(日) 01:38:31.77検索すると、あちこちに出没しているようだな
0036１３２人目の素数さん
2012/04/22(日) 06:07:17.58, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0037１３２人目の素数さん
2012/04/22(日) 08:43:25.86, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0038１３２人目の素数さん
2012/04/22(日) 11:36:02.18こんなあわれな子供が荒らしに時間を費やしているとしたら世も末だなぁ。
0039１３２人目の素数さん
2012/04/22(日) 19:07:13.39, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0040１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 20:03:03.05誰か開く予定があったら教えて下さい。
0041１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 23:24:55.97, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0042１３２人目の素数さん
2012/04/25(水) 22:31:37.97a^3+b^3+c^3+6≧(a+b+c)^2>>
Schur's Inequality
0043１３２人目の素数さん
2012/04/25(水) 22:38:14.040044１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 01:55:04.80, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0045１３２人目の素数さん
2012/04/27(金) 01:16:09.28>>872
コーシーで
{x(5x+y)+3y(5x+y)+y(5y+z)+3z(5y+z)+z(5z+x)+3x(5z+x)}{左辺}
≧ (x^2 +3y^2 +y^2 +3z^2 +z^2 +3x^2)^2
= 16(x^2 +y^2 +z^2)^2,
ここで
x(5x+y) +3y(5x+y) +y(5y+z) +3z(5y+z) +z(5z+x) +3x(5z+x)
= 8(x+y+z)^2
= 24(x^2 +y^2 +z^2) -8(x-y)^2 -8(y-z)^2 -8(z-x)^2
≦ 24(x^2 +y^2 +z^2),
より、
{左辺} ≧ (2/3)(x^2 +y^2 +z^2),
877 prime_132 [2012/04/26(木) 01:57:59] sage
>>873-876
正解です！
いろんな方法があるんですね。
0046１３２人目の素数さん
2012/04/28(土) 17:52:30.44, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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0047１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 06:09:34.910048１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 05:00:04.63[4]を買ったので、GWに読んでみます。
[2][3]を図書館で借りておいた方がいいですかね？
0049１３２人目の素数さん
2012/05/01(火) 17:07:28.840050１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 02:19:16.40http://s3.gazo.cc/up/s3_7474.png
0051１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 10:03:42.29┏┛┗┓ ∧∧ ┗━┓ ┃ ┃ ┃ ┃
┗┓┏( つ ﾟДﾟ).┏┓┃┏━━━┓ ┃ ┃ ┃ ┃
┏┛┗ ＼ ｙ⊂ ） ┛┃┗━━━┛ ┗━┛ ┗━┛
┗┓┏ ／ ＼┓┃ ┏━┓ ┏━┓
┗┛∪￣￣￣＼) ┛ ┗━┛ ┗━┛
0052１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 19:41:33.88どうやって証明するのでしょう？
0053１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 23:45:34.16証明してみた。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%B8%C4%CA%CC%A4%CE%CC%E4%C2%EA%B2%F2%C5%FA?wiki_id=54872#content_7
0054１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 00:05:54.70右辺がすっきりしてるのにも理由があるのか
0055１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 04:13:36.87ふつくしい…
0056１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 04:21:50.65あなたが神か…
0057１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 07:46:23.82, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0058１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 09:10:59.070059１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 10:16:07.80きたか…!!
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
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0060１３２人目の素数さん
2012/05/04(金) 23:20:00.95-1/2 ≦ ab+bc+ca ≦ 1
0061１３２人目の素数さん
2012/05/05(土) 03:18:22.49正数x,y,zがx+y+z=1 をみたすとき、x^3+y^3+z^3+3xyz≧2/9
0062１３２人目の素数さん
2012/05/06(日) 23:08:45.54ＧＷが始まって不等式にﾊｧﾊｧしていたはずが気がついたらＧＷが終わっていた…
何を言ってるのか分からねーと思うが、俺も何をされたのか分からなかった…
頭がどうにかなりそうだった…
催眠術だとか超スピードだとか、そんなチャチなもんじゃあ 断じてねえ
もっと恐ろしいものの片鱗を味わったぜ…
0063１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:54:59.640064１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 16:00:02.76(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 ≧0
(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧0
>>61
わかりませんぬ
0065１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 19:39:48.45え、どっかのサイト？
0066１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 21:39:53.64聞く前に自分で確認しろや糞蟲
0067１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 22:41:35.63( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0068１３２人目の素数さん
2012/05/09(水) 00:10:26.03なんか見たことあるなあ
0069１３２人目の素数さん
2012/05/09(水) 00:12:42.25糞蟲野郎
0070１３２人目の素数さん
2012/05/09(水) 21:07:19.55問題間違ってないか？
0071１３２人目の素数さん
2012/05/09(水) 21:16:19.31間違ってないはずだけど、反例がありましたか？
0072１３２人目の素数さん
2012/05/09(水) 21:16:27.75, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0073１３２人目の素数さん
2012/05/09(水) 21:40:02.28ごめん。いいかも。
0074１３２人目の素数さん
2012/05/10(木) 01:03:07.500075１３２人目の素数さん
2012/05/10(木) 01:07:12.280076１３２人目の素数さん
2012/05/10(木) 01:13:07.020077１３２人目の素数さん
2012/05/12(土) 13:22:33.41非負実数に関する3変数3次斉次対称不等式はSchurの不等式とMuirheadの不等式だけから証明できる、という定理があります．
> 63も5次斉次式にしてみれば，全部に項が正なので自明.
ところで，次は本当に2日前に(非初等的に)証明できた超難問です．
p = 1.48941118... は次の5次方程式解とする．
7 p^5 + 17 p^4 + 16 p^3 + 16 p^2 - 64 p - 128 = 0
このとき，任意の実数(負数も含む) x, y, z, に対して
x^4+y^4+z^4 + p(x^3y+y^3z+z^3x) ≧ 0
非自明な等号成立条件もあります．
0078１３２人目の素数さん
2012/05/12(土) 19:58:52.590079１３２人目の素数さん
2012/05/15(火) 02:23:44.160080１３２人目の素数さん
2012/05/15(火) 03:00:08.71どんな不等式でもたちどころに証明してしまう不等式神を見かけないので寂しい
0081１３２人目の素数さん
2012/05/15(火) 16:36:38.390082１３２人目の素数さん
2012/05/15(火) 20:36:36.34どうやら、不等式ヲタに同化されたのは最近のようだな
不等式ヲタとは何たるかを過去ログの書込で説明しよう！
学問・理系 [数学] “不等式への招待 第２章”
217 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/03/24(木) 22:03:28
>>216
不等式ヲタは群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは１人２人じゃなく、１ヲタ２ヲタと数えるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは三角関数や nCr でも ﾊｧﾊｧ しちゃうんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタはデルタ宇宙域からやってきたよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは世界中のあらゆるところから不等式を鬼集してるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタはちょっとキチガイ入っているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは他スレを荒らさないから安心してね ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタのレスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式を見て興奮した君は、すでに不等式ヲタに同化されているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
今日から君も不等式ヲタだ ( ﾟ∀ﾟ)９ ﾃﾍｯ
0083１３２人目の素数さん
2012/05/16(水) 02:15:32.200084１３２人目の素数さん
2012/05/16(水) 08:00:22.96ヒントくれ！
0085１３２人目の素数さん
2012/05/16(水) 11:47:14.630086１３２人目の素数さん
2012/05/16(水) 12:45:23.800087１３２人目の素数さん
2012/05/16(水) 12:59:09.250088１３２人目の素数さん
2012/05/16(水) 13:33:44.78xイ ㍉ｲヽ、 ヽ. |
〃 川 ヽ.ヾヾ. .|
リ ヽ.v|｝ .|
彡ｲ＿＿ rｪ'v' | ↑ おねえちゃん いいからだしとるやんけ
彡彡〃二二､＿＞'卞》, |
,xイ ,.ｘ≦《ｔッ= 〕f‐〔テ.} 》 | おれのもちものはでっかいぜ
_,,ｘ≦三ﾆ≡《＿＿》" ヽrく ＼
＿_ｘﾁ'＜, ￣￣ f⌒ ,,.. }:. , /／￣￣￣￣￣￣￣￣
ｌ´⌒>’`ゝ:;;ゝ f ゝ-'´`く:.:. i /'
{ 仆i , :. ,xｪｭ,: |
. ∧ ゝﾑ ',:. r''ﾆ二え |
∨ ゝ、＿ >, ` ::: ､.|
＼ { : ､.::.:.:.:.|
}川 : :.:. . ー'',r'
l｢￣￣≧ｘ､,_ :::::::::::／
0089１３２人目の素数さん
2012/05/16(水) 21:23:32.870090１３２人目の素数さん
2012/05/18(金) 01:11:56.98＼ ∧＿∧ ∩AM-GMだろ / ∧＿∧ ∧＿∧ ∧＿∧
Ｍａｒｋｏｖの不等式 ＼ （ ・∀・）ノ＿＿＿___ / （ ；・∀・） （； ´Д｀） （´Д｀； ）
の証明おしえて ∧ ∧＼ （入 ⌒＼つ ／|. / ⊂ ⊂ ） ( つ ⊂ ） （ ⊃ ⊃
（ﾟДﾟ ）＿＼ ヾヽ ／＼⌒)／ |/ 〉 〉＼＼ 〉 〉 く く ／／（ （
／￣￣∪ ∪ ／| ＼ || ⌒|￣￣￣| / （＿_） （＿） （＿.）（＿） （＿） （＿_）
／∧＿∧Polyaを読め ＼ ∧∧∧∧ /
／ （；´∀｀ ）＿／ ＼ ＜ 不 ＞ レスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ
||￣（ つ ||／ ＼＜ 等 ま ＞ 集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ
|| （_○_＿_) || ＜ 式 ＞ 群生体だから無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるよ
――――――――――――――― .＜ ヲ た ＞―――――――――――――――――――――
∧＿∧ いつもながら ＜ タ ＞ ∧＿∧ﾃﾍｯ∧＿∧ ／￣￣￣￣￣￣￣
（ ；´∀｀） 見事じゃのぉ ＜か ＞ ＼ （ ´∀｀） （´∀｀ ）＜不等式への招待
_＿＿__（つ＿ と)_＿＿ ./∨∨∨ 不＼ （ ）＿_（ ） ＼＿＿復刊ﾏﾀﾞｧ？
. ／ ＼ ＿＿＿ ＼ｷﾀｧ / ∧＿∧等 ＼∧ ∧ ∧ ∧ ￣￣￣／.／／|￣￣￣
.<＼※ ＼＿＿__.|i＼＿＿＿ヽ.ｳﾋｮ ./γ(⌒)・∀・ ） 式 ＼ ；) （ ；） ／ ┃| ｜
ヽ＼ ※ ※ ※|i i|.====B|i.ヽ /（YYて)ﾉ ﾉ ヲ ＼↑￣￣↑＼)＿／ |__|／
＼`ー──-.|＼.|___|__◎_|_.i‐>/ ＼ ￣￣￣￣＼ タ ＼数ヲタ | | ┃
￣￣￣￣|. |￣￣￣￣| / ||ヽ||￣￣￣￣|| め ＼ .|_）
0091１３２人目の素数さん
2012/05/18(金) 09:46:49.98$\frac{ab(1-a^2-b^2)^{1/2}}{a(1-a^2)^{1/2}+b(1-b^2)^{1/2}}=\frac{(1-a^2-b^2)^{1/2}}{\frac{(1-a^2)^{1/2}}{b}+\frac{(1-b^2)^{1/2}}{a}}$
$a^2+b^2=k^2$と固定し，分母$\frac{(1-a^2)^{1/2}}{b}+\frac{(1-b^2)^{1/2}}{a}$が最小になるときを求める。
$a^2+b^2=k^2$から$\frac{(b^2+1-k^2)^{1/2}}{b}+\frac{(a^2+1-k^2)^{1/2}}{a}=\sqrt{1+\frac{1}{\frac{b^2}{1-k^2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{\frac{a^2}{1-k^2}}}$…★となる。
$f(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x}}$は，$f''(x)>0$より下に凸なので，$\frac{f(s)+f(t)}{2}\geq f\left(\frac{s+t}{2}\right)$
$s,\,t$にそれぞれ$\frac{a^2}{1-k^2},\,\frac{b^2}{1-k^2}$を代入することにより，★は$a=b$のとき最小とわかる。
すると1変数になるので，あとはどうとでもやれ。$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のときに最大値$\frac12\left(\sqrt2-1\right)$をとる。
009291
2012/05/18(金) 10:17:11.98$a=b=\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$のときだ。
0093１３２人目の素数さん
2012/05/19(土) 11:31:55.01, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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0094１３２人目の素数さん
2012/05/19(土) 17:52:36.26, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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0095１３２人目の素数さん
2012/05/19(土) 17:53:01.51, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0096１３２人目の素数さん
2012/05/19(土) 20:59:41.30|a| ≧ 1 より
(左辺) - (右辺)
≧ (3/8)a^4 + b^4 + c^4 - 3aabc
≧ (5/8)a^4 + (1/2)(bb+cc)^2 -3aabc
≧ (5/8)a^4 + (1/8)(b+c)^4 -3aabc
= (3/8){a^4 + (b+c)^4} - 3aabc (← |a|≧|b+c|)
= (3/4){a(b+c)}^2 - 3aabc
= (3/4){a(b-c)}^2
≧ 0,
0097１３２人目の素数さん
2012/05/19(土) 21:39:03.97・x>1 のとき、
-t^2 ≦ -x^2 -2x(t-x), (t=x での接線)
erfc(x) < (2/√π)exp(-x^2)∫[x,∞) exp(-2x(t-x)) dt
= (2/√π)exp(-x^2)∫[0,∞) exp(-2x･t') dt'
= (2/√π)exp(-x^2) [ -(1/2x)exp(-2x･t') ]_0,^∞
= 1/(x√π)exp(-x^2)
< 1/(e(√π)x) (← x>1)
= 1/(4.8180x),
・x<1 のとき
exp(-t^2) ≧ 1 - t^2, (マクローリン)
erfc(x) = 1 - (2/√π)∫[0,x] exp(-t^2) dt
< 1 - (2/√π)∫[0,x] (1-t^2)dt
= 1 - (2/√π)[t -(1/3)t^3 ]_0,^x
= 1 - (2/√π){x -(1/3)x^3}
< 1 -(9/8){x -(1/3)x^3} （← π<(4/3)^4）
= 1/(4x) - {2 -8x +9x^2 -3x^4}/(8x)
= 1/(4x) - {(1-x^2)(1-2x)^2 + (1-x)^4}/(8x)
< 1/(4x),
0098１３２人目の素数さん
2012/05/20(日) 22:38:37.27x･erfc(x) ≦ 0.240375586831011
等号は x = 0.531596885149393
0099１３２人目の素数さん
2012/05/21(月) 21:41:29.21周の長さがpである三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。
このとき、L=1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)のとり得る値の最小値をpを用いて表せ。
0100１３２人目の素数さん
2012/05/21(月) 22:41:39.23〔問題〕
非負実数 a,b,c と 自然数n≧2 について、
(a^n)b + (b^n)c + (c^n)a ≦ K_n (a+b+c)^(n+1),
ここに K_n = (n^n)/(n+1)^(n+1),
(略解)
G(a,b,c) = K_n (a+b+c)^n - (a^n)b -(b^n)c -(c^n)a,
とおいて偏微分すると、
G_a = (n+1)K_n (a+b+c)^n - na^(n-1)･b - c^n,
G_b = (n+1)K_n (a+b+c)^n - a^n - nb^(n-1)･c,
G_c = (n+1)K_n (a+b+c)^n - b^n - nc^(n-1)･a,
辺々たす。
G_a + G_b + G_c ≧ 3(n+1)K_n (a+b+c)^n - (a+b+c)^n
= {3(n+1)K_n - 1}(a+b+c)^n
= {3[n/(n+1)]^n - 1}(a+b+c)^n
> (3/e - 1)(a+b+c)^n {← (1 + 1/n)^n < e}
> 0,
∴ {a,b,c} の差を固定して一斉に増加するとき、Gも増加する。
たとえば a,b≧c≧0 のとき、
G(a,b,c) ≧ G(a-c,b-c,0)
= G(a',b',0)
= K_n (a'+b')^(n+1) - (a')^n･b'
= (1/n){(a'+a'+･････+a'+nb')/(n+1)}^(n+1) - (a')^n･b'
n個
≧ 0, (← 相加･相乗平均)
等号成立は a'=nb' すなわち、{a,b,c}={n,1,0} とその rotation
0101１３２人目の素数さん
2012/05/24(木) 06:44:54.95http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201205&t=mat&l=en
A.561、B.4449、C.1124
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201204&t=mat&l=en
B.4433、B.4436
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201203&t=mat&l=en
A.556、B.4427、B.4431、C.1114、K.329
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201202&t=mat&l=en
A.552、B.4417
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201201&t=mat&l=en
∧＿∧ やあ
（´・ω・｀) / ようこそ、不等式スレへ。
／∇y:::::::＼ [￣￣] この不等式はサービスだから、まず飲んで落ち着いて欲しい。
|:::⊃:|:::::::::::::| |──|
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| うん、「また」なんだ。済まない。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|￣￣ 仏の顔もって言うしね、謝って許してもらおうとも思っていない。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣／|
∇ ∇ ∇ ∇ ／.／| でも、このスレタイを見たとき、君は、きっと言葉では言い表せない
┴ ┴ ┴ ┴ ／ ／ .| 「ときめき」みたいなものを感じてくれたと思う。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|／ | 殺伐とした世の中で、そういう気持ちを忘れないで欲しい
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ | そう思って、このスレを立てたんだ。
(⊆⊇) (⊆⊇) (⊆⊇) |
|| || .|| | じゃあ、不等式を証明しようか。
.／|＼ ／|＼ ／|＼
0102１３２人目の素数さん
2012/05/24(木) 23:36:23.72, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
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0103１３２人目の素数さん
2012/05/25(金) 02:08:33.48A.556. (s)
Prove that for arbitrary real numbers a_1, a_2,･････, a_n there exist a real t such that
Σ[i=1,n] |sin(t-a_i)| ≦ 1/tan(π/2n).
A.561. (s)
Show that
(a^3)b/(3a+b)^p + (b^3)c/(3b+c)^p + (c^3)a/(3c+a)^p
≧ (a^2)bc/(2a+b+c)^p + (b^2)ca/(2b+c+a)^p + (c^2)ab/(2c+a+b)^p
holds for all positive numbers a,b,c,p.
A.563. + B.4461.
Let 1≦p<2 be a real number. Prove that
(x+y)^p + (X+Y)^p + (x+Y)^p + (X+y)^p ≦ x^p + y^p + Y^p + X^p + (x+y+Y+X)^p,
for all non-negative real numbers x,y,Y & X.
B.4417. (s)
Solve the equation sin(x) + (1/2)cos(x) = {sin(x+45ﾟ)}^2
B.4427. (s)
Show that if α,β and γ are the angles of a triangle, then
(sinα + sinβ + sinγ)^2 > 9(sinα)(sinβ)(sinγ).
B.4433.
Solve the equation (1+x)^8 + (1+x^2)^4 = 82x^4.
(s) は解あり。
0104１３２人目の素数さん
2012/05/25(金) 02:09:32.69C.1114.
Solve the equation
log_2{log_3(x)} = log_3{log_2(x)}.
C.1124.
Solve the following simultaneous equations:
x^(x+y) = y^3,
y^(x+y) = x^12,
K.329.
Given that x is a positive real number such that x^2 + 1/(x^2) = 7,
determine the value of x^5 + 1/(x^5) without finding the value of x.
(s) は解あり。
0105１３２人目の素数さん
2012/05/25(金) 02:47:55.76A.561.
f(x) = (x^2)/(2x+k)^p (k>0) は下に凸だから、
(a^2)/(2a+k)^p ≧ (1/2)(a+c)^2/(a+c+k)^p - (c^2)/(2c+k)^p
≧ 2ac/(a+c+k)^p - (c^2)/(2c+k)^p, (k=a+b)
∴ (a^3)b/(3a+b)^p ≧ 2(a^2)bc/(2a+b+c)^p - ab(c^2)/(a+b+2c)^p,
循環的にたす。
B.4417.
(右辺) = {sin(x+45ﾟ)}^2 = (1/2)[1－cos(2x+90ﾟ)] = (1/2)[1+sin(2x)] = (1/2) + sin(x)cos(x),
∴ {sin(x)-1/2}{cos(x)-1} = 0,
B.4433.
(左辺) = (1+2x+x^2)^4 + (1+x^2)^4
= (x^4){(1/x +2 +x)^4 + (1/x + x)^4}
= (x^4){(t+1)^4 + (t-1)^4}
= 2(x^4)(t^4 +6t^2 +1),
∴ t^4 +6t^2 +1 = 41,
(t^2 +10)(t+2)(t-2) = 0,
・t=-2 のとき、
t = 1/x +1 +x = -2,
x = -φ^2, -1/φ^2,
φ = (1+√5)/2 = 1.618034：黄金比
・t=2 のとき、解なし。
0106１３２人目の素数さん
2012/05/25(金) 03:52:44.94C.1114.
ln{ln(x)/ln(3)} / ln(2) = ln{ln(x)/ln(2)} / ln(3),
ln(3/2)ln{ln(x)} = ln(3)･ln[ln(3)] - ln(2)･ln[ln(2)],
ln{ln(x)} = {ln(3)･ln[ln(3)] - ln(2)･ln[ln(2)]}/ln(3/2) = 0.881381626
ln(x) = 2.414232972
x = 11.18119078
C.1124.
(x^2)^(x+y) = y^6,
y^(x+y) = (x^2)^6,
より
{y/(x^2)}^(x+y) = {(x^2)/y}^6
∴ y = ±x^2,
また、
{(x^2)y}^(x+y) = {(x^2)y}^6,
y = ±1/x^2 または y = 6-x,
(x,y) = (±1,1) (x,y) = (2,4) (-3,9)
K.329.
(x + 1/x)^2 = 7+2 = 9,
T = x + 1/x = ±3,
x^5 + 1/x^5 = (x + 1/x){(x^4 +1/x^4) -(x^2 +1/x^2) +1}
= T{(T^4 -4T^2 +2) -(T^2 -2) +1}
= T(T^4 -5T^2 +5)
= ±123.
(x は ±φ^4, ±1/φ^4 らしい....)
0107１３２人目の素数さん
2012/05/25(金) 17:49:16.25C.1114.
対数の底をすべて3/2に変換して解くと、x = (3/2)^( 3^(log(log3)) / 2^(log(log2)) } でOK？（logの底は3/2）
0108１３２人目の素数さん
2012/05/26(土) 04:49:44.30B.4427.
0≦a,b,c≦1 ゆえ、相加･相乗平均から
(a+b+c)^2 ≧ 9(abc)^(2/3) > 9abc,
>>104
K.329.
x + 1/x = c のとき
x^n + 1/x^n = 2Ｔ_n(c/2),
Ｔ_n は第1種のチェビシェフ多項式
>>105
A.561. (訂正)
相加･相乗平均から
(a^2)/(2a+k)^p ≧ 2ac/{(2a+k)(2c+k)}^(p/2) - (c^2)/(2c+k)^p
≧ 2ac/(a+c+k)^p - (c^2)/(2c+k)^p, (k=a+b)
>>107
たぶんOK
0109１３２人目の素数さん
2012/05/27(日) 08:16:40.66, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0110１３２人目の素数さん
2012/05/28(月) 09:24:08.03うおおおおおおおお！ ありがとうございます！
0111１３２人目の素数さん
2012/05/28(月) 13:36:58.54http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%AB
0112１３２人目の素数さん
2012/05/29(火) 12:30:24.10, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0113１３２人目の素数さん
2012/05/29(火) 15:54:28.70C.1124.
{y/(x^2)}^(x+y-6) = 1
{(x^2)y}^(x+y+6) = 1
(1) x+y=6 のとき、(x,y) = (2,4) (-3,9)
(2) x+y=-6 のとき、
(3) x+y≠±6 のとき、(x,y) = (±1,1)
(2)のとき、x^3+x^2+1=0 の実数解１つも解じゃないの？
0114１３２人目の素数さん
2012/05/29(火) 16:01:06.53(×) x^3+x^2+1=0
(○) x^3+6x^2+1=0
書き間違えました ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
0115１３２人目の素数さん
2012/05/30(水) 01:08:20.39そうだった......orz
{y/(x^2)}^(x+y+6) = 1
{(x^2)y}^(x+y-6) = 1
x^3 +6x^2 +1 = (x+2)^3 -12(x+2) +17,
より実数解は
X = -2 -{(17-√33)/2}^(1/3) -{(17+√33)/2}^(1/3)
= -6.02752466284293
Y = -6－X = 1/X^2,
>>111
またまたシュールな読みを....
0116１３２人目の素数さん
2012/05/30(水) 03:06:55.20a,b,c are non-zero integers satisfying a+b=c, a≠b.
Prove that if n is a natural number, then the value of the sum
(a^n)/{b(b-a)} - (b^n)/{a(b-a)} + (c^n)/(ab)
is an integer.
>>111
シュアーな読み方は...
数セミ増刊「100人の数学者」p.183 日本評論社 (1989)
0117１３２人目の素数さん
2012/06/01(金) 11:00:33.630118１３２人目の素数さん
2012/06/04(月) 23:42:18.98, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0119１３２人目の素数さん
2012/06/05(火) 21:58:08.94Let p≧2 be a real number. Prove that
(x+y)^p + (X+Y)^p + (x+Y)^p + (X+y)^p ≦ x^p + y^p + X^p + Y^p + (x+y+X+Y)^p,
for all non-negative real numbers x,y,X & Y.
f(z) = z^(p-1) は下に凸 → Jensenで
0120１３２人目の素数さん
2012/06/06(水) 15:45:29.03まったく分かりませんぬ
0121１３２人目の素数さん
2012/06/06(水) 22:28:20.20(x+Y)^p + (X+y)^p ≦ (x+y+X+Y)^p
これは分かるが、あとのゴミは何だ？
0122１３２人目の素数さん
2012/06/08(金) 23:28:34.07The inequality is my own. I proposed first the inequality in 2004.
0123１３２人目の素数さん
2012/06/08(金) 23:35:22.280124１３２人目の素数さん
2012/06/08(金) 23:45:23.46, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0126１３２人目の素数さん
2012/06/09(土) 01:23:32.45一体どうしたんだ？
0127１３２人目の素数さん
2012/06/09(土) 02:02:16.26f(x+y) ≦ {xf(x) + yf(y)}/(x+y) より、 (x+y)^p ≦ x^p + y^p
f(y+z) ≦ {yf(y) + zf(z)}/(y+z) より、 (y+z)^p ≦ y^p + z^p
f(z+w) ≦ {zf(z) + wf(w)}/(z+w) より、(z+w)^p ≦ z^p + w^p
f(w+x) ≦ {wf(w) + xf(x)}/(w+x) より、(w+x)^p ≦ w^p + x^p
∴ (x+y)^p + (y+z)^p + (z+w)^p + (w+x)^p ≦ 2(x^p + y^p + z^p + w^p)
ｳﾜｧｧ!!
(>'A`)>
( ヘヘ
0128prime_132
2012/06/09(土) 11:43:43.03(x+y)f(x+y) + (X+Y)f(X+Y) + (x+Y)f(x+Y) + (X+y)f(X+y) ≦ xf(x) + yf(y) + Xf(X) + Yf(Y) + (x+y+X+Y)f(x+y+X+Y)
そこで x,y,X,Y の係数を取り出すと････
0129１３２人目の素数さん
2012/06/09(土) 17:40:29.00右辺の ｆ は５つなのに、左辺は４つあるから使い方が分からん
0130１３２人目の素数さん
2012/06/09(土) 18:01:41.11..::::::,､_,､::: ::::: ::: :
/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: ::::
─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─
0131prime_132
2012/06/09(土) 18:31:41.32xの係数： f(x+y) + f(x+Y) ≦ f(x) + f(x+y+X+Y),
一方、Jensenから
f(x+y) + f(x+Y) ≦ f(x) + f(x+y+Y), etc.
0132１３２人目の素数さん
2012/06/10(日) 00:35:32.95> 一方、Jensenから
> f(x+y) + f(x+Y) ≦ f(x) + f(x+y+Y), etc.
どうやったらJensenの不等式から出てくるのか分かりませんぬ
|
| ('A`)
／￣ﾉ( ﾍﾍ￣￣
0133prime_132
2012/06/10(日) 12:06:19.20fは下に凸、y>0, Y>0 より
f(x+y) ≦ {Y･f(x) + y･f(x+y+Y)}/(y+Y),
f(x+Y) ≦ {y･f(x) + Y･f(x+y+Y)}/(y+Y),
辺々たす。
0134１３２人目の素数さん
2012/06/12(火) 08:58:54.11, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0135１３２人目の素数さん
2012/06/13(水) 13:46:49.67スゴ杉！ 自力では絶対に気づかない罠
x、y、z、wで計算していたので、直すのが面倒なので、そのまま書くと
f(w+x) + f(x+y) ≦ f(x) + f(w+x+y) …①
f(x+y) + f(y+z) ≦ f(y) + f(x+y+z) …②
f(y+z) + f(z+w) ≦ f(z) + f(y+z+w) …③
f(z+w) + f(w+x) ≦ f(w) + f(z+w+x) …④
①×x ＋ ②×y ＋ ③×z ＋ ④×w より、
(x+y)f(x+y) + (y+z)f(y+z) + (z+w)f(z+w) + (w+x)f(w+x)
≦ xf(x) + yf(y) +zf(z) +wf(w) + xf(w+x+y) + yf(x+y+z) + zf(y+z+w) + wf(z+w+x)
示したい右辺は
≦ xf(x) + yf(y) +zf(z) +wf(w) + (x+y+z+w)f(x+y+z+w)
なので、次式が成り立てば解決なのか…
xf(w+x+y) + yf(x+y+z) + zf(y+z+w) + wf(z+w+x) ≦ (x+y+z+w)f(x+y+z+w)
ぬ～ん…
／⌒ヽ
／⌒ ・ ＞
E￣Ｕ) ε |
E￣∩) ・ ＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛
0136１３２人目の素数さん
2012/06/13(水) 22:09:17.840137１３２人目の素数さん
2012/06/13(水) 22:16:56.48あやしい
0138１３２人目の素数さん
2012/06/14(木) 00:03:53.21, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0139１３２人目の素数さん
2012/06/16(土) 05:30:59.85降参でござる
0140１３２人目の素数さん
2012/06/16(土) 05:35:04.95, / / , / ,
/ '＾ﾒ-' ─/- ､ / ,
∠ｒ _,゛_ / , ヽ/__/ ﾓｳ ﾀﾞﾒﾀﾞ…
''ヽ'_･.ノ｀ ' ｒ/、 ﾍ /‐’
./ " j 厂ﾞj | ﾚ_｀> j__ /
' .:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’
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0141prime_132
2012/06/16(土) 12:10:49.03fが下に凸だから、線分
(x, f(x)) ー (x+y+Y, f(x+y+Y))
は線分
(x+y, f(x+y)) ー (x+Y, f(x+Y))
の上側にある。
線分の中点のx座標はいずれも x+(y+Y)/2 なので、y座標を比べる。
定義から、fは単調増加....
0143１３２人目の素数さん
2012/06/16(土) 15:44:24.68それを比べて出てくるのは、{f(x+y)+f(x+y)}/2 < {f(x)+f(x+y+Y)}/2 より
f(x+y) + f(x+y) < f(x) + f(x+y+Y)
>>135より何も進展しない
0145１３２人目の素数さん
2012/06/16(土) 23:51:33.05なるほど、そうですね
最終的に ≦ じゃなくて ＜ になるけど、元の不等式に等号成立条件はないのですか？
0147１３２人目の素数さん
2012/06/17(日) 10:13:48.040148１３２人目の素数さん
2012/06/17(日) 23:10:46.41お手上げ侍
>>147
ヽ|/
／￣￣￣｀ヽ、
/ ≧ ヽ
/ ＼,, ,,／ |
| （●） （●）||| |
| /￣⌒￣ヽ U.| ・・・・・･･･ｺﾞｸﾘ。
| | .ｌ~￣~ヽ | |
|U ヽ ￣~￣ ﾉ |
| ￣￣￣ |
0149１３２人目の素数さん
2012/06/20(水) 22:21:44.81難しくねえ?
0150１３２人目の素数さん
2012/06/20(水) 22:23:17.51, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0151１３２人目の素数さん
2012/06/23(土) 16:41:14.49正の数 a、b、c、d に対して
A(a、b、c、d)
≧ G(A(a、b、c)、A(b、c、d)、A(c、d、a)、A(d、a、b))
≧ G(A(a、b)、A(a、c)、A(a、d)、A(b、c)、A(b、d)、A(c、d))
≧ G(a、b、c、d)
0152１３２人目の素数さん
2012/06/23(土) 16:44:53.16∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ おっきしました
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
0153１３２人目の素数さん
2012/06/23(土) 18:32:42.02類題が過去スレにあったようなハロゲンガス
ちょっと探してみる
┌──────────────────────―─┐
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｜ （ ；´∀｀） ｜
｜ 人 Y / .｜
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│ Now Bokkiing. ... ｜
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│ しばらくちんちん勃ててお待ちください。 ..｜
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0154１３２人目の素数さん
2012/06/23(土) 19:08:50.74A（a,b,c,d）
= A（A(a,b,c)、A(b,c,d)、A(c,d,a)、A(d,a,b)）
≧ G（A(a,b,c)、A(b,c,d)、A(c,d,a)、A(d,a,b)）
= G（A(A(a,b),A(b,c),A(a,c)) 、A(A(b,c),A(b,d),A(b,d))、A(A(a,c),A(a,d),A(c,d))、A(A(a,b),A(a,d),A(b,d))）
≧ G（G(A(a,b),A(b,c),A(a,c)) 、G(A(b,c),A(b,d),A(b,d))、G(A(a,c),A(a,d),A(c,d))、G(A(a,b),A(a,d),A(b,d))）
= G（A(a,b)、A(a,c)、A(a,d)、A(b,c)、A(b,d)、A(c,d)）
≧ G（G(a,b)、G(a,c)、G(a,d)、G(b,c)、G(b,d)、G(c,d)）
= G（a,b,c,d）
0155１３２人目の素数さん
2012/06/23(土) 20:07:51.38この不等式はサービスだから、まずは証明して落ち着いてほしい
\sqrt{A(a^2、b^2、c^2、d^2)}
≧ A(a、b、c、d)
≧ ★
≧ G(a、b、c、d)
ここで ★には、次の (1) または (2) が入るが、(1) と (2) の間に大小は定まらなかったと思う
(1) \sqrt{A(ab、bc、cd、da)}
(2) \sqrt{A(ab、ac、ad、bc、bd、cd)} ≧ \sqrt[3]{A(abc、bcd、cda、dab)}
>>151は、★に (3) が入ったものだが、(1)、(2)、(3) の式のどれかに大小はつくのだろうか？
(3) G(A(a、b、c)、A(b、c、d)、A(c、d、a)、A(d、a、b)) ≧ G(A(a、b)、A(a、c)、A(a、d)、A(b、c)、A(b、d)、A(c、d))
ヽ(`Д´)ノ ﾎﾞｯｷｱｹﾞｽﾊﾟｲﾗﾙ！
ヽ`Д´)
(ヽ`Д)
( ヽ`)
( ヽ
ヽ( )ノ
ヽ )
(ヽ )
(´ヽ )
(Д´ヽ
ヽ(`Д´)ノ
0156１３２人目の素数さん
2012/06/23(土) 20:18:56.70Now Bokkiing している間に片付けられてしまうとは…
0157１３２人目の素数さん
2012/06/23(土) 23:29:51.75お待ちしておりますた。。。？？
A(a,b,c,d) = A（A(a,c)、A(b,d)）
≧ G（A(a,c)、A(b,d)） = (1)
≧ G（G(a,c)、G(b,d)）
= G（a,b,c,d）
0158１３２人目の素数さん
2012/06/23(土) 23:51:12.78今月の学コンの問題じゃん
0159１３２人目の素数さん
2012/06/24(日) 00:07:29.590160１３２人目の素数さん
2012/06/27(水) 21:25:03.16! | | | ! | ｜ | | ! |
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0161１３２人目の素数さん
2012/06/27(水) 22:38:04.33これに比べて、160は簡単です。
0162１３２人目の素数さん
2012/06/27(水) 23:55:46.680163１３２人目の素数さん
2012/06/28(木) 01:05:27.44, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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0164１３２人目の素数さん
2012/06/28(木) 01:17:54.870165１３２人目の素数さん
2012/06/28(木) 01:23:08.33おっ？
どんなやつですか？
0166１３２人目の素数さん
2012/06/28(木) 01:27:11.790168１３２人目の素数さん
2012/06/28(木) 01:38:21.190169１３２人目の素数さん
2012/06/28(木) 03:24:12.52名前ないのかな(´・ω・｀)しょぼーんかな。
0170１３２人目の素数さん
2012/06/28(木) 03:26:05.02f(x) = x^r とおくと
f "(x) = r(r-1)x^(r-2),
r<0 または r>1 のとき y=f(x) は下に凸
a^r + b^r + c^r ≧ 3{(a+b+c)/3}^r,
0<r<1 のとき y=f(x) は上に凸
a^r + b^r + c^r ≦ 3{(a+b+c)/3}^r,
等号成立は a=b=c
>>161 成程｡｡｡
0171１３２人目の素数さん
2012/06/28(木) 16:28:26.460172１３２人目の素数さん
2012/06/29(金) 21:06:35.95, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0173１３２人目の素数さん
2012/06/29(金) 21:43:56.65「ウ☆ディ☆タ」とは？
・完全無料のゲーム作成ツールです。
・ツクールでは物足りないけどプログラミングは苦手という方にお勧め。
・作成したゲームは自由に配布したり、コンテストに投稿することも可能。
・他人が作成した「コモンイベント」を利用すれば、自分では開発が難しい
システムも容易に実現できます。
0174１３２人目の素数さん
2012/06/29(金) 22:20:57.11問 題 ： 0 < a、b、c < 1 のとき、a + b + c < abc + 2 を証明せよ
0175１３２人目の素数さん
2012/06/29(金) 22:30:06.05, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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0176１３２人目の素数さん
2012/06/30(土) 01:28:56.962-a-b-c+abc = 2(1-a-b-c+ab+bc+ca-abc) + a(1-b-c+bc) + b(1-c-a+ca) + c(1-a-b+ab)
= 2(1-a)(1-b)(1-c) + a(1-b)(1-c) + (1-a)b(1-c) + (1-a)(1-b)c,
0177１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 05:22:05.64問 題 ： 正の数 a、b、c、d が a+b+c+d=1 をみたすとき、m の最大値は？
1/(a+2b+3c) + 1/(b+2c+3d) + 1/(c+2d+3a) + 1/(d+2a+3b) ≧ m
0178１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 05:25:54.71ミジンコを魚（捕食者）といっしょに同じ水槽に入れると 頭がだんだんとんがってくるとか…
0179１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 14:13:17.110180１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 14:17:18.591/a+1/b+1/c+1/d+9/a+b+c+d>= 25/4
0181１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 15:09:01.87, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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0182１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 18:18:42.54相加･調和平均 or コーシーで
(左辺) ≧ (4^2)/{(a+2b+3c)+(b+2c+3d)+(c+2d+3a)+(d+2a+3b)}
= (4^2)/{6(a+b+c+d)},
b d q ← ミジンコの寒風干し
0183１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 18:21:57.07中国女子数学オリンピック(CGMO)の問題 第10回(2011)
f(a, b, c, d) = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d),
とおく。
ab<2 ⇒ f(a, b, c, d) ≧ f(√{ab}, √{ab}, c, d)
これから結局、
F(A) = f(A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ≧ 25/４, (A≧1)
に帰着する。
A^4 + 3 = (1/3)A^4 + (1/3)A^4 + (1/3)A^4 + 3
≧ (4/√3)A^3 (← 相加･相乗平均)
> (9/4)A^3,
F(A) - 25/4 = {(1/A^3) +3A -4} + (9/4){4A/(A^4 +3) -1}
= (A-1)^2･(3A^2 +2A+1)/A^3 - (9/4)(A-1)^2･(A^2 +2A+3)/(A^4 +3)
> (A-1)^2･{(3A^2 +2A+1) - (A^2 +2A+3)}/A^3
= (A-1)^2･2(A^2 -1)/A^3
≧ 0, (A≧1)
（参考）
[前スレ.498] [前スレ.508,511-513]
casphy - 高校数学 - 不等式 - 673
http://www.imojp.org/
http://www.imojp.org/challenge/index.html 過去の問題集
0184１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 18:55:35.39f(a, b, c, d) ≧ f(√{ab}, √{ab}, c, d)
0185１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 18:56:17.36, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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0186１３２人目の素数さん
2012/07/01(日) 19:06:02.040187１３２人目の素数さん
2012/07/02(月) 10:28:16.90ROMの分際で抜かすな
0188１３２人目の素数さん
2012/07/02(月) 23:04:25.400<x<1のとき、{1+(x/m^2)}^m , {1+(x/n^2)}^nの大小を定めよ。
0189１３２人目の素数さん
2012/07/03(火) 02:29:57.08a, b, c>0, a+b+c=1のとき, sum_{cyc} sqrt{(1/a)+45-46a} の最小値
0190１３２人目の素数さん
2012/07/03(火) 09:22:43.65, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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0191１３２人目の素数さん
2012/07/03(火) 12:43:38.080192１３２人目の素数さん
2012/07/03(火) 22:18:22.99, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0193１３２人目の素数さん
2012/07/04(水) 11:08:05.68ｓレッドをたててくれませんか？見ていて不愉快です。
0194１３２人目の素数さん
2012/07/04(水) 11:17:21.20, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0195１３２人目の素数さん
2012/07/04(水) 21:06:31.52何処かの大学の過去問です
ネットで探しても答えは出てきませんでした
(1)
1以上の実数aと0以上の実数x,cに対して
不等式(x+c)^a>=x^a+c^aを示せ
(2)
1以上の実数aと0以上の実数x1x2x3.....xnに対して
不等式(x1+x2+......xn)^a>=x1^a+x2^a....xn^aを示せ
(3)
正の整数pqがp>=qを満たす時0以上の実数x1x2x3.....xnに対して
(x1^q+x2^q.....xn^q)^p>=(x1^p+x2^p.......)^q
を示せ
お願いします
0196１３２人目の素数さん
2012/07/04(水) 22:45:09.51(1)
f(x) = x^a は下に凸だから、
{c･f(0) + x･f(x+c)}/(x+c) ≧ f(x),
{x･f(0) + c･f(x+c)}/(x+c) ≧ f(c),
辺々たすと
f(0) + f(x+c) ≧ f(x) + f(c),
0197１３２人目の素数さん
2012/07/04(水) 23:09:19.48ありがとうございます
(1)使えば2出来るのはわかりました
(3)がさっぱりです
0198１３２人目の素数さん
2012/07/04(水) 23:28:48.90p/q = a, xk^q = yk とおく。
0199１３２人目の素数さん
2012/07/06(金) 03:27:18.12最小値：17.1412604723691
a = 0.19140424903813
b = 0.19140424903813
c = 0.61719150192374
のとき。
0200１３２人目の素数さん
2012/07/06(金) 03:56:30.26恐れながら大佐、凡人にも理解できるように経過を辿って解説をお願いしたいと思います
0201１３２人目の素数さん
2012/07/06(金) 22:44:25.080202１３２人目の素数さん
2012/07/07(土) 04:30:29.70xyz=1 だから、いつものように x=b/c, y=c/a, z=a/b (a,b,c>0)とおく。
D = (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc ≧ 8abc,
{(左辺) - (3/4)}･D^2
= {(a+b)b(c+a)}^2 + {(a+b)(b+c)c}^2 + {a(b+c)(c+a)}^2 - (3/4)D^2
= (1/4)D(D-8abc) + (AAB+BBC+CCA-3ABC)
≧ 0,
ここに、A=a^2, B=b^2, C=c^2, D=(a+b)(b+c)(c+a)
0203１３２人目の素数さん
2012/07/07(土) 04:56:34.45{x/(1+x)}^2 = X, {y/(1+y)}^2 = Y, {z/(1+z)}^2 = Z とおく。
これらは x, y, z と同順序である。
r≧0 のとき、チェビシェフにより
(x^r)X + (y^r)Y + (z^r)Z ≧ (1/3)(x^r + y^r + z^r)(X+Y+Z)
≧ (xyz)^(r/3)･(X＋Y＋Z) (← 相加･相乗平均)
= X+Y+Z, (← xyz=1)
= （>>11 の左辺）
0204１３２人目の素数さん
2012/07/07(土) 06:25:13.10(^⌒⌒^)
| i i i i i| 不等式、証明するよ！
| i i i i i|
(；`・ω・)っ-O･ﾟ･⌒)
/ つ━ゝ,.__ﾟ____.,ノ))
_l从从从从l_
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
パフヌーティー・リヴォーヴィッチ・チェビシェフ
[Pafnuty Lvovich Chebyshev]
(1821～1894 露)
0205１３２人目の素数さん
2012/07/07(土) 06:38:18.37xyz=1 だから、例によって x=b/c, y=c/a, z=a/b とおく。
D ’= (a+b)(b+c)(c+a)abc = {(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}abc,
{(左辺) - (3/2)}･D '
= (ab+bc+ca)^3 -(7/2)(a+b+c)(ab+bc+ca)abc +(9/2)(abc)^2 +(ABB+BCC+CAA-3ABC)
= (1/2)(ab+bc+ca)abc･Ｆ_{-1}(a,b,c) + (1/2)(abc)^2･Ｆ_{-2}(a,b,c) + (ABB+BCC+CAA-3ABC)
≧ 0,
ここで Schur's を使った。
Ｆ_{-1}(a,b,c) = {(ab+bc+ca)^2 -3(a+b+c)abc}/(abc) ≧ 0,
Ｆ_{-2}(a,b,c) = {(ab+bc+ca)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca)abc +9(abc)^2}/(abc)^2 ≧ 0,
0206１３２人目の素数さん
2012/07/07(土) 18:11:00.79n-m=1 の場合
{1+(x/m^2)} / {1+(x/n^2)} = 1 + (1/m^2 - 1/n^2)x/[1+(x/n^2)],
[{1+(x/m^2)}/{1+(x/n^2)}]^m > 1 + m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1 + (x/n^2),
ところで n-m=1, x<n^2 から
m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1/n^2,
[{1+(x/m^2)}/{1+(x/n^2)}]^m > 1 + m(1/m^2 -1/n^2)/[1+(x/n^2)] > 1 + (x/n^2),
よって、{1+(x/m^2)}^m > {1+(x/n^2)}^n, (n-m=1)
0207１３２人目の素数さん
2012/07/07(土) 18:29:06.29不等式素人だから教えてほしいんだけれど、
「xyz=1 だから、例によって x=b/c, y=c/a, z=a/b とおく。」ていうのって一つのセオリーみたいなものなの？
0208205
2012/07/07(土) 19:27:00.02小生も不等式は素人なので分かりませんが、「小手技」はあるみたいです。
http://izumi-math.jp/kotewaza/index_j.html
0209１３２人目の素数さん
2012/07/12(木) 13:03:29.14Prove that :
(a_2+1)^2(a_3+1)^3・・・(a_n+1)^n≧ n^{n}.
0210１３２人目の素数さん
2012/07/13(金) 06:45:49.30{x^k, 1, 1, ･･･, 1} の相加･相乗平均は
k-1 個
x^k -kx +(k-1) = (x-1){x^(k-1) +x^(k-2) + ･･･ +x -(k-1)}
= Σ[L=1,k-1] (x-1)(x^L - 1)
≧ 0, (x>-1)
x = {(k-1)/k}(a_k + 1) とおくと、
(a_k + 1)^k ≧ {(k^k)/(k-1)^(k-1)}a_k,
k=2～n について掛ける。
∧＿∧
( ;´∀｀)
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
0211１３２人目の素数さん
2012/07/14(土) 02:20:31.810212１３２人目の素数さん
2012/07/14(土) 04:49:50.49ラグランジュの未定乗数法で極小をさがす。
a_k = λ/(k-λ), (k=2,･･･,n)
(与式) = Π[k=2,n] {k/(k-λ)}^k,
・n=3 のとき、
λ = 6/5, a_2 = 3/2, a_3 = 2/3,
(与式) ≧ 3125/108 = 28.935185･････ > 27 = 3^3
・n=4 のとき
a_k = λ/(k-λ),
λ = {9 + [6*SQRT(11901)-81]^(1/3) - [6*SQRT(11901)+81]^(1/3)}/6
= 1.3802745863984086
(与式) ≧ 359.6812734317 > 256 = 4^4
0213１３２人目の素数さん
2012/07/14(土) 22:09:42.38(3) r＝p/q≧1, y1＝x1^q, y2＝x2^q,…≧0 として
(y1＋y2＋…)^r≧y1^r＋y2^r＋… を示す。
y1＋y2＋…＝1 の制約条件で y1^r＋y2^r＋… の最大値を求める問題にすると
ラグランジュの未定乗数法で
L＝y1^r＋y2^r＋…－λ(y1＋y2＋…－1) の最大は
∂L/∂y1＝r y1^(r－1)－λ＝0 ∴ y1^(r－1)＝y2^(r－1)＝…＝λ/r
∴ y1＝y2＝…＝1/n
y1^r＋y2^r＋…＝n(1/n)^r＝1/n^(r－1)≦1＝1^r＝(y1＋y2＋…)^r
0214１３２人目の素数さん
2012/07/15(日) 07:27:49.85L = Σ[k=2,n] {k･log(a_k + 1) - λ･log(a_k)},
∂L/∂a_k = k/(a_k + 1) - λ/(a_k) = 0 より
a_k = λ/(k-λ),
(2-λ)(3-λ)･････(n-λ) = λ^(n-1), ････ 決定方程式
・n=5 のとき
(2-λ)(3-λ)(4-λ)(5-λ) = λ^4,
λ = {71 + [(42√1749261)-13411]^(1/3) - [(42√1749261)+13411]^(1/3)｝/42
= 1.54263254839049
(左辺) = 7407.43642129488 > 3125 = 5^5,
n→∞ のとき、λ→2
0215１３２人目の素数さん
2012/07/15(日) 09:52:13.07決定方程式（特性方程式）
・n=3 のとき
λ^2 -(λ-2)(λ-3) = 5λ - 6,
・n=4 のとき
λ^3 +(λ-2)(λ-3)(λ-4)
= 2λ^3 -9λ^2 +26λ -24
= {(2λ-3)^3 + 25(2λ-3) + 6}/4,
・n=5 のとき
λ^4 - (λ-2)(λ-3)(λ-4)(λ-5)
= 14λ^3 -71λ^2 +154λ -120
= {(42λ-71)^3 + 4281(42λ-71) + 26822} / 5292,
0216馬鹿を焼く描写 ◆ghclfYsc82
2012/07/16(月) 20:08:35.85なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。
描
>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>
0217１３２人目の素数さん
2012/07/16(月) 23:08:14.39a,b は次の根。
1557376x^7 -3114752x^6 +2369920x^5 -838304x^4 +132066x^3 -7273x^2 +466x -94 = 0
0218１３２人目の素数さん
2012/07/17(火) 07:14:06.11＿| ::|＿
￣| ::|／| ┌──┐
| ::| | .┌──┐| ∧＿∧ いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿| |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
|文| | | ∧＿∧（ ）⊂ ）
|￣| | | （ ）⊂ ） （＿Ο Ο :::
| ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
0219１３２人目の素数さん
2012/07/18(水) 07:24:50.64a,b,c>0, a+b+c=s のとき、
(a+b)^2/{(a+b)s/3+c^2} + (b+c)^2/{(b+c)s/3+a^2} + (c+a)^2/{(c+a)s/3+b^2} ≧ 2*2,
(略証)
{(a+b)s/3 + c^2} + {(b+c)s/3 + a^2} + {(c+a)s/3 + b^2}
= {(s-c)s/3 + c^2} + {(s-a)s/3 + a^2} + {(s-b)s/3 + b^2}
= s^2 + {(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2
≧ s^2,
これとコーシーで････
0220１３２人目の素数さん
2012/07/18(水) 17:32:45.070221219
2012/07/19(木) 03:59:41.48････では上手く行かない .... orz
そこで、方針を変えて、
a+b+cc ≦ (a+b)(a+b+c)/3 + cc ≦ (5aa+5bb+8cc)/6 = (5S+3cc)/6,
(aa+bb)/(a+b+cc) ≧ 6(S-cc)/(5S+3cc)
= (10/9) -(4/3S)cc + 4(cc -S/3)^2／{S(5S+3cc)}
≧ (10/9) -(4/3S)cc,
ここに S = aa + bb + cc.
循環的にたすと、
(左辺) ≧ (10/3) - (4/3) = 2,
0222219
2012/07/19(木) 04:07:25.29つまり、6(1-x)/(5+3x) = f(x) は 下に凸なので
(左辺) ≧ f(aa/S) + f(bb/S) + f(cc/S)
≧ 3f((aa+bb+cc)/3S)
= 3f(1/3)
= 2,
0223１３２人目の素数さん
2012/07/22(日) 08:03:19.04(左辺)
= (a+b)^2／{(a+b)s/3 + c^2} + (b+c)^2／{(b+c)s/3 + a^2} + (c+a)^2／{(c+a)s/3 + b^2}
= 3(s-c)^2／(ss-cs+3cc) + 3(s-a)^2／(ss-as+3aa) + 3(s-b)^2／(ss-bs+3bb)
= g(c/s) + g(a/s) + g(b/s),
ここに、g(x) = 3(1-x)^2／(1-x+3xx) とおいた。
g(1/3) = 4/3, g(1/2) = 0.6
x=1/3 における接線:
g(x) - g(1/3) + (16/3)(x - 1/3) = (16x-1)(x - 1/3)^2／(1-x+3xx),
g(x) > (4/3) - (16/3)(x - 1/3), (x>1/16)
x=1/2 における接線:
g(x) - g(1/2) + 3.36(x - 1/2) = 1.44(7x+2)(x - 1/2)^2 > 0,
g(x) > 0.6 - 3.36(x - 1/2),
・a, b < s/16 < c のとき、
(左辺) > g(a/s) + g(b/s) > 2g(1/16) = 2(25/9) = 50/9,
・a < s/16 < b,c のとき、
g(a/s) > g(0) - (32/9)a/s = 3 - (32/9)a/s, (0<a/s<1/16)
g(b/s) + g(c/s) > 2g(1/2) - 3.36(b+c-s)/s = 1.2 + 3.36a/s
(左辺) > 4.2 - 0.2a/s > 4,
・s/16 < a,b,c のとき、
x=1/3 での接線の上側にあるから、
(左辺) = g(a/s) + g(b/s) + g(c/s) > 3g(1/3) = 4,
0224１３２人目の素数さん
2012/07/22(日) 17:46:02.52abc=1 だから、s=a+b+c≧3,
これと〔補題〕 >>219 から簡単に･･･
0225１３２人目の素数さん
2012/07/22(日) 20:51:27.140226１３２人目の素数さん
2012/07/22(日) 20:55:19.15簡単すぎてｽﾞｺｰ
∧∧
ヽ(･ω･)/
＼(.＼ ノ
､ﾊ,,､ ￣
￣
0227１３２人目の素数さん
2012/07/23(月) 07:00:48.542(4k^2 +6k +1)/(2k+2)! = 2{(2k+2)(2k+1) - 1}/(2k+2)! = 2/(2k)! - 2/(2k+2)!
k=1 to n についてたす。
∧＿∧
( ;´∀｀)
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
0228１３２人目の素数さん
2012/07/23(月) 21:35:33.21この程度でボッキするなら、以下の問題ならフルボッキが静まらないだろうな ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
(1) Σ[k=1 to n] k・k!
(2) Σ[k=0 to n-1] 2^k・tan(2^k・x)
0229１３２人目の素数さん
2012/07/25(水) 05:28:32.80簡単すぎる！
0230描者の品格 ◆ghclfYsc82
2012/07/25(水) 07:19:17.81>367 ：匿名希望：2012/07/23(月) 17:23:38.69
> >>365
> 頭悪いのはお前の方だろ？
> 「猫」という字を「描」に間違えやがってｗｗｗ
> 小学生並みの頭の悪さだぞ、お前！
> 焼かれるのはお前の方だろ？
> 外国では猫の丸焼きというゲテモノ料理もあるらしいぜｗｗｗ
>
0231１３２人目の素数さん
2012/07/25(水) 07:26:56.29(1) k･k! = (k+1)! - k!,
(2) tanθ = cotθ - 2cot(2θ),
2^k･tan(2^k･x) = 2^k･cot(2^k･x) - 2^(k+1)･cot{2^(k+1)･x},
0232描者の品格 ◆ghclfYsc82
2012/07/25(水) 07:28:21.70>367 ：匿名希望：2012/07/23(月) 17:23:38.69
> >>365
> 頭悪いのはお前の方だろ？
> 「猫」という字を「描」に間違えやがってｗｗｗ
> 小学生並みの頭の悪さだぞ、お前！
> 焼かれるのはお前の方だろ？
> 外国では猫の丸焼きというゲテモノ料理もあるらしいぜｗｗｗ
>
0233１３２人目の素数さん
2012/07/25(水) 21:20:35.79Σ[k=1 to n] (1/2^k)tan{x'/(2^k)} = (1/2^n)cot{x'/(2^n)} - cot(x'),
0234１３２人目の素数さん
2012/07/25(水) 21:34:55.76∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ してやられたわい
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
0235１３２人目の素数さん
2012/07/27(金) 01:55:51.450236１３２人目の素数さん
2012/07/27(金) 01:58:34.58ミスった ( 'A`)つ Σ[n=1 to ∞] arctan{1/(n^2+n+1)}
0237１３２人目の素数さん
2012/07/27(金) 02:01:47.710238１３２人目の素数さん
2012/07/27(金) 07:40:06.131/(n^2 +n+1) = {(1/n) - 1/(n+1)}／{1 +(1/n)(1/(n+1))},
arctan{1/(n^2 +n+1)} = arctan(1/n) - arctan{1/(n+1)},
あるいは
1/(n^2 +n+1) = {(n+1)-n}／{1+n(n+1)},
arctan{1/(n^2 +n+1)} = arctan(n+1) - arctan(n),
0239真描vs偽描 ◆ghclfYsc82
2012/07/27(金) 15:36:38.23>462 名前：１３２人目の素数さん ：2012/07/26(木) 23:54:17.40
> >>461
> 専門学校生が
> 「あらやだイケメンに触られて気持ちいい」
> って思ってたら通報されなかっただろうに
> 気持ち悪いおじさんになるために努力を積み重ねてきた結果
> 「キモ顔のおじさんが、気持ち悪く触ってきて超キモい」
> って思わせることに成功し逮捕されたんだよね
> 努力を実らせた立派な人だと思う
>
>
> 努力して痴漢で逮捕される夢を叶えた描者さんはただ者じゃないと思います
> すばらしい
>
0240１３２人目の素数さん
2012/07/27(金) 15:37:15.81p+q+r + √{(p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp)} ≦ a+b+c + √{(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)}
は成り立つですか？
0241真描vs偽描 ◆ghclfYsc82
2012/07/27(金) 18:08:21.12なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。
描
>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>
0242１３２人目の素数さん
2012/07/28(土) 10:47:41.16p≦a, q=b, r=c のとき、
(右辺) - (左辺) = a +√{(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)} -p -√{(p+b+c)^2 -3(pb+bc+cp)}
= (a-p) + (a-p){a+p-(b+c)}/[ √{(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)} + √{(p+b+c)^2 -3(pb+bc+cp)} ]
= (a-p)(1+δ)
≧ 0,
∵ |δ| = |a+p-(b+c)| ／ [ √{(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca)} + √{(p+b+c)^2 -3(pb+bc+cp)} ]
≦ |a+p-(b+c)| ／ [ |a-(b+c)/2| + |p-(b+c)/2| ]
≦ 1,
* (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = |a-(b+c)/2|^2 + (3/4)(b-c)^2 ≧ |a-(b+c)/2|^2,
(p+b+c)^2 - 3(pb+bc+cp) = |p-(b+c)/2|^2 + (3/4)(b-c)^2 ≧ |p-(b+c)/2|^2,
0243描は偽猫 ◆ghclfYsc82
2012/07/30(月) 11:54:37.96★★★『この国からはマトモな人が誰も出て来ない。国家が傾くだけ。』★★★
ですよね。その結果としてこの国は馬鹿で溢れ返ってしまうんですよね。
たとえ有能な者であっても、自分が努力をして上昇スルよりも、サボっ
て自分が馬鹿になって他人の足を引っ張った方が周囲の理解も得られ易
いし、加えてその方が楽ですからね。だから誰も向上心を持つ事に価値
を見出せない。でもその結果があの国会ですよ、あの国会ね。まあ：
★★★『向上心を持って努力する人を皆で潰す国家に明るい未来なんて有り得ない』★★★
なんですけどね。こうやって国家が滅んで行くんですワ。そして『ソレ
で良し』とするのがその考え方でしょ。まあ沈むのは貴方なんだから、
まあ勝手にしたらエエんだけどサ。こんな嫉妬を正当化スル考え方しか
出来ないから、例えばジョッブスみたいな人材が出ないんですよね、こ
の国からはサ。あの天才ジョッブスでさえ、周囲の馬鹿ゾンビから足を
引っ張られたら、あんな凄い歴史的な実績は残せなかったでしょうナ。
まあ日本にはイノベーションは必要無いから、ソレこそ『同じ穴の狢』
という言い方で、皆で協力して国家を崩壊に導いてるんですよね。
そう、貴方が国家を潰してるんだよ。でもどうぞお好きに潰しなさいな。
私にはもう関係が無いのでね。馬鹿の国だよ、この国は。どうぞ貴方が
国会議員にでもなって、この国の息の根を止めて下さいな。サッサと国
が崩壊したら、皆が一瞬で楽になるヨ。
描
>有能であれば、その卑劣な行為を回避すればいい
>足を引っ張られるのであれば、それは要領がない証拠
>それは有能ではなく無能者である
>
>同じ穴の狢
>
0244１３２人目の素数さん
2012/07/31(火) 21:56:57.49誰か教えてください！おねがいします
0245描は無能 ◆ghclfYsc82
2012/07/31(火) 21:58:09.94徹底的に焼き払ったるヨ。そやし思いっきり苦しんで耐え忍べや。まあ
『アンタ等は自業自得』っちゅう事やろうナ。執拗な妨害行為が今後も
何年にも亘って延々と続くんを覚悟をスルっちゅう事やろうナ。
ワシはやナ、オマエ等みたいなド馬鹿に謝って欲しいんでも反省して欲
しいんでも何でもナイのや。唯単に崩壊して消えて欲しいだけなんだヨ。
そやからこうやって徹底抗戦をしてや、アンタ等みたいな馬鹿を傷め付
けてるだけなんやワ。そやし早よ諦めろや。
因みにもし「優秀な人の足を引っ張っても良い」のであれば：
★★★『馬鹿の足を思いっきり引っ張っても、ソレは当然の事ながら許される。』★★★
という事にナリマスわナ。
描
>664 名前：１３２人目の素数さん ：2012/07/30(月) 22:05:57.48
> 猫頼むから消えてくれ
>
0246１３２人目の素数さん
2012/08/01(水) 00:20:53.85f は3回微分可能で f ''' >0 とする。
f(S) - f(S-A) - f(S-B) + f(S-A-B) = g(S) - g(S-B)
= B･g '(S-Bθ) (←平均値の定理)
= B{f '(S-Bθ) - f '(S-A-Bθ)}
= AB f "(S-Aφ-Bθ) (←平均値の定理)
= AB f "(ξ), (*)
ここに min{S,S-A,S-B,S-A-B} ≦ ξ ≦ MAX{S,S-A,S-B,S-A-B}
(右辺) - (左辺) = f(x^2 +y^2 +z^2) + 2f(xy+yz+zx) - f(x^2 +2yz) - f(y^2 +2zx) - f(z^2 +2xy)
= f(x^2 +y^2 +z^2) - f(x^2 +2yz) - f(z^2 +2xy) + f((2x-y+2z)y)
- {f((2x-y+2z)y) - 2f(xy+yz+zx) + f(y^2 +2zx)}
= (δ^2)f "(ξ1) - (δ^2)f "(ξ2) (← *)
= (δ^2)(ξ1 - ξ2)f '''(η) (← 平均値の定理)
≧ 0, (← ξ1-ξ2≧0, f '''≧0)
ここで、δ=(x-y)(y-z), ξ1 ≧ (2x-y+2z)y,
y は xとzの中間にあるとしても一般性を失なわないから、ξ2 ≦ (2x-y+2z)y,
∴ ξ1-ξ2 ≧ 0,
0247描もマルチ ◆ghclfYsc82
2012/08/01(水) 04:09:35.41徹底的に焼き払ったるヨ。そやし思いっきり苦しんで耐え忍べや。まあ
『アンタ等は自業自得』っちゅう事やろうナ。執拗な妨害行為が今後も
何年にも亘って延々と続くんを覚悟をスルっちゅう事やろうナ。
ワシはやナ、オマエ等みたいなド馬鹿に謝って欲しいんでも反省して欲
しいんでも何でもナイのや。唯単に崩壊して消えて欲しいだけなんだヨ。
そやからこうやって徹底抗戦をしてや、アンタ等みたいな馬鹿を傷め付
けてるだけなんやワ。そやし早よ諦めろや。
因みにもし「優秀な人の足を引っ張っても良い」のであれば：
★★★『馬鹿の足を思いっきり引っ張っても、ソレは当然の事ながら許される。』★★★
という事にナリマスわナ。
描
>664 名前：１３２人目の素数さん ：2012/07/30(月) 22:05:57.48
> 猫頼むから消えてくれ
>
0248１３２人目の素数さん
2012/08/01(水) 22:46:28.93fは2回微分可能で f " は単調増加
でもおk.
0249１３２人目の素数さん
2012/08/02(木) 12:20:03.961/(x^3+2) + 1/(y^3+2) + 1/(z^3+2) ≧ 1
が成り立つことを示せ
お願いします
0250１３２人目の素数さん
2012/08/03(金) 05:03:28.551/(x^3 +2) = (3-x^2)/6 + (1/6)(x+2){x(x-1)}^2 /(x^3 +2) ≧ (3-x^2)/6,
循環的にたす。
0251１３２人目の素数さん
2012/08/04(土) 01:44:13.12n 個の正の実数 x_1, x_2, ,, x_n が （x_1）^{n-1} + (x_2)^{n-1} + …+(x_n)^{n-1} = n を満たすとき、
1/( (x)^n+ n-1) + 1/((x_2)^n +n-1) + … + 1/( (x_n)^n + n-1) ≧ 1
が成り立つことを示せ。
0252１３２人目の素数さん
2012/08/04(土) 06:13:20.07n(n-1) - {n-x^(n-1)}(x^n +n -1) = x^(n-1) (x^n +n -1 -nx)
= x^(n-1) (x-1)^2 Σ[j=0,n-2] (n-1-j)x^j
≧ 0, (相加･相乗平均)
∴ 1/(x^n +n -1) ≧ {n-x^(n-1)} / {n(n-1)},
∴ (左辺) ≧ {n^2 - Σ[k=1,n] (x_k)^(n-1)} / {n(n-1)},
0253１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 06:21:11.68〔問題〕
正の実数a,b,cに対して、
a^3 + b^3 + c^3 + 6abc ≧ (a+b+c)^2･G,
ここに G = (abc)^(1/3),
（ｷｬｽﾌｨｰの解答）
基本対称式を
a+b+c = s,
ab+bc+ca = t,
abc = G^3,
とおく。
(左辺) = s(s^2 -3t) + 9G^3,
(左辺) - (右辺) = s^3 -3st + 9G^3 - Gs^2
= (3/4)(s^3 -4st +9G^3) + (1/4)(s^3 -4Gs^2 +9G^3)
= (3/4)F_1 + (1/4)(s-3G)(s^2 -Gs -3G^2)
≧ 0,
>>42 に従って Schur's (n=1) を使った。
F_1 = s^3 -4st +9G^3 ≧0,
また
s^2 -Gs -3G^2 = (s-3G)^2 + 5G(s-3G) + 3G^2 ≧ 0,
全然エレガントぢゃねぇ...
0254１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 16:34:29.63a,b,c,d >0 のとき
(a+b+c+d+2)(1/a+1/b+1/c+1/d +1/2) ≧ 9
を示せ。
0255１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 19:26:37.47そんな小細工するより、普通に c=1/ab を代入して 左辺ー右辺≧0 を示すのが一番簡単で早い。
0256１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 20:21:06.13右辺は25だな。
>>255
ではﾄﾞｿﾞｰ
0257１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 22:04:41.49シコって賢者タイムに入ってから考え直せ！
(*^дﾟ) シコッ☆
＿(ヽηﾉ＿
ヽヽ
0258１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 22:49:42.88なら >>136の解答を教えてください。
考えているができないのです。
0259１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 22:54:49.58出典を述べよ
0260１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 22:57:19.23出典って言ってても、 >>136じゃないから分からんよ。
0261１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 23:21:33.660262１３２人目の素数さん
2012/08/05(日) 23:32:11.56分からないんなら、そう言えばいいのに
0263１３２人目の素数さん
2012/08/06(月) 00:09:04.64> a^2+b^2+c^2+d^2=4 (a,b,c,d>0)→(a+b+c+d-2)(1/a+1/b+1/c+1/d +1/2) >=9
x= a/2, y =b/2, z= c/2, d=w/2 とおくと、
x^2 + y^2 + z^2 + x^2= 1 のとき、
(x+y+z+w-1)(1/x +1/y +1/z +1/x +1) ≧ 9
を示せばよい。
0264描は猫ですかね？ ◆ghclfYsc82
2012/08/07(火) 19:22:28.20>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>
0265１３２人目の素数さん
2012/08/07(火) 19:23:18.30, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0266１３２人目の素数さん
2012/08/07(火) 22:11:58.07分からないんなら、そう言えばいいのニダ
0267baka描 ◆ghclfYsc82
2012/08/08(水) 04:55:25.42>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>
0268255
2012/08/10(金) 01:52:30.38それでは･･･
f(a,b,c) = a^3 + b^3 +c^3 - (a+b+c)^2 とおく。
ab≧1≧c としても一般性を失わない。
√(ab) = γ とおくと、相加･相乗により a+b ≧ 2γ ≧ 2,
∴ {f(a, b, c) - f(γ, γ, c)}/(√a - √b)^2
= (a+b+γ)^2 -(√a + √b)^2 -2c
= (a+b-2)(a+b+2γ+1) +ab +2γ +2(1-c)
≧ 0,
となるので、a=b の場合を考えればよい。
f(a,a,1/a^2) = 2a^3 + 1/a^6 +6 -(2a + 1/a^2)^2
= (2a^9 -4a^8 +6a^6 -4a^5 -a^2 +1)/(a^6)
= (a-1)^2 (2a^7 -2a^5 +2a^4 +2a^3 +2a^2 +2a+1)/(a^6)
≧ 0,
エレガントでない事ぢゃあ引けをとらねぇ....
0270１３２人目の素数さん
2012/08/10(金) 02:18:16.570271１３２人目の素数さん
2012/08/10(金) 02:20:25.170272１３２人目の素数さん
2012/08/10(金) 22:14:11.36華麗なるキャスフィー、偉大なキャスフィー、
0273１３２人目の素数さん
2012/08/12(日) 23:30:21.46[一般化]
n 個の実数 x_k >0 が 農[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たすとき、
( 農[k:1->n] x_k - 1)( 農[k:1->n] 1/x_k + 1) ≧ n^2 -n √n -1
が成立することを示せ。
（n=4 のときが >>136）
0274baka描 ◆ghclfYsc82
2012/08/12(日) 23:31:42.41>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>
0275１３２人目の素数さん
2012/08/14(火) 22:44:33.49n=2 のときは
(x+y-1)(1/x + 1/y +1) = x+y + xy/{(1+x)(1+y)} + {1 - 1/[(1+x)(1+y)]}(xx+yy-1)/(xy)
= √(1+2xy) + xy/{(1+x)(1+y)} (←題意)
> 1
で簡単だが....
〔例〕
x_1 = √{1-(n-1)ε^2}, x_2 = ･･･ = x_n = ε,
ε→0 とすると (左辺) → (n-1)^2.
0276１３２人目の素数さん
2012/08/15(水) 18:52:01.24右辺を以下の様にするとどうでしょう？
n=4の時は >>136と一致します。
【改題】
[一般化]
n 個の実数 x_k >0 が 農[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たすとき、
( 農[k:1->n] x_k - 1)( 農[k:1->n] 1/x_k + 1) ≧ (n-1)^2
を示せ。
0277１３２人目の素数さん
2012/08/16(木) 02:02:41.44n≧4 では >>273
ただし右辺は n^2 -(n-1)√n -1, 等号成立は x_k = 1/√n
n≦4 では >>276
かな？
0278１３２人目の素数さん
2012/08/16(木) 02:45:44.53証明が出来ないorz
是非、解答をお願いします。
（n の値で不等式が変わるのは面白いですね）
0279１３２人目の素数さん
2012/08/18(土) 00:54:14.61ぬ～ん…
／⌒ヽ
／⌒ ・ ＞
E￣Ｕ) ε |
E￣∩) ・ ＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛
0280１３２人目の素数さん
2012/08/19(日) 04:23:18.17, / ,
, / / , / ,
/ '＾ﾒ-' ─/- ､ / ,
∠ｒ _,゛_ / , ヽ/__/ ﾓｳ ﾀﾞﾒﾀﾞ…
''ヽ'_･.ノ｀ ' ｒ/、 ﾍ /‐’
./ " j 厂ﾞj | ﾚ_｀> j__ /
' .:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’
0281１３２人目の素数さん
2012/08/21(火) 15:39:09.64/ / ∧. l ＼ ヽ
,' / !. / ', l ヽ ', /
! l l. / ', lヽ､＿__',. } / ＼
| l | / ＿_ノﾍ /ﾘ! ｌ | ￣￣￣ヽ
| | l￣ ', // ＿ ｌ |
j l l ＿ Ｖ 〃￣ ` !〉 l/ │ │
. V 〉､ ! ／´￣｀ l∧! │ │
!{ _＼ l j ノ
l ゝ __ ヽl ＿＿_ /l ＿＿
! ＞. 丶＿_ノ ｲ l /＿_/ ヽヽ
l ｀＞ ､ ＿_ . ＜ | /
| ﾘ丶＿___r‐'＜／）＿j_ /
| ＿/_: : : : : :: ＞' ／｀ー ､＼
| ＞'´ ..ィ: ＼_: :／-､／}＞ｧ'´ ＼', ─┼─
r＜_. ＜: : : : : :.／ ヽ Y i ／ ＼ │
l: :＼: : : : : : :／ ヽ ＼〉l´Ｖ ／ ＼ ノ
0282【大審議中】
2012/08/26(日) 22:44:06.51∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧ ∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧ ∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧
( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )
｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ) と ﾉ ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ) と ﾉ ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ) と ﾉ
ｕ-ｕ （l ∧,,∧ ∧,,∧ ｕ-ｕ （l ) (∧,,∧ｕ-ｕ （l ∧,,∧ ∧,,∧ ｕ-ｕ （l ) (∧,,∧ /⌒ヽ
`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧
( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )
｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ) と ﾉ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ) と ﾉ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ )と ﾉ
∧,,∧ｕ-∧,,∧ ) ( ﾉu ∧,,∧-ｕ∧,,∧ ) (∧,,∧ｕ-∧,,∧ ) ( ﾉu ∧,,∧-ｕ∧,,∧ ) ( ﾉu ∧,,∧ ∧,,∧
∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧ ∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧ ∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧-u'∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧
( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ ) ( ´・ω) Ｕ) ( つと ﾉ(ω・｀ )
｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ) と ﾉ ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ) と ﾉ ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ ) と ﾉ ｜ Ｕ ( ´・) (・｀ )と ﾉ
ｕ-ｕ （l ∧,,∧ ∧,,∧ ｕ-ｕ （l ) (∩,,∩ｕ-ｕ （l ∧,,∧ ∧,,∧ ｕ-ｕ （l ) (∩,,∩ /⌒ヽ -ｕ （l ) ( ﾉu-ｕ
`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ x ・) (・ω`ｕ-∧ (´・ω・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-∧ (´・ x ・) (・ω・｀) ∧∧`ｕ-ｕ' `ｕ-u'
0283１３２人目の素数さん
2012/08/31(金) 00:28:41.64('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
0284１３２人目の素数さん
2012/08/31(金) 23:26:50.37′ ／ ´￣｀ヽ / ､ヽ
! ／´ .,. -､ ,ﾉ , ' ､ ヽ
l _ ´/ .,´ ./ { ／ l. l l ヽ
_ - ´ ､ > .{ /._ ／ '´ ｢｀ 、 ! | ＼
ヾ ｀´ ｀´(_,ﾉィ´ .ﾊ. l .l ,| l ､ ヽ､ , -─- ､
｀ - _ ,ｨ´ |l l |' /-+､./ ﾊ ヽ､ ヽ､ 〈 ｀ヽ
｀ ┬--r‐ 7´ﾊ. ﾄ l ､ ,' ﾚ´l::::ﾚ､ヽ / l l ヽ ｀ヽ､ ヽ､｀ -―- ､ ヽ
｜ l! ハ｢ヽﾄ､ ､./ ' lｰ'::::::::}/l〉/. ′| ､ ｀ー ｀- } .l
′ l |.､ 〈| し::::::::l ´ ､::::::;ﾉ .ﾚ' ′ |! l ､⌒ ｰ-‐' ./
/ ｨ l ヽ ﾄヽ;;:::::ｿ __' -,､ ｀´ "ｲ / | ! .| , - ､､, - ､＿ ／
. / /l lヽ ｀ヽ_ゝ"" V } .／| /. ｌ l l ﾉ、 }
／- ´ l .| ヽ l ｀,‐- ＿ゝ __,ﾉｨ´ ,ｲ /,ヽ_ ./. l l ／／｀´
／´ | |! ヽ. l l｀ ､_ ｀ヽ_,/_..∠ | /( .( 〉 r┐ ／／
. l | ､ ヽ l人 ｀＞'ﾖ_ト､ ｀l ′｀´.｀_o｣ '.／
､ | ､ >､l-'Ｏ _,>､/ | | ､｀'｀￣｢￣ノｽ,.<
｀ ＼ 〉,､,_ -_>､. / .| | ゝ .〉- ' ﾉ ＼
/｀.┬＝t'/ ｀ｰ' ｰ´ / ､ ／ ＼
/ ｀ - _＞ _＿ _,. ´ ｀ ､ ヽ
/ ,. '´ ￣￣ ｀ ､ ヽ
/ ／ ヽ ヽ
0285１３２人目の素数さん
2012/08/31(金) 23:30:53.00|: : : : : :／: { ゝ::/ 7: : : : ／ ＼ ヽ
|:__; ;- ´: : : ｀ ´: :｀:´○::／ ', ヽ ,
'ヽ: : : : : : : : : : : : : :.iイ i |ヽ __| i i, ',`､
｀ - : :_:_:_:_: : イ」_|_|, ﾄ,イ´, || | | .| ,ヽ
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（⌒ヽ/ / ＼ |ヽヾﾆｿ , /／ ﾚ i＼ ＼ _,,,--,,,_
｀{ニ;(´＼ | ヽﾄ. ＿ノ ノ| / | | ｀ ー| ＼
／{＿ﾌ7 } | | ＞ ,,＿＿,, ＜ / / | | ｀´⌒ヽ ヽ
／´ ヽ フ ノ | |'＼_:_::ゝ／´: : :V / | || | } }
7i二二it ﾅ＼| ［:ニ［|＼-'-/／ / /'| ,| く´⌒｀ｰ ノ
| | | ロ ヽ /:/ |;ト′ |￣''ヽ/__./ |/ r ヽヽ_, ‐-‐‐´
| | ー-ｯ--く∠__|:》___ ー´ 〈〈｀i ...:::ヽノ
| i| ／ ´ ［二＞,,,○|...::::''''
／: :ー ´:ヽ {: :［ﾆ／ヽ:::'''、
／: : : : : : ／￣｀ー ＿＿_ノ／ ／: : :＼
0286１３２人目の素数さん
2012/08/31(金) 23:34:24.88_,. :'´: : : : : : : : : :｀ヽ
_,．:'´: : : : : : : : : : : : : : : :ﾊ
∠,ヽ: : : : : : : : : : : : : : : : : : :i
, '´￣¨´‐.､ ｀y : : : : : : : : : : : : : : { ,.、
/ . : : Ｙ } ヽ: : : : : : : : : : : | _,.ｆ´__,＼
.′ : : :}v ,,ゝ: : : : : : : : : : |―￢;.:.:.:.:_:.:.:＼
. l . : :. .:!| ￣ ! ヽ : : : : : : : : ヽj_,.-亠'¨⌒ヽ:_ﾉ
! { : :. |:.:,!ｒ' , ､〉 ＼∧＿: : : :＼
}.:}. :.l :.: .!:.i T~＾.| ￣＝-'¨
(_,ノ_;{:...:.:.:!: .:.:. .ﾊ:{_.｀| i
f彡Y:.:.}:|:.!:.:!:{:ｲ'` | ! ／￣￣￣￣ヽ＼
／＼ ⌒j,ｨ:.{:!:ﾊ:|:!{{| j ! / ／ |
/ ｌ , '´￣,ﾄ! }川,,ｰ/,. {,,,.........,,,,,.,,,,,,,,,,.ト .... ＿ _ - ´ | ,,,,,,
l | / __｣ ､__ﾉ―-}n.n r}ー＝==-=-=- l ､ /_,-､ ) ノ-=''
.､ ｀ ´ / ´ ﾞ >､＿'ｰ'o_ - ´
ヽ､ ／
. ｀ ´
はてなようせい
http://www6.atwiki.jp/moetext/pages/14.html
0287１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 05:21:39.70微分のことは微分でするのもいいが...
(左辺) = ∫[0,x] ∫[0,t] f '(t+u) du dt
= ∬[0≦u≦t≦x] f '(t+u) du dt
= (1/2)∫[0,x] ∫[0,x] f '(t+u) du dt (←対称性 t & u)
(右辺) = (1/2)∫[0,x] du ∫[0,x] f '(t+x) dt
= (1/2)∫[0,x] ∫[0,x] f '(t+x) dt du
題意より、
u≦x ⇒ f '(t+u) ≦ f '(t+x)
0288１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 16:15:37.24実数 a, b, c >0 に対して、次の不等式を示せ。
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ≧ 3/2
0289１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 16:18:32.35実数 a_1,,, a_n >0 に対して、次の不等式を示せ。
a_1/a_n + a_2/a_1 + a_3/a_2 + ・・・+ a_n/a_{n-1} ≧ n
0290１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 18:16:41.02コーシーにより
2(ab+bc+ca)｛左辺｝
= {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
≧ (a+b+c)^2
≧ 3(ab+bc+ca),
また題意より、ab+bc+ca >0,
参考文献[3], p.28-30 (1987) 例題4
H.S.Shapiro: Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954) "Problem 4603"
L.J.Mordell: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, ２２, p.229-240 (1958)
A.Zulauf: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, ２２, p.240-241 (1958)
0291１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 18:24:53.980292１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 18:48:57.98／ ∩|不等式への |
／ / /| 招待 |
／ / / ..|_________________|
/ / | |
. ／ / /∧ ./ /
/ / ´_ゝ`）／ 復刊キボンヌ！
／ | ／
| /
| ／⌒l
ヽ | /
／ | ﾞー'| L
／ | /（_ ヽ
／ ／ ノ
／ / ／
／ （ ヽ
0293１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 18:51:46.88そこでだ！
高校生の夏休みの宿題に「不等式への招待」を課題図書として指定しようではないか
0294１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 18:55:15.33コーシーまたはチェビシェフ(*)により
(左辺) = (a+b+c){1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)} - 3
= (1/2){(b+c) + (c+a) + (a+b)} {1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)} - 3
≧ 9/2 - 3
= 3/2,
*) Σ 乱順序積 ≧ Σ 逆順序積
0295１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 19:18:30.22= (1/2){(b+c) + (c+a) + (a+b)} {1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)} -3
= (1/2){9 + α(b-c)^2 + β(c-a)^2 + γ(a-b)^2} -3
≧ 9/2 - 3
ここに、α = 1/[(c+a)(a+b)], β = 1/[(a+b)(b+c)], γ = 1/[(b+c)(c+a)],
0296１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 19:55:53.68nについての帰納法による。
・n=2 のとき
(左辺) = a_1/a_2 + a_2/a_1 = 2 + (a_1-a_2)^2 /(a_1･a_2) ≧ 2 (←相加･相乗平均)
・n>2 のとき
左辺を S_n とおく。
a_n を最大（or 最小）の要素としても一般性を失わない。
S_n - S_(n-1) - 1 = a_1/a_n + a_n/a_{n-1} - a_1/a_{n-1} -1
= (a_n - a_1)[1/a_{n-1} - 1/a_n]
≧ 0,
0297１３２人目の素数さん
2012/09/01(土) 22:00:37.95逆に、>>283 のような微積分の不等式には弱い気がする。
Jensenの不等式や積分の平均値の定理とかで出る。
0299287
2012/09/02(日) 00:30:57.45部分積分で
(左辺) = x{f(2x) - f(x)} - ∫[0,x] t{2f '(2t) - f '(t)} dt
= (右辺)*2 - ∫[0,x] t{2f '(2t) - f '(t)} dt,
これより
(左辺) - (右辺) = (1/2)∫[0,x] {f(2t) - f(t) - 2t･f '(2t) + t･f '(t)} dt
= (1/2)∫[0,x] t{f '(t) - f '(2t)} dt
+ (1/2)∫[0,x] {f(2t) - f(t) - t･f '(2t)} dt,
ところで、題意より
f '(t) - f '(2t) ≦ 0, (0<t)
f(2t) - f(t) - t･f '(2t) = ∫[0,t] {f '(t+u) - f '(2t)} du ≦ 0, (t<u)
とか。
0300１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 02:17:02.65今買える本の中では、渡部隆一の本がわりとしっかり書いてある。
[5] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
0301１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 02:33:45.97チッチッチッ、弱いんじゃないんだな～、これが！
積分使うのは一本道で簡単だから、それ以外の方法を紹介してくれているんだyo
その程度のことは、初代スレからの常連達は暗黙の了解の上なんだyo yo
蒐集して出題した者達も、想定外のどんな解答を見せてくれるかﾜｸﾃｶしながら見ているんだyo yo yo
0302１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 02:36:24.20元よりも良い評価をしたり、変数を増やしたり、類題を作ったりするのは日常茶番劇なのだyo
恐れ入ったか、この野郎ｗ
0303１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 02:38:45.25表紙の色が変わっているぅ！
俺のはピンク色のフニャフニャ表紙なんだぜ！
0304１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 02:53:58.53ヘンタイのすくつなんですね
0305１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 03:28:42.99そう言われると改造しない訳には････
>>289 の系
(b_1･b_2････b_n)^(1/n) = G, (相乗平均)
a_1 = b_1/G,
a_k = a_{k-1}･b_k/G (1<k<n)
a_n = 1,
とおくと、
(b_1+b_2+････+b_n)/G ≧ n,
すなわち
(b_1+b_2+････+b_n)/n ≧ G,
0306１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 03:31:08.07ｺﾆｬﾛ、ﾃｨｸｼｮｳﾒ！最高の褒め言葉ﾀﾞｾﾞｨ！
>>305
神キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！
0307１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 04:38:35.41>>294-296は標準的な解答で、とても想定外とは思えんのだが
積分が一本道だとか、積分の不等式の威力を分かっとらんな。
アプリオリ評価とか面白いのが沢山ある。
0308１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 06:16:43.13口だけなら何とでも言える
0309１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 06:20:43.870310１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 08:18:09.17_ ‐≦つＣ≧‐.._ ＿|＿○
i/´_ ﾆ _ニ‐､`ヽヽ. / | ヽ
! { ・ ) { ・ ｀! ｀y
{i ﾐ `ﾆ立` - 'ﾐ u _j ‐/‐,
/ ゝ=､( ｀ ∫} / ./
i `ｰij' ` ｰｲ
'､ ､__, / |
, ‐ゝ .. _ __ -‐く |
/ ￣ ヽ
/ y ! i ヽ /
/ / o o } l ＿／
,' i l |
0311１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 09:48:09.00f '''(x)≧0 のとき、x≧0に対して
∫[0,x] {f(3t)-2f(2t)+f(t)} dt ≦ x{f(3x)-2f(2x)+f(x)}/3,
でしょうか？
0313１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 13:20:01.34n>4 のとき √n > 2,
a_k = 1/√n, [k:1→n] とおくと
(左辺) = (√n - 1)(n√n +1)
= n^2 -(n-1)√n - 1
< n^2 -2(n-1) -1
= (n-1)^2,
にて >>276 は不成立....orz
0314１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 13:29:37.75f ""(x)≧0 のとき、x≧0に対して
∫[0,x] {f(4t)-3f(3t)+3f(2t)-f(t)} dt ≦ x{f(4x)-3f(3x)+3f(2x)-f(x)}/4,
でしょうか？
一般に、x≧0 で f^(n) ≧0 のときは、
g(x) = Σ[k=1,n] (-1)^(n-k) Ｃ(n-1,k-1) f(kx)
だろうなぁ...
0315１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 15:42:03.25この解法は上手いね
>>313
右辺を変えると成り立ちますか？
【改題】
[一般化]
n 個 (n ≧４) の実数 x_k >0 が 農[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たすとき、
( 農[k:1->n] x_k - 1)( 農[k:1->n] 1/x_k + 1) ≧ n^2 -(n-1)√n - 1
を示せ。
0316１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 18:57:29.91実数 a_1,,, a_n >0 に対して、次の不等式を示せ。
a_1/a_n + a_2/a_1 + a_3/a_2 + ・・・+ a_n/a_{n-1} ≧ n
x/y+y/x=x/y+1+(y-x)/x=1+(xx+yy-xy)/xy=1+1+(y-x)(y-x)/xy
x/z+y/y+z/x=1+x/z+z/x=3+(z-x)(z-x)/xz
w/z+x/y+y/x+z/w=4+(y-x)(y-x)/xy+(z-w)(z-w)/wz
...
0317あのこうちやんは始皇帝だった
2012/09/02(日) 19:21:23.39２０代と６０代の、ニート・無職の虫けらども！！！！！！！！！！！！！！
早く定職に就け！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
0318１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 22:04:16.59ai=((ai+1)(a1-1))^.5
ai=a
f(a)=n
0319１３２人目の素数さん
2012/09/02(日) 23:05:19.60n=2 のときは
(x+y-1)(1/x + 1/y) = (x+y-1)(x+y)/xy
= (x^2 +y^2 +2xy -x-y)/xy
= (2xy-x-y+1)/xy (←題意)
= {xy + (1-x)(1-y)}/xy
= 1 + {(1-x)/x}{(1-y)/y}
> 1,
で簡単だが....
※別法
x = (1-t^2)/(1+t^2), y = 2t/(1+t^2), (0<t<1) とおく。
0320１３２人目の素数さん
2012/09/03(月) 01:32:16.890321１３２人目の素数さん
2012/09/03(月) 07:15:41.74ぬ～ん…
／⌒ヽ
／⌒ ・ ＞
E￣Ｕ) ε |
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゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛
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∠ｒ _,゛_ / , ヽ/__/ ﾓｳ ﾀﾞﾒﾀﾞ…
''ヽ'_･.ノ｀ ' ｒ/、 ﾍ /‐’
./ " j 厂ﾞj | ﾚ_｀> j__ /
' .:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’
0322１３２人目の素数さん
2012/09/03(月) 09:44:31.80llllllllllllllllllllllllll／￣￣ヽlllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
lllllllllllllllllllll / ヽllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii 試 そ あ .iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii| 合 こ き |iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 終 で ら |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;| 了 め |;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;| だ .た |:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:
;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;| よ ら |:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:
:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:ヽ、 /.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
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廴ﾐﾉ
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（ .ミi!} l､ .」:;:;:丿
ｸｭ二二`Lっ) `==='
0323１３２人目の素数さん
2012/09/03(月) 19:31:30.530324１３２人目の素数さん
2012/09/04(火) 00:30:39.620325１３２人目の素数さん
2012/09/04(火) 01:20:05.87( 農[k:1->n] x_k - 1)( 農[k:1->n] 1/x_k + 1)
= 農[k:1->n] x_k 農[k:1->n] 1/x_k + 農[k:1->n] x_k - 農[k:1->n] 1/x_k -1
ここで、第１項はコーシー・シュワルツの不等式より、
農[k:1->n] x_k 農[k:1->n] 1/x_k ≧ { 農[k:1->n] 1 }^2 =n^2
また、条件 農[k:1->n] (x_k)^2 = 1 より、
農[k:1->n] x_k ≦ { 農[k:1->n] (x_k)^2 }^{1/2} {農[k:1->n] 1^2}^{1/2} = √n
となる。
よって、
0326１３２人目の素数さん
2012/09/04(火) 01:33:45.25> よって、
ヽ|/
／￣￣￣｀ヽ、
/ ヽ
/ ＼,, ,,／ |
| （●） （●）||| |
| /￣⌒￣ヽ U.| ・・・・・･･･ｺﾞｸﾘ。
| | .ｌ~￣~ヽ | |
|U ヽ ￣~￣ ﾉ |
| ￣￣￣ |
0327１３２人目の素数さん
2012/09/05(水) 05:32:05.810328328
2012/09/05(水) 06:17:05.800329329
2012/09/05(水) 07:47:52.500330330
2012/09/05(水) 13:15:12.420331331
2012/09/05(水) 13:49:11.380332332
2012/09/05(水) 15:27:55.820333１３２人目の素数さん
2012/09/05(水) 15:30:13.82最後のほうは厄介だけど前半分は高校生でも頑張れば分かるレベル
0334１３２人目の素数さん
2012/09/05(水) 18:20:14.460335福地 裕
2012/09/05(水) 23:54:30.63ここにこれを書いたのは俺なんだよ。自慢でもなんでもなく。
ただ、数学板が「数学」になればいいなと思ってさ。
無論元ネタは別だよ。あの本もいいよね。
0336１３２人目の素数さん
2012/09/06(木) 00:08:03.91へんな奴が沸いたな
0337１３２人目の素数さん
2012/09/06(木) 00:21:59.50新しい荒らしか？
とりあえずＮＧ登録しておこう
0338福地 裕
2012/09/06(木) 00:28:53.46おれのなをNG登録するのは君の自由だ。ここはけいじばんなんだぜ。
0339１３２人目の素数さん
2012/09/06(木) 02:59:13.94上手いな
339は簡単
３×３＝９
0340１３２人目の素数さん
2012/09/06(木) 03:16:54.53他所でやってくれないか？
0341１３２人目の素数さん
2012/09/06(木) 14:33:34.81高校生もいるが、主に高校の教師や予備校，塾の講師が多い。
いずれにせよ、受験関係者で、研究者は少ない
0342１３２人目の素数さん
2012/09/06(木) 14:52:54.160343１３２人目の素数さん
2012/09/06(木) 15:06:47.31そんな不等式ヲタに問題
[問題]
実数 a_1 … a_n と正数 x_1 … x_n >0 に対して、次を示せ。
Σ_[i,j=1 … n] (a_i a_j)/ (x_i + x_j) ≧ 0
0344１３２人目の素数さん
2012/09/06(木) 21:24:04.27/ / ∧. l ＼ ヽ
,' / !. / ', l ヽ ', /
! l l. / ', lヽ､＿__',. } / ＼
| l | / ＿_ノﾍ /ﾘ! ｌ | ￣￣￣ヽ
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. V 〉､ ! ／´￣｀ l∧! │ │
!{ _＼ l j ノ
l ゝ __ ヽl ＿＿_ /l ＿＿
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l ｀＞ ､ ＿_ . ＜ | /
| ﾘ丶＿___r‐'＜／）＿j_ /
| ＿/_: : : : : :: ＞' ／｀ー ､＼
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0345１３２人目の素数さん
2012/09/07(金) 04:30:07.80与式をn次元空間 (a_1,a_2,････,a_n) における２次函数と考え、f(ａ) とおく。
ａ=０ で ∇f = ０ となり停留値である。
さらに２次函数のヘッセ行列Ｈは定数であり、
Ｈ = det(∇∇f)
= ⊿(x)^2 ／ Π[i,j=1,････,n] (x_i + x_j)
> 0 (←題意)
ただし、⊿（x） = Π[1≦i<j≦n] (x_j - x_i), (差積、Vandermonde)
∴ f は半正値で、f(ａ) ≧ f(０) = ０.
〔補題〕 (Cauchy)
n次正方行列について
det| 1/(x_i + y_i) | = ± ⊿(x) ⊿(y)／Π[i,j=1,････,n] (x_i + y_j)
0346１３２人目の素数さん
2012/09/07(金) 10:09:50.10素晴らしい！
0347１３２人目の素数さん
2012/09/08(土) 14:06:29.66n次対称行列 { 1/(x_i+x_j) }_{i,j=1,････,n} をＦとおく。
補題により、Ｆの左上角の主座小行列式（principal minor）はすべて非負。
det| 1/(x_i+x_j) |_{i,j=1,････,k} ≧ 0, （k=1,････,n)
また、Ｆは対称（エルミート）行列ゆえ、fは半正値。
0348１３２人目の素数さん
2012/09/08(土) 20:50:56.21a, b, c > 0 が abc=1 を満たすとき、
a^2 + b^2 + c^2 ≦ a^3 + b^3 + c^3
を示せ。
0349１３２人目の素数さん
2012/09/08(土) 21:14:03.03改造せずにはいられない ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
abc=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ a+b+c
いやいやいや、もっと ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
abc=1 をみたす正の数 a、b、c と任意の自然数 n に対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^^(n-1) + c^^(n-1)
(ﾟ∀ﾟ ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
0350１３２人目の素数さん
2012/09/08(土) 21:57:07.30A = (a_{ij} ) を n 次正方行列とし、λ_1, , , λ_n をその固有値とするとき、次の不等式を示せ。
Σ_[i=1,,n] |λ_i|^2 ≦ Σ_[i j =1,,n] |a_{ij} |^2
0351１３２人目の素数さん
2012/09/08(土) 21:59:29.44さらに改造
abc=1 をみたす正の数 a、b、c と任意の実数 x に対して、a^x + b^x + c^x ≧ a^(x-1) + b^(x-1) + c^(x-1)
0352１３２人目の素数さん
2012/09/08(土) 23:52:10.48a=2, b=1, c=1/2, x=0
0353１３２人目の素数さん
2012/09/09(日) 01:50:55.40ｊ実数 x≧1 ではなかろうか？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁョ！
0354１３２人目の素数さん
2012/09/09(日) 02:35:19.14改良
abc=1 をみたす正の数 a、b、c >0 と実数 x ≧ y >0 に対して、次を示せ。
a^x + b^x + c^x ≧ a^y + b^y + c^y
0355１３２人目の素数さん
2012/09/09(日) 07:21:15.85(abc)^(1/3) = G とおく（相乗平均）。
(x-y)y ≧ 0,
〔解1〕
(y/x)a^x + {(x-y)/x}(a^y+b^x+c^x)/3
≧ (y/x)a^x + {(x-y)/x}G^x (←相加･相乗平均)
≧ a^y･G^(x-y),
循環的にたす。
(左辺) ≧ (a^y + b^y + c^y)G^(x-y)
= (右辺)G^(x-y),
〔解2〕
{a^y, b^y, c^y} と {a^(x-y), b^(x-y), c^(x-y)} とは同順序。
(左辺) ≧ (右辺){a^(x-y) + b^(x-y) + c^(x-y)}/3 (←チェビシェフ)
≧ (右辺)G^(x-y), (←相加･相乗平均)
0356１３２人目の素数さん
2012/09/09(日) 17:51:53.19すげー！
解法も鮮やかだが、ここまで一般化できるのか！
0357１３２人目の素数さん
2012/09/09(日) 18:08:15.60さらに拡張
[問題]
(a_1…a_n) =1 をみたす正の数 a_1、…、a_n > 0 と実数 x ≧ y ≧ 0 に対して、
次の不等式が成立する。
(a_1)^x + (a_2)^x + … + (a_n)^x ≧ (a_1)^y + (a_2)^y + … + (a_n)^y
[解答]
G= (a_1…a_n)^{1/n} を相乗平均とする。
また、a_1≧a_2≧…≧a_n としてもよいので、
{(a_1)^y, …, (a_n)^y} と { (a_1)^(x-y), …, (a_n)^(x-y)} とは同順序。
(左辺) ≧ (右辺){ (a_1)^(x-y) + … + (a_n)^(x-y)}/n (←チェビシェフ)
≧ (右辺)G^(x-y), (←相加･相乗平均)
＝（右辺）（← G=1）
0358１３２人目の素数さん
2012/09/09(日) 20:53:13.73, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0359１３２人目の素数さん
2012/09/10(月) 02:49:59.730360１３２人目の素数さん
2012/09/12(水) 01:07:23.11x, y, z >0 が xyz ≧1 を満たすとき、 (1+x)(1+y)(1+z) ≧ 9 を示せ。
0361１３２人目の素数さん
2012/09/12(水) 01:08:53.21【問題】
x, y, z >0 が xyz ≧1 を満たすとき、 (1+x)(1+y)(1+z) ≧ 8 を示せ。
0362１３２人目の素数さん
2012/09/12(水) 02:18:28.15(xyz)^(1/3) = G とおく。
(左辺) = 1 + (x+y+z) + (xy+yz+zx) + xyz
≧1 + 3(xyz)^(1/3) + 3(xyz)^(2/3) + xyz
= 1 + 3G + 3G^2 + G^3
= (1+G)^3,
0363１３２人目の素数さん
2012/09/12(水) 02:28:43.55相加・相乗平均より、
1 + x ≧ 2 (x)^{1/2}
y, z についても同様なので、
（左辺） ≧ 2 (x)^{1/2} ・2 (y)^{1/2}・2 (z)^{1/2}
＝8 (xyz)^{1/2} ≧ 8．
0364１３２人目の素数さん
2012/09/12(水) 05:00:22.270365１３２人目の素数さん
2012/09/12(水) 23:08:02.02〔コーシーの拡張〕
m>1, n>1 は自然数, a_k(i) ≧ 0 とする。
Π[i=1,m]{Σ[k=1,n] a_k(i)} ≧ (Σ[k=1,n] G_k)^m
ここに、G_k = {Π[i=1,m] a_k(i)}^(1/m)
(略証)
I. m=2^L (2ベキ) のときはコーシーをL回使う。
II. 2^(L-1) < m < 2^L のとき
m < i ≦ 2^L に対して a_k(i) = G_k とおいて I. を使う。
0366１３２人目の素数さん
2012/09/12(水) 23:10:43.780367１３２人目の素数さん
2012/09/13(木) 01:39:01.73x, y, z≧０が x+y+z=1 を満たすとき、 x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz ≧ 1/4 を証明せよ。
0368１３２人目の素数さん
2012/09/13(木) 08:02:16.87x^3 + y^3 + z^3 +(15/4)xyz -(1/4)(x+y+z)^3
= (3/4){x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)}
= (3/4)F_1(x,y,z)
≧ 0, {← x,y,z≧0, Schur(n=1)}
0369１３２人目の素数さん
2012/09/13(木) 08:04:27.61その係数は どうやって思いつくんだよ
0370１３２人目の素数さん
2012/09/13(木) 14:49:13.49>>367の不等式が荒くて、もっと改良できるってこと？
0371１３２人目の素数さん
2012/09/13(木) 19:14:49.980372１３２人目の素数さん
2012/09/13(木) 20:54:13.88(左辺) -(1/4)(x+y+z)^3 = (3/4){x(x-y-z)^2 + y(y-z-x)^2 + z(z-x-y)^2},
等号成立は (x,y,z) = (x,x,0) (x,0,x) (0,y,y)
>>368 は牛刀でござる。
x=y=z でも等号成立。
0373１３２人目の素数さん
2012/09/13(木) 22:35:38.190374１３２人目の素数さん
2012/09/13(木) 22:39:35.02素晴らしい！
ところで、Shur の不等式って４変数以上でも成り立つの？
0375１３２人目の素数さん
2012/09/14(金) 00:30:00.58b[0] = b > 0
a[n+1] = (a[n] + b[n])/2
b[n+1] = (a[n]*b[n])^(1/2)
とするとき、lim[n→∞] a[n]、lim[n→∞] b[n] を求めよ
0376375
2012/09/14(金) 00:32:09.86('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
0377１３２人目の素数さん
2012/09/14(金) 08:46:02.18ttp://www.youtube.com/watch?v=MUdvinVHoNs&feature=related
0378１３２人目の素数さん
2012/09/14(金) 18:09:58.36素で吹いた
0379１３２人目の素数さん
2012/09/14(金) 23:47:40.19冷えぴた
0380１３２人目の素数さん
2012/09/14(金) 23:52:01.470381１３２人目の素数さん
2012/09/14(金) 23:59:18.470382１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 01:10:57.14n≧1に対して、a[n] ≧ a[n+1]、 a[n] ≧ b[n]、 b[n+1] ≧ b[n]
つまり、a[1] ≧ a[2] ≧ … ≧a[n] ≧a[n+1] ≧ … ≧ b[n+1] ≧ b[n] ≧ … ≧ b[2] ≧ b[1] までは分かった
で、それからどうするんだっけ？
0383１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 01:35:29.62有界単調数列は収束するので、極限をα、βとすると、
α = (α + β)/2
β = (αβ)^{1/2}
が成立する。
これを解けば、α＝β
0384１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 01:53:15.40で、その値はどうやったら得られるのですカニ？
0385１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 02:07:30.32算術幾何平均とか云うらしい。(Gauss)
極限値は
α = β = π(a+b)/{4Ｋ(k)}, k = |a-b|/(a+b),
ここに
Ｋ(k) = ∫[0,π/2] 1/√[1 - (k･sinφ)^2] dφ,
第１種の完全楕円積分
参考文献
http://ja.wikipedia.org/wiki/算術幾何平均
http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961) p.33 練習問題１の (1)
0386１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 02:22:17.940387１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 02:26:39.330388１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 02:30:53.73つまり、「総乗平均は、相加平均と調和平均の総乗平均に等しい」
3文字以上のときは、G と √(AH) の大小って簡単に分かるんです蟹？
0389１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 03:17:46.250390１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 12:53:20.09とりあえず↓が有り鱒。
〔シェルピンスキーの不等式〕
n文字のとき、
{A^(n-1)･H}^(1/n) ≧ G ≧ {A･H^(n-1)}^(1/n),
参考文献[3]、p.79～80 (1987)
0391１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 13:35:26.220392１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 14:31:04.85n文字のとき、
(k次の基本対称式)／C[n,k] = P_k とおくと、
A = P_1, G = (P_n)^(1/n), H = P_n／P_(n-1),
>>390 は
(P_1)^(n-1)･{P_n/P_(n-1)} ≧ P_n ≧ P_1･{P_n/P_(n-1)}^(n-1),
すなわち、
P(n-1)/{(P_1)^(n-1)} = Π[k=1,n-2] (Q_k)^(n-1-k) ≧ 1,
{P_(n-1)}^(n-1)／{(P_1)(P_n)^(n-2)} = Π[k=2,n-1] (Q_k)^(k-1) ≧ 1,
ここに、Q_k = (P_k)^2／{P_(k-1)･P_(k+1)}^(n-1-k).
よって次の補題に帰着する。
〔補題〕
(P_k)^2／{P_(k-1)･P_(k+1)} ≧ 1, (k=1～n-1)
この補題については
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社 (1977) No.21
Hardy-Littlewood-Polya: "Inequalities", Cambridge (1934) §2.22, 公式51-55
Beckenbach-Bellman: "Inequalities", Ergebnisse叢書、Springer-Verlag (1961) p.11
0393１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 19:38:00.21x+y+z=1 を満たす実数 x, y, z ≧ 0 は次を満たすことを示せ。
x^2 y + y^2 x + z^2 x ≦ 4/27
0394１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 20:01:51.04A＝Bが等式なら、不等式はA≠Bの形であるのが負触りい用語のように思うのでウsが
A≧Bなら 例えば 大小式 くらいの用語がふさわしのではないかと
0395１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 20:28:20.25数学用語は西洋の物だから
例えば、英語では大小関係のある「不等式」は、
(upper/lower) bound, estimate や majoration などと言い、
inequality よりは良く用いられる。
0396１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 20:41:22.93> inequality よりは良く用いられる。
これ本当かいな？
0397１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 20:43:33.250398１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 22:22:58.54, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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0399１３２人目の素数さん
2012/09/15(土) 22:35:14.35estimate や bound を使うのは解析（偏微分方程式）が多いかな
a priori estimate とは言うけど、a priori inequality とは余り言わんね。
0400１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 07:08:55.11正数a,b,cが ab+bc+ca+2abc=1 を満たすとき
2abc+Σ[cyc]1/(1+2a)^2≧1
のような問題に対して、
a=x/(y+z)、b=y/(z+x)、c=z/(x+y) とおいて・・・とやる解法って不等式オタにとっては一般的なの？
0401１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 07:20:17.98どんな式のときに どんな置き換えが有効なのか知りたい
>>400
このサイトって、どこですか？
過去ログを遡って、不等式を蒐集しまくりたいです
0402１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 07:24:10.56>>3にもあるんだけど、www.mathlinks.ro/ だよ。
こういう置き換え、誰かリストアップしてくれないかなあ・・・
0403１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 07:37:46.78サンクス、潜入してくるわ
0404１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 07:42:48.90>>393
f(x,y,z) = (4/27)(x+y+z)^3 - (左辺)
= (1/27)(x+y+z)^3 + g(x-y,y-z,z-x),
とおく。
{x,y,z} を一斉に増加するとき、fも増加する。
∴ min{x,y,z} = m とおくと
f(x,y,z) ≧ f(x-m,y-m,z-m)
= f(0,a,b) (a≧0, b≧0)
= (1/27)(4a+b)(a-2b)^2
≧ 0,
等号成立は (x,y,z) = (0,2,1) (2,1,0) (1,0,2)
>>392 訂正ｽﾏｿ.
ここに、Q_k = (P_k)^2／{P_(k-1)･P_(k+1)},
0405１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 07:47:36.67不等式コレクションに分類していたときに、置き換えについて整理したことがあったんだけど、
そのときのTeXファイルがどこかに逝ってしまったの巻… ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0406１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 08:00:14.43> そのときのTeXファイルがどこかに逝ってしまった
Oh....
0407１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 10:46:44.99具体的に書けば
g(x-y,y-z,z-x) = {(x+y-2z)(x-y)^2 + (y+z-2x)(y-z)^2 + (z+x-2y)(z-x)^2 + 9⊿}/2,
ここに
⊿(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x),
0408１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 11:33:02.610409１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 12:40:39.68, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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0410１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 13:44:25.58文字を置き換えるのは工房レベル
大学数学ではLagrangeの未定乗数法がほぼ万能
0411１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 14:40:00.380412１３２人目の素数さん
2012/09/16(日) 15:42:16.930413１３２人目の素数さん
2012/09/18(火) 01:38:30.23ｺﾆｬﾛ、ﾃｨｸｼｮｳﾒ！最低の褒め言葉ﾀﾞｾﾞｨ！
0414１３２人目の素数さん
2012/09/19(水) 04:53:55.860415１３２人目の素数さん
2012/09/19(水) 05:08:53.98, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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0416１３２人目の素数さん
2012/09/20(木) 01:13:57.32⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) とおくとき
|⊿| ≦ (2/√27)(s^2 -3t)^(3/2),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.
(略証1)
bはaとcの中間にあるとしてよい。|a-b| =x, |b-c|=y とおく。
s^2 -3t = {x^2 + y^2 + (x+y)^2}/2 ≧ (3/4)(x+y)^2,
|⊿| = xy(x+y) ≦ (1/4)(x+y)^3 ≦ (2/√27)(s^2 -3t)^(3/2)
(略証2)
27⊿^2 = 4(s^2 -3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2,
楕円曲線論に出てくる公式。
0417１３２人目の素数さん
2012/09/20(木) 06:06:33.19九大の学会の書籍展示で先行販売していますので、ちょと眺めてみて下さい。
0418１３２人目の素数さん
2012/09/20(木) 07:02:43.22l三｀ｰ ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
l三 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣ ,三三三彡彡l_
lﾐ′ ￣ ー-'" '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
l;l ,_-‐ 、 __,,.. - ､ 彡彡彳､.//
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥ `之ヽ､, i l´ _,ｨ辷ｧ-､、 彡彡'r ノ/＿ ＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣ 1 ￣ﾌ/ｌ l::. ヽこ~￣ 彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
ヽ ´ :l .l:::. 彡ｨ-‐'′
ゝ、 / :. :r-､ 彡′
／ ｨ:ﾍ ｀ヽ:__,ｨ='´ 彡;ヽ､
_,,..-‐'7 /:::::::ヽ _: :_ ヽ ｨ´.}::ヽ ヽ、
_,-‐'´ { ヽ:::::::::ﾍ ｀'ｰ=＝=ｰ-- ' ／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､
0419１３２人目の素数さん
2012/09/20(木) 15:26:12.250420１３２人目の素数さん
2012/09/20(木) 22:51:02.85正の数a,b,c,dが1/a+1/b+1/c+1/d=1を満たすとき、ab+bc+cd+da+ac+bd≧96
0421１３２人目の素数さん
2012/09/20(木) 23:32:54.60コレクションにあるかな～と思って探したけど見つからなかったの巻…
0422１３２人目の素数さん
2012/09/20(木) 23:35:06.07http://comingbook.honzuki.jp/index.php?detail=9784903342702
前スレで予告されていた本ですね
さっそく予約してきました ( ﾟ∀ﾟ) ﾜｸﾜｸ…
0423１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 00:12:33.39情報通乙！
_.. ..‐::´／
_/::::::::::::/
＿/:::::::::::::/ ＿＿＿_
,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
／:::::::::::::::::| ヽ､:::::;::::::::::::／
/:::::::::::::::::::::|´|ヽ |/_:::.::／
_ .. -─':::::::::::::::､::|｀' , .!::∠
｀'' ‐-.._:::::::;-‐､｀（●） （●） |::::｀::-､オッス！オラ、不等式ヲタ
=ﾆ二::::::::::::::::|６ ＼＿＿_／､｜ -──｀ まだ発売されていないってのに
‐=.二;;;;;｀‐ｔ ＼／ ノ なんだかすっげえワクワクしてきたぞ！
0424１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 00:27:23.32誰かしらから解答来たらそれの載ってたＵＲＬはるお
0425１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 02:42:18.50y>x≧1なら Σ{p[k] * (a[k]^x)}^(1/x) ≦ Σ{p[k] * (a[k]^y)}^(1/y)
が成り立ちますか？
0426１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 03:44:40.911 = 1/a+1/b+1/c+1/d ≧ 4・{1/(abcd)}^(1/4) より、 abcd ≧4^4
ab+bc+cd+da+ac+bd ≧ 6・{(abcd)^3}^(1/6) = 6・(abcd)^(1/2) ≧ 6・(4^4)^(1/2) = 6・4^2 = 96
,ィ´￣￣￣｀`ヽ
/:::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
厶 -…ー─‐--､:::::::::::|
∠＿__,ィ´￣￣￣｀ヽ､＼＿}
| <●） /、（●>、 ||||
| ,, <、_,> ヽ、, | そうか！相乗か！
. | ｍj |＝‐ｧ' .::::|
＼,〈＿_ﾉﾆﾆ´ .:::／
／ノ ﾉ |||/一´＼
0427１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 03:58:08.83ってことになるの蟹かまぼこ？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0428１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 04:04:10.41S_1 = a_1 + … + a_n
S_2 = a_1・a_2 + …
などとおくと、逆数和が一定のとき、全部この方法で分かるわけ貝？ ( ﾟ∀ﾟ) ﾎﾍｰ
0429１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 07:32:13.34∫[0→x]costdt＞2∫[0→x]sintdt
0430１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 07:35:56.27http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1194388471
これの（２）だったんだが、独立して解けたのか…
てっきり（１）が（２）の応用かと思ってた
0431431
2012/09/21(金) 11:30:21.500432１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 11:35:45.03いろんな解き方があって参考になります
,ィ´￣￣￣｀`ヽ
/:::::::::::::::::::::::::::::::::::＼
厶 -…ー─‐--､:::::::::::|
∠＿__,ィ´￣￣￣｀ヽ､＼＿}
| <●） /、（●>、 |||| また俺っちのコレクションが増えたぜ！
| ,, <、_,> ヽ、, | ありがとな！
. | ｍj |＝‐ｧ' .::::|
＼,〈＿_ﾉﾆﾆ´ .:::／
／ノ ﾉ |||/一´＼
0433１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 11:51:24.70不等号の向きが逆です
0434１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 18:06:56.290435１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 18:27:32.54いま九州大学に行けば手に入るんですか？
0436１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 20:04:33.61いつ書店に並ぶんだＹＯ！ 風邪引いちまうぢゃないか！
0437１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 20:32:39.09落ち着けww
もう少ししたら発売されるだろww
0438１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 20:41:39.03http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
これじゃない感が凄かった
0439１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 20:57:02.61落ち着け。
全裸で待機しても発売日が早まるわけじゃないから、とりあえずパンツ履け。
0440１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 21:07:17.71かんどころシリーズは、One Point双書の21世紀版を目指したらしいが、大失敗だな
素直にOne Point双書をジャンルごとに数冊ずつ纏めて１冊にして発売したほうが売れただろうに…
ゆとりっ子のレベルに合わせたって言い訳しそうだが、実際は編集部の質が落ちているだけだと思う
書店で「かんどころシリーズ」を見たことある？
数学に興味のある中学生向けの内容じゃんか！
その中でも、「かんどころ⑨不等式」は頑張っている方だと思う
このシリーズで出しさえしなければ、前著「不等式への招待」の続編的位置付けになったろうに…
編集部にダメ出しされまくって、著者は泣く泣く証明部分や未紹介の不等式を削ったに違いない
別の出版社から、しっかりした不等式の本を出してほしいと思う吉宗であった
0441１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 21:12:37.16∀k a[k]≧0 と、∀k p[k]≧0 と、Σp[k]=1 を満たす実数列a[1],...,a[n]とp[1],...,p[n]が与えられたとき
y>x≧1なら {Σ( p[k] * (a[k]^x) )}^(1/x) ≦ {Σ( p[k] * (a[k]^y) )}^(1/y)
が成り立ちますか？
の間違いでした
>>425だとp[k]^(1/x)を比べるだけになってしまいますねすいません
証明出来ました
0442１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 22:25:11.99だから、結果の不等号の向きが逆
0443１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 22:28:28.89だから、>>422で新しい不等式の本が出るではないか！
発売日は、９月２４日になっている。
不等式 ～21世紀の代数的不等式論 ～
著者 安藤哲哉
出版社 数学書房
本体価格 3500円
ページ数 288p
発売予定日 2012-09-24
内容紹介
不等式を証明するには、式変形の技巧ではなく、
代数・幾何・解析学の諸理論が役に立つことを示した理論的・体系的解説書。
0444１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 22:31:05.510445１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:01:37.34研究するのは厳しい分野なんかな
0446１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:07:35.10それとは別に、大関の書いた本が読みたいんだyo！
0447１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:10:29.900448１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:17:23.83それらを片っ端から証明した上に改造もする神の共著ですか？
いや神一人で必要十分ですな
0449１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:22:25.91ab+bc+cd+da+ac+bd ≧ 36／(1/ab + 1/bc + 1/cd + 1/da + 1/ac + 1/bd)
≧ 36／{(6/16)(1/a+1/b+1/c+1/d)^2}
= 96／(1/a+1/b+1/c+1/d)^2,
0450１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:36:13.30最初は相加調和平均、次は？
0451１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:46:54.96(左辺) = ∫[0→x] cos(t)dt = sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2),
(右辺) = 2∫[0→x] sin(t)dt = 2{1-cos(x)} = 4sin(x/2)^2,
題意より
(右辺)/(左辺) = 2tan(x/2)
≦ 2tan(π/8)
< 2tan(π/8)／{1-tan(π/8)^2}
= tan(π/4)
= 1,
0452１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:56:20.01まだ現役だから、本人に頼めば
http://www.eng.utsunomiya-u.ac.jp/koukou/kenkyu/kikai_kyouzyu/ozeki/index.html
0453１３２人目の素数さん
2012/09/21(金) 23:59:18.91> 不等式を証明するには、式変形の技巧ではなく、
ヲタは要らんということですね
0454１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:03:27.51数学者に否定されると…
0455１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:13:11.29面識もないのにどうやって頼むんだyo！
／ ￣≧￣＼
／ ＼ ／ ＼ 我々は不等式ヲタだ！
| (● (● | 貴殿の本気が見たいのだ！
| （__人__） | 少ないが取っておき給へ！
＼ ｀ ⌒´ ／ ☆
/ヽ､--ー､＿＿,-‐´ ＼─／
／ > ヽ▼●▼<＼ ||ｰ､
/ ヽ､ ＼ i |｡| |/ ヽ (ニ､｀ヽ
.l ヽ l |｡| | ｒ-､y ｀ﾆ ﾉ ＼
l | |ー─ | ￣ l ｀~ヽ＿ノ＿＿＿_
／￣￣￣￣ヽ-'ヽ--' ／ 壱万円札 ／|
.|￣￣￣￣￣￣|／| |￣￣￣￣￣￣|／| ＿＿＿＿＿＿
／￣壱万円札／| ￣|__」／_壱万円札 ／|￣|__,」＿＿_ ／|
|￣￣￣￣￣|／壱万円札 ／￣￣￣￣|／壱万円札 ／| ／ .|
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|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
0456１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:17:13.95研究って未解決や未知の問題を明らかにすることだからねえ
不等式の場合、研究すべき未解決の問題を探しにくい所だろうね。
結局、面白い問題を見つけるには、他の数学の深い理論を勉強しないと出てこないし
0457１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:22:47.930458１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:26:36.453次式 X^3 -sX^2 +tX -u の根がすべて実数となる条件は
9st -2s^3 -2(s^2 -3t)^(3/2) ≦ 27u ≦ 9st -2s^3 + 2(s^2 -3t)^(3/2),
0459１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:32:58.94919cielblue [2012/09/20(木) 11:26:30]
x, y, z>0, xyz=64/27 ⇒ √(1+x^2)+√(1+y^2)+√(1+z^2)≧1+x+y+z
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50
0460１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:33:02.23確かに…
Shapiroの不等式のように、絶妙な問題を出したShapiroは偉いですね。
不等式の場合、問題より予想の方が大事かもね。
0461１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:37:20.93大関本の復刊！！！
http://www.amazon.co.jp/%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%8B%9B%E5%BE%85-%E5%A4%A7%E9%96%A2-%E4%BF%A1%E9%9B%84/dp/4844372661/ref=ntt_at_ep_dpt_2
0462１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:38:49.750463１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:39:23.792chに慣れているせいか、このスレを利用したことがなかったな
そういや何度かリンクが貼られていたこともあったが、ずっとヌルーしていたな ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
0464１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:42:01.76l三｀ｰ ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
l三 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣ ,三三三彡彡l_
lﾐ′ ￣ ー-'" '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
l;l ,_-‐ 、 __,,.. - ､ 彡彡彳､.// この感じ…、奴が帰ってきたのか！
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥ `之ヽ､, i l´ _,ｨ辷ｧ-､、 彡彡'r ノ/＿ ＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣ 1 ￣ﾌ/ｌ l::. ヽこ~￣ 彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
ヽ ´ :l .l:::. 彡ｨ-‐'′
ゝ、 / :. :r-､ 彡′
／ ｨ:ﾍ ｀ヽ:__,ｨ='´ 彡;ヽ､
_,,..-‐'7 /:::::::ヽ _: :_ ヽ ｨ´.}::ヽ ヽ、
_,-‐'´ { ヽ:::::::::ﾍ ｀'ｰ=＝=ｰ-- ' ／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､
0465１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:46:07.27俺は 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版） の方が好きだな
0466１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:46:32.04オンデマンド (ペーパーバック) とは何ぞや？
ハードカバーが、ふにゃちんカバーになってしまうのかな？
俺の持ってるやつは、書き込んだり消したりした上に、
読みながら寝てしまって、ヨダレとか、顔の油とかで汚れてしまっているから買い直したいな
最も洗脳効果の高かった不等式本ですな
俺の中では神！
0467１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:50:32.91おお！
って、持っているから特に買うつもりは無いが
>>465
俺はまだその本は見たこと無いんだ。
大関・大関本とどう違うかずっと気になっているんだが
0468１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:52:56.32これも神！
探しても手に入らなくって、図書館の書庫で紛失していたのを探して借りた
このために、当時３万円くらいの家庭用コピー機（紙は一枚ずつ手差し）を買って、
片面コピーしたのを裏返して差し込んで両面コピーして背表紙に木工用ボンドを塗って製本した
これも復刊してほしい！
0469１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 00:57:26.76問題解決の道具に過ぎないものを道具の方に惚れこんでしまったのか
よいぞよいぞ・・・
0470１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:00:09.04不等式に賭けるその想い、素晴らしい！！
個人的には、大関本よりも系統立てて書いている渡部本が好き。
こっちは、４，５年前に復刊されたのを買ったんだが、スッキリしていていい。
0471１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:03:18.231967年発売なら、もう著作権切れてないか？
0472１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:14:01.05POD版とやらが復刊されて暫くしてから知って、急いで本屋巡りしたけどどこにもなくて、取り寄せてもらったな
有名不等式を一通り紹介してくれているので、知ってるつもりの知識が整理できてよかった
高校で 「モノグラフ 不等式」 を何気なく買って、
大学生協で色ヤケしていた 「不等式への招待」 をたまたま買って洗脳され、
図書館書庫で発掘した 「不等式（大関・青柳）」 のコピー本を作り、
ずっと後になって、不等式（ハーディ）、不等式の工学への応用、不等式（渡部版）、不等式（かんどころ）を購入
不等式の和書って、少ないですなあ…
0473１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:16:56.20槙書店はWebサイトないんよな
復刊してくれんかなあ
http://www.hotfrog.jp/%E4%BC%81%E6%A5%AD/%E6%A7%99%E6%9B%B8%E5%BA%97
0474１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:18:36.44そこに待望の新書>>443の発売で、胸が熱い
もうアマゾンでポッチってしまった…
最近の洋書だと、
The Cauchy-Schwarz Master Class:
J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
が中々良かったです。
0475１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:24:16.62復刊ドットコム『不等式（大関信雄・青柳雅計）』 復刊リクエスト投票
http://www.fukkan.com/fk/VoteDetail?no=27792
0476１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:33:37.07著者の書き込み（>>417）の翌日に予約しました
この不等式ヲタに抜かりはない ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
The Cauchy-Schwarz Master Class は、何スレか前に紹介されたときに購入しました
本棚に飾ったまま、さっきまで買ったことすら忘れていましたが…
,､|,､
(f⌒i
U j.|
UJ
：
‐＝‐
0477１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:39:12.79道具を収集して楽しむなんて、貴族のような人たちですね。
0478１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 01:55:57.70すでに>1で完結している
> ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
> ＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
> |┃三 .／ ≧ ＼
> |┃ |:::: ＼ .／ |
> |┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
> ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
> |┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
> |┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
0479１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:18:27.300480１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:23:57.80職人にとって道具は命
0481１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:28:27.33不覚にも笑った
0482１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:29:07.54>>459
> 出番やで
>
> 919cielblue [2012/09/20(木) 11:26:30]
>
> x, y, z>0, xyz=64/27 ⇒ √(1+x^2)+√(1+y^2)+√(1+z^2)≧1+x+y+z
>
> http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50
0483１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:31:16.640484１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:33:39.440485１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:35:55.56Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics,No.1790)
Xingzhi Zhan (著)
ペーパーバック: 132ページ
出版社: Springer; 2版 (2002/10)
http://www.amazon.co.jp/Matrix-Analysis-Graduate-Texts-Mathematics/dp/0387948465/ref=sr_1_10?ie=UTF8&qid=1348248699&sr=8-10
Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)
Rajendra Bhatia (著)
ハードカバー: 347ページ
出版社: Springer; 1版 (1996/12)
http://www.amazon.co.jp/Matrix-Analysis-Graduate-Texts-Mathematics/dp/0387948465/ref=sr_1_10?ie=UTF8&qid=1348248699&sr=8-10
0486１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:48:58.13http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/107253/1/0191-5.pdf
0487１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:53:01.98まとめサイトの参考文献の洋書に入れとくか
こんなときに、キバヤシに教わったAmazonのURL短縮法が役立つとは思わなかった
http://www.amazon.co.jp/…/dp/(10桁の数字)/…
…はノイズなので削除する
www．も削除してもいい
ヽ､.三 ﾐﾆ､＿ ＿＿＿ _,. ‐'´／/-─==＝＝=-､ヾ ／ヽ
,.‐'´ `''‐- ､._ヽ /.i ∠,. -─;==:- ､ゝ‐;----// ヾ.､
[ |､! /'￣r'bゝ}二. {`´ '´＿_ （_Y_）,. |.r-'‐┬‐l l⌒ | }
ﾞl |｀} ..:ヽ--ﾞ‐´ﾘ￣ヽd､ '''' ￣￣ |l !ﾆ! !⌒ //
. i.! l .::::: ｿ;;:.. ヽ､._ _,ノ' ゞ）ノ./
｀ ｰ＝=--‐'´(__,. ..、 ￣￣￣ i／‐'／
i .:::ﾄ､ ￣ ´ l､_／::|
! |: |
ヽ ｰ‐==:ﾆﾆﾆ⊃ !:: ト､
おれたちはとんでもない思い違いをしていたようだ。これを見てみろ。
まず「アマゾン」を英字で表記すると 『amazon』
洋書はamazonで注文すればokだから、語尾にokとつける 『amazonok』
これを逆にすると、『konozama』
そしてこれを更に日本語に直すと 『コノザマ』
注文しても発売日に発送すらされないことが多いことを考えれば…
0488１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 02:55:33.65達筆すぎて読めねーよ！
0489１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 04:47:46.27http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504
0490１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 05:50:29.91＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
0491１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 05:53:15.630492１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 09:17:30.66＿＿＿ 食欲の秋
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ | 不等式の秋
|::::: (● (● |
ヽ::::... .ワ.....ノ
( つ旦O ,.-、 ,.-、 ,.-、
と＿)_) (,,■) (,,■) (,,■)
0493１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 09:43:07.86どの本？
0494１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 11:35:48.97洋書を追加
Inequalities: Theorems, Techniques and Selected Problems,
Zdravko Cvetkovski
Springer-Verlag; 2012
http://www.amazon.co.jp/gp/product/3642237916/
Analytic Inequalities,
Dragoslav S., Dr. Mitrinovic
Springer-Verlag;1970
http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727/
0495１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 13:12:07.58＿|＿＿＿＿_|＿ わたしが訓練教官のハートマン先任軍曹であるッ！
|::: ＼ .／ | 話しかけられたとき以外は口を開くな。
|:::: (● (●| 口でクソたれる前と後に『Ｓｉｒ』と言え！！
ヽ::::......ワ...ノ 分かったか、ウジ虫どもー！
人つゝ 人,, ----- sir, yes sir !
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ ふざけんな！ もっと大声をだせー！
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡 ----- SIR, YES SIR !!!
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿 よーし、それでいい
⌒～⌒
>>494
追加しますた
>>487
つまり、こういうことですな
http://www.amazon.co.jp/(書籍名・著者名情報)/dp/(10桁の数字)/(アフェリエイトなどのパラメータ)
↓
http://.amazon.jp/dp/(10桁の数字)
>>489
実によく訓練された不等式ヲタだ
不等式の埋蔵地のリンクに追加しておこう！
>>493
貴様、それでも不等式ヲタか！ とりあえず買って本棚に並べておきたまえ！
http://www.amazon.com/dp/0387048375
＿ （）)二) )) 、,r:ﾆヽ いいぞ ベイべー！
@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` )) 不等式を収集し証明する奴は 数ヲタだ！！
^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-( ) 不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された数ヲタだ！！
_/ ＼_ L L ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ
0496１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 13:16:54.72>>494の２冊目じゃないの？
0497１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 14:15:34.69も一回書店に確認に行ったら、売り切れていたでござる
0498１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 17:39:13.64／ ∩| |
／ / /|不等式
／ / / |____|
/ / | |
. ／ / /∧ ./ /
/ / ´_ゝ`）／ おうい！安藤の新刊書を手に入れたぞー！
／ | ／
| /
| ／⌒l
ヽ | /
／ | ﾞー'| L
／ | /（_ ヽ
／ ／ ノ
／ / ／
／ （ ヽ
0499１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 17:59:01.60今度は投げんなよ！
0500１３２人目の素数さん
2012/09/22(土) 23:58:14.17／ ∩| |
／ / /|不等式
／ / / |____|
/ / | |
. ／ / /∧ ./ /
/ / ´_ゝ`）／ おうい！大関の復刊書を手に入れたぞー！
／ | ／
| /
| ／⌒l
ヽ | /
／ | ﾞー'| L
／ | /（_ ヽ
／ ／ ノ
／ / ／
／ （ ヽ
0501１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 00:28:49.570502１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 02:29:54.22http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201209&t=mat&l=en
0503１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 12:31:09.29／ ∩| |
／ / /|不等式|
／ / / ..|_________.|
/ / | |
／ / /∧ ./ /
/ / ´_ゝ`）／ ﾋｬｯﾊｰ！
／ | ／ 大関・青柳の絶版書を借りてきたぞ～！
| /
| ／⌒l
ヽ | /
／ | ﾞー'| L
／ | /（____ ヽ
／ ／ ノ
／ / ／
／ （ ヽ
0504１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 13:25:40.76> Analytic Inequalities,
> Dragoslav S., Dr. Mitrinovic
> Springer-Verlag;1970
> http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727/
Amazonでポチッてみました、あポチッとな！
これが、大関が毎晩ﾊｧﾊｧしているやつなんですね
0505１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 13:45:24.570506１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 14:04:56.31大関氏の実筆にﾊｧﾊｧ
0507１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 14:27:22.21上の洋書みたいに、日本に発送可なら、そのまま注文するのだ！
海外に発送してくれると書いてあっても、購入手続き中に日本は無理って表示が出る場合がある
（英語圏じゃないところには、面倒がって発送してくれないところがあるのだ）
そんなときは、代行業者に依頼して注文すればよい
洋書じゃないが、STAR TREKの模型を買いまくった時期があるが、個人が出品しているものを
代行業者に依頼して落札してもらって、送ってもらった事がある（安いプラモだったので関税０円）
代行業者にはいい加減なところが多いらしいが、俺が頼んだところはいいところだったぜ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0508１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 14:38:41.02amazon.co.jp で買えば、通常の和書と同じ
amazon.comだと、アメリカからだから、送料が取られるが、
円高なのでそれでも安い場合がある。
0509１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 14:48:01.720510１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 15:01:07.26ありがとうございました(´ω｀)
0511１３２人目の素数さん
2012/09/23(日) 15:05:02.88http://up3.viploader.net/pic/src/viploader1242778.jpg
0512１３２人目の素数さん
2012/09/24(月) 10:45:58.09http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1253-14.pdf
0513１３２人目の素数さん
2012/09/24(月) 21:45:52.72英語がわからないの？
普通に買ってるぞ
0514１３２人目の素数さん
2012/09/24(月) 21:46:28.40∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ おっきしました
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
0515１３２人目の素数さん
2012/09/24(月) 21:57:50.11＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
⌒｀γ´⌒`ヽ( E)
( .人 .人 γ ﾉ
ﾐ(こﾉこﾉ ｀ｰ´
)にﾉこ(
0516１３２人目の素数さん
2012/09/24(月) 22:09:24.99届いた人レポよろ
0517１３２人目の素数さん
2012/09/24(月) 22:17:55.470518１３２人目の素数さん
2012/09/24(月) 22:29:14.68発売予定日が早まっていたのは知っていたが、土曜日に手に入ったのはラッキーだった
週末にジックリ…
…読むつもりだったが、雑事が入って碌に睡眠もできていない
で、まだ袋から出してもいないのだ
0519１３２人目の素数さん
2012/09/25(火) 15:36:19.68使えねー野郎だな
読んだやつはいないのか？
0520１３２人目の素数さん
2012/09/27(木) 15:07:46.36／ ∩| |
／ / /|不等式|
／ / / ..|_________.|
/ / | |
／ / /∧ ./ /
/ / ´_ゝ`）／ ﾋｬｯﾊｰ！
／ | ／ 洋書を手に入れたぞ～！
| /
| ／⌒l ←>>504
ヽ | /
／ | ﾞー'| L
／ | /（____ ヽ
／ ／ ノ
／ / ／
／ （ ヽ
0521１３２人目の素数さん
2012/09/27(木) 18:58:11.990522１３２人目の素数さん
2012/09/27(木) 21:29:54.70/;,, : : : //::/: : 7l,;:≠-::/: : / .l::|: : :l: :|;,,;!: : :!l: : :i: : : :|: : ::､ ／ ヽ
/ヽヽ: ://: :!:,X~::|: /;,,;,/: :／ ﾘ!: ::/ﾉ l｀ヽl !: : |: : : :l: :l: ﾘ / そ そ お ＼
/: : ヽヾ/: : l/::l |／|||llllヾ,､ / |: :/ , -==､ l＼:::|: : : :|i: | / う う 前 |
. /: : : //ヾ ; :|!: ｲ､||ll|||||::|| ﾉノ ｲ|||||||ヾ､ |: ::|!: : ｲ: ::|/ な 思 が
/: : ://: : :ヽｿ::ヽl |{ i||ll"ﾝ ´ i| l|||l"l ｀|: /|: : /'!/l ん う
∠: : : ~: : : : : : : :丶ゝ-―- , ｰ=z_ｿ |/ ﾊﾒ;, :: ::|. だ ん
i|::ﾊ: : : : : : : : : : : ､ﾍﾍﾍﾍ ､ ﾍﾍﾍﾍﾍ /: : : : : ＼,|. ろ な
|!l |: : : : : : : : :､: ::＼ ､-―-, / : : :丶;,,;,:ミヽ う ら
丶: :ﾊ､lヽ: :ヽ: : ::＼__ ｀~ " /: : ﾄ; lヽ） ゝ
ﾚ ｀| ｀､l｀､＞=ﾆ´ , _´ : :} ｀ ／
,,､r"^~´"''''"t-｀r､ _ -､ ´ヽノ ＼ﾉ ／ お ・
,;'~ _r-- ､__ ~f､_>'､_ | で 前 ・
f~ ,;" ~"t___ ﾐ､ ^'t | は ん ・
," ,~ ヾ~'-､__ ﾐ_ξ丶 | な 中 ・
;' ,ｲ .. ヽ_ ヾ､0ヽ丶 l /
（ ;":: |: :: .. .｀, ヾ 丶 ! ＼＿＿＿＿／
;;;; :: 入:: :: :: l｀ｰ-､ ）l ヾ 丶
"~､ｿ:: :い:: : ＼_ ノ , ヾ 丶
0523１３２人目の素数さん
2012/09/28(金) 20:34:32.89さみしい．．．
0524１３２人目の素数さん
2012/09/29(土) 11:23:31.690525１３２人目の素数さん
2012/09/29(土) 12:13:30.46俺の頭の中では年中祭りなんだが… ( ﾟ∀ﾟ)
0526１３２人目の素数さん
2012/09/29(土) 12:21:08.27なんじゃこりゃ！
0527１３２人目の素数さん
2012/09/29(土) 13:36:29.33bc√(a^2-1)+ca√(b^2-1)+ab√(c^2-1)≦[(3√3)/2]abc
0528１３２人目の素数さん
2012/09/29(土) 15:35:01.410529１３２人目の素数さん
2012/09/29(土) 21:59:18.18全部、理解しているわけではないが、ここに出てくる定理は、何度か、目にしたことがある。
このような定理を使わずして、本当に解けないものなのだろうか。おそらく、そうなのだろう。
そうであっても、不等式の証明は、悪なきロマンの追求だなあ。やめられない。
0530１３２人目の素数さん
2012/10/01(月) 07:51:31.92http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/l50
投稿してるのはいつもの方だと思うけど
連投は違うサイトでは極力控えた方がいいと思うよ
0531１３２人目の素数さん
2012/10/01(月) 12:29:51.95(a+b-ab)(b+c-bc)(c+d-cd)(d+a-da)≦(ac+bd-abcd)^2
0532１３２人目の素数さん
2012/10/01(月) 20:03:21.640533１３２人目の素数さん
2012/10/01(月) 20:16:03.840534１３２人目の素数さん
2012/10/03(水) 04:42:25.27大雑把に理解するには、どのくらいの知識量が必要ですか？
0535１３２人目の素数さん
2012/10/03(水) 10:02:28.21代数的不等式論ってあるように、代数の知識（有限群論や置換、不変式論）あたりかな。
でも有限の世界だから、不等式自体を証明するには、式変形でほぼ証明できそう。
積分に関する不等式が無いのが物足りない。
こちらは、洋書しかないか>>494
0536１３２人目の素数さん
2012/10/03(水) 10:21:26.51数式を見れば大体分かるので洋書でも気にならなくなった。
でも数式の殆どない洋書は無理だわ
0537１３２人目の素数さん
2012/10/03(水) 11:52:37.31洋書の場合、序文が一番難しかったりするからね
数式の殆ど無い洋書は確かに辛いが、和書でもそうなんじゃないかな？
難しい物は洋書だろうが和書だろうが難しい。
言語の問題ではないだろう。
0538１３２人目の素数さん
2012/10/03(水) 17:55:39.85この本はこれでいいと思う。望みどおりじゃないか。
似たような本が出てもしょうがないし…
0539１３２人目の素数さん
2012/10/04(木) 20:09:12.11(x^r)/(1-yz) + (y^r)/(1-zx) + (z^r)/(1-xy) ≦ (x^r)/(1-x^2) + (y^r)/(1-y^2) + (z^r)/(1-z^2)
0540１３２人目の素数さん
2012/10/04(木) 22:55:37.64相加･調和平均で
1/(1-yz) = 2/(2-2yz) ≦ 2/(2-y^2 -z^2) ≦ {1/(1-y^2) + 1/(1-z^2)}/2,
分子は正かつ単調増加だから、チェビシェフで良さげ･･･
0541１３２人目の素数さん
2012/10/05(金) 22:00:31.44でも難しすぎて全然分からない…涙目
0542１３２人目の素数さん
2012/10/05(金) 22:10:44.300543１３２人目の素数さん
2012/10/05(金) 23:14:31.930544１３２人目の素数さん
2012/10/05(金) 23:52:06.88不等式──21世紀の代数的不等式論
http://www.sugakushobo.co.jp/903342_70_mae.html
第 l 章 基本的な不等式
1.1 AM-GM不等式
1.1.1 AM-GM不等式
1.1.2 Maclaurinの不等式
1.1.3 Newtonの不等式
1.2 Jensenの不等式
1.2.1 凸関数
1.2.2 Jensenの不等式
1.2.3 重み付きAM-GM不等式
1.2.4 Karamataの不等式
1.2.5 Muirheadの不等式
1.3 他の有名な不等式
1.3.1 Cauchyの不等式
1.3.2 Chebyshevの不等式
1.3.3 並べ替え不等式
1.3.4 Holderの不等式
1.3.5 Power Mean不等式
1.3.6 Minkovskiの不等式
1.3.7 Bernoulliの不等式
0545１３２人目の素数さん
2012/10/05(金) 23:53:02.222.1 ウォーミングアップ
2.1.1 対称式と巡回式
2.1.2 対称不等式
2.1.3 巡回不等式
2.1.4 5次以上の対称・巡回不等式
2.1.5 一般の多項式型不等式
2.1.6 三角形型斉次対称・巡回不等式
2.2 3次斉次不等式
2.2.1 基本対称式
2.2.2 凸錐
2.2.3 3次巡回不等式の基本定理
2.3 4次斉次不等式
2.3.1 4次対称不等式の基本定理
2.3.2 4次巡回不等式の基本定理
2.3.3 基本定理の応用
2.4 5次斉次不等式
2.4.1 5次対称不等式の基本定理
2.4.2 5次巡回不等式
2.5 6次斉次不等式
2.5.1 6次対称不等式の基本定理
2.5.2 例題
2.5.3 6次巡回不等式詳論
第 3 章 3変数有理・無理不等式
3.1 有理式型不等式
3.1.1 一般論
3.1.2 分母が1次の斉次巡回有理不等式
3.1.3 分母が1次の一般有理不等式
3.1.4 分母が2次の斉次巡回有理不等式
3.1.5 分母が2次の一般有理不等式
3.1.6 分母が3次以上の有理不等式
0546１３２人目の素数さん
2012/10/05(金) 23:53:34.173.2.1 一般論
3.2.2 斉次巡回無理不等式
3.2.3 一般無理不等式
3.3 制約条件下の不等式
3.3.1 一般論
3.3.2 多様体上の不等式
3.3.3 領域上の不等式
3.3.4 無理不等式
第 4 章 凸解析
4.1 基本定理
4.1.1 Hungの定理
4.1.2 RCF-定理
4.1.3 Popoviciu-Cirtoajeの不等式
4.1.4 EV-定理
4.1.5 UMV-定理
4.2 例題
第 5 章 巡回和
5.1 やさしい巡回不等式
5.1.1 Shapiro型の巡回不等式
5.2 Shapiroの巡回不等式
5.2.1 基本定理
5.2.2 指数とセグメント
5.2.3 Bushellの定理
5.2.4 Bushell-McLeadのセグメント定理
5.2.5 短いセグメント
5.2.6 命題P_12とP_23の証明
5.2.7 n=14, n=25 の場合の考察
5.2.8 Drinfel'dの定理
0547１３２人目の素数さん
2012/10/05(金) 23:59:31.77不等式の代数的理論は，Muirheadの不等式が 1902年に発見されて以来，
数十年間めぼしい進展がなかった．
そのため，多くの数学者からは，代数 的不等式論は「終わった数学」
のような扱いを受けてきて，あまり省みら れることがなかった．
しかし，1990年ころから，多数の新しい定理が次々 に発見され始めた．
不等式は高校数学の延長のようなものだから，式変形のテクニックさえ
達者であれば，何とか証明できるだろう，などと考えるのは，ちょっと時代錯誤である．
20世紀半ばまでに証明できなかった不等式は，式変形の技巧だけでは，なかなか証明できない．
本格的な理論や道具を工夫することによって，はじ めて証明できる不等式も多いのである．
本書では，従来の不等式の本より， 体系的理論の説明が多く，式変形の技巧による
不等式の証明ではなく，代 数幾何や凸解析を利用した間接的な証明が多く登場する．
0548１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 00:02:25.84俺のテクニックは時代遅れだったのか…
, / ,
, / / , / ,
/ '＾ﾒ-' ─/- ､ / ,
∠ｒ _,゛_ / , ヽ/__/ ﾓｳ ﾀﾞﾒﾀﾞ…
''ヽ'_･.ノ｀ ' ｒ/、 ﾍ /‐’
./ " j 厂ﾞj | ﾚ_｀> j__ /
' .:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
0549549
2012/10/06(土) 00:45:55.510550550
2012/10/06(土) 01:41:53.850551１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 02:16:20.43, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0552１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 02:17:21.84, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0553１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 02:21:50.690554１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 02:26:48.22定理です. でも, あといくつかの定理がこの本では触れられていませんね。
このようなことが影響しているのでしょうか。最近, IMOで不等式の出題が影を
ひそめていました。今年,出題されましたけれども。この問題は,完答しなければ
IMOでは, 戦えないですね。
0555１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 02:27:21.18, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0556１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 02:28:29.76* o o. |l|ＦＦＦＦＦＦF ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
。。oo |l|ＦＦＦＦＦＦ | 今まで俺たちのやっていたことは何だったんだろう…
／|￣￣￣ｌ ::|ＦＦＦＦＦＦF ＼
|ミ|:」」:」」:」| ::|ＦＦＦＦＦＦ ￣|/￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|ミ|:」」:」」:」| 〇 ＦＦ.。 ∧＿∧ |l≡ｏ ＋ +! ＋ 。 〇 ＋
ｌミｌ.」」.」〇 +＋ ＋ （´・ω・） ｏ 〇 。 o + 〇 。 +
＿＿〇＿＿＿。＿ﾟ＿＿/ ~つと）___＿o＿＿＿＿＿＿〇＿＿o__＿。
二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Ｉl二Il二
0557１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 02:30:45.68, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0558１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 05:09:25.57a+a > a+ b > a+c > b+b > b+c > a+d > c+c > b+d > c+d > d+d をみたす自然数解を求めよ
0559１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 05:31:36.14つまり、山のふもとでﾊｧﾊｧしていたわけですね
0560１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 06:26:35.44, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0561１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 06:58:45.71１９９０以前の数学か
俺たちは時代の流れに取り残されたのか…
0562１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 07:38:59.88これからは君達を「骨董品コレクター」と呼ばせてもらうよ
0563１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 07:56:29.300564１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 08:18:28.88通 素材の味を楽しむ 自然本来の味 う 塩でその店のレベルがわかる
は 塩最高 素材の味 な 素材の味 素材
塩 「塩で」 ぎ の味
甘ったるいタレで焼き鳥が食えるか の タレ厨は味覚障害者
素材の味 白.. 異 高い店で食ったことないんだろ？
臭い肉をごまかすためのタレ 焼 . .論 素材の味
タレは子供用 素材の味 き は 素
素 ／￣￣￣＼ 認 タレはタレの味しかしない 材
最終的にたどり着くのは塩 材 ...／.＼ ／. ＼ め の
の ／ <●> <●> ＼ 本 な 焼き鳥＝塩 味
. 「タレ」から「塩」に 味 | （__人__） | 当 い
普通は塩 ＼ `ー'´ ／ の 高い店なら塩、安い店ならタレ
シンプルに塩 .. ／ ＼ 味
素材の味 覚 たれ（笑） 素材本来の味
素材の味 子供の頃はタレだったが今は塩
塩こそ最高の調味料！！
0565１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 20:38:04.41〔類題〕
0 ≦ a,b,c,d ≦ 1 ⇒
(ac+bd-abcd)^2 ≦ (a+b-ab)(b+c-bc)(c+d-cd)(d+a-da) ≦ ac+bd-abcd,
0566１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 20:45:27.60{a,b,c,d}のうちの２つが１ならば等号成立。
(右辺) - (左辺) = A(1-b)(1-c)(1-d) + (1-a)B(1-c)(1-d) + (1-a)(1-b)C(1-d) + (1-a)(1-b)(1-c)D + (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)E,
ここに、
A = (a^2)c,
B = (b^2)d,
C = (c^2)a,
D = (d^2)b,
E = ac(b+d-bd) + bd(a+c-ac) + (ac+bd+abcd),
〔参考〕casphy - 高校数学 - 937～938
0567１３２人目の素数さん
2012/10/06(土) 21:41:55.21ac+bd-abcd = (a+b-ab)(c+d-cd) -a(1-b)(1-c)d -(1-a)bc(1-d)
≦ (a+b-ab)(c+d-cd),
bd+ac-abcd = (b+c-bc)(d+a-da) -ab(1-c)(1-d) -(1-a)(1-b)cd
≦ (b+c-bc)(d+a-da),
辺々掛ける。
〔参考〕 casphy - 高校数学 - 939～940
0568１３２人目の素数さん
2012/10/07(日) 00:59:37.690569１３２人目の素数さん
2012/10/07(日) 02:26:14.75>>558
0570１３２人目の素数さん
2012/10/07(日) 11:57:45.55もっと骨のある問題を下さい
0571１３２人目の素数さん
2012/10/08(月) 22:34:12.34>>319-324
n=3 のとき >>458 を使って強引に解く。
基本対称式を
a+b+c = 1+σ, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおくと、
u ≦ {－(1+σ)[2(1+σ)^2 -9t] ＋ 2[(1+σ)^2 -3t]^(3/2)}／27,
0572１３２人目の素数さん
2012/10/08(月) 22:46:00.50題意により、
(1+σ)^2 - 2t = a^2 + b^2 + c^2 = 1,
t = σ(2+σ)/2, (0≦σ≦√3 -1 < 7/9)
(左辺) = σ{σ(2+σ)/(2u) + 1},
ところで、>>571 から
u ≦ {－(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2)＋2(1-σ-0.5σ^2)^(3/2)}／27
よって本問は次の補題に帰着する。
〔補題〕
0≦σ≦√3 -1 のとき、
{－(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2)＋2(1-σ-0.5σ^2)^(3/2)}／27
≦ σ^2･(2+σ)/{2(4-kσ)},
k = 4/9 - 4/25 = 2.56/9 = 0.2844444
0573１３２人目の素数さん
2012/10/08(月) 22:54:07.28〔補題〕の略証 >>572
-(1+σ)(2-5σ-2.5σ^2) ＝ -2 +3σ +7.5σ^2 +2.5σ^3,
また
(1+σ)^2 -3t ＝ 1 -σ -0.5σ^2,
√(1-σ -0.5σ^2) ≦ 1 -0.5σ -0.375σ^2,
を辺々掛けて
2･(1-σ -0.5σ^2)^1.5 ≦ 2 -3σ -0.75σ^2 +1.25σ^3 +0.375σ^4,
以上により
(左辺) ≦ σ^2･(6.75 +3.75σ +0.375σ^2)/27
= σ^2･{8 +(40/9)σ +(4/9)σ^2}/32
< σ^2･(2+σ)(4+kσ)/32 (← *)
< σ^2･(2+σ)/{2(4-kσ)}
< (右辺),
*) 8 + (40/9)σ +(4/9)σ^2
< 8 + (40/9)σ +(4/9)σ^2 + (4/25)σ(7/9 - σ)
= 8 + (4+2k)σ +kσ^2
= (2+σ)(4+kσ),
(参考) casphy - 高校数学 - 三次方程式教えてくださいスレ - 16～19
華麗なるキャスフィーでござるよ。
0574１３２人目の素数さん
2012/10/08(月) 23:35:25.44凄い！
n=3の時だけでもこんなに大変なのか！
n≧4の時は絶望的か？
0575１３２人目の素数さん
2012/10/09(火) 20:17:04.58> 華麗なるキャスフィーでござるよ。
労力は認めるが、華麗とは思えないなあ
0576１３２人目の素数さん
2012/10/09(火) 20:18:30.53325 自分：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/04(火) 01:20:05.87
>>276
( 農[k:1->n] x_k - 1)( 農[k:1->n] 1/x_k + 1)
= 農[k:1->n] x_k 農[k:1->n] 1/x_k + 農[k:1->n] x_k - 農[k:1->n] 1/x_k -1
ここで、第１項はコーシー・シュワルツの不等式より、
農[k:1->n] x_k 農[k:1->n] 1/x_k ≧ { 農[k:1->n] 1 }^2 =n^2
また、条件 農[k:1->n] (x_k)^2 = 1 より、
農[k:1->n] x_k ≦ { 農[k:1->n] (x_k)^2 }^{1/2} {農[k:1->n] 1^2}^{1/2} = √n
となる。
よって、
0577１３２人目の素数さん
2012/10/09(火) 20:52:07.75次が分かればいいんですね
[問題]
農[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たす x_1, x_2, ,, ,x_n >0 に対して、
農[k:1->n] 1/x_k の最大値を求めよ。
0578１３２人目の素数さん
2012/10/09(火) 21:09:02.080579１３２人目の素数さん
2012/10/09(火) 21:36:30.55村上春樹の一番のお気に入りの本。
「この小説に出会わなければ、僕は小説家になっていなかった。」とまで言わせる至上最高の作品。
（もちろん彼にとって）
0580１３２人目の素数さん
2012/10/09(火) 23:13:38.21２項目と３項目の最小値が問題なのでは？
[問題]
農[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たす x_1, x_2, ,, ,x_n >0 に対して、
農[k:1->n] x_k - 農[k:1->n] 1/x_k の最小値を求めよ。
0581１３２人目の素数さん
2012/10/10(水) 22:58:10.24Prove that :
$$\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{b+c-a}+\frac{c^2+a^2-b^2}{c+a-b}\le a+b+c$$
http://suseum.jp/gq/question/1852
0582１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 00:25:41.03BC=a, CA=b, AB=c のとき
(a^2+b^2-c^2)/(a+b-c) + (b^2+c^2-a^2)/(b+c-a) + (c^2+a^2-b^2)/(c+a-b) ≦ a+b+c,
ですね。
a=y+z, b=z+x, c=x+y (x,y,z>0) とおく。
以下casphyで...
0583１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 00:29:01.70誰も書かなくなってるじゃん
0584１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 02:21:03.72Σ[k=1→n]1/a[k]=1のとき、Π[k=1→n](a[k]-1)≧(n-1)^nを示せ
0585１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 08:05:17.13casphyぢゃなく、こっちに書いてくだされ！
情報が分散していると整理しづらいでござるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾆﾝﾆﾝ
0586１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 08:09:36.88スレは>>869
あの一つだけ？
0587１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 08:12:41.79変なのが混じった
スレは一つだけ？
0588１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 09:15:52.10http://www.casphy.com/bbs/test/subject.cgi?all=highmath
まあマイナー？掲示板だし2007年からのスレだし違う不等式スレは無かったんじゃない？
0589１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 20:52:32.48分母を
b+c-a = A ･････ (1)
c+a-b = B ･････ (2)
a+b-c = C ･････ (3)
とおく。(1) + (2) + (3) から
a+b+c = A+B+C ･････ (4)
(1),(2),(3),(4) から
a = (B+C)/2,
b = (C+A)/2,
c = (A+B)/2,
分子は
b^2 +c^2 -a^2 = {A(A+B+C) - BC}/2,
c^2 +a^2 -b^2 = {B(A+B+C) - CA}/2,
a^2 +b^2 -c^2 = {C(A+B+C) - AB}/2,
よって
(左辺) = (3/2)(A+B+C) -(1/2)(BC/A + AC/B + AB/C)
= A+B+C -(1/2)(BC/A + CA/B + AB/C -A -B -C)
= A+B+C -{(BC)^2 + (CA)^2 + (AB)^2 -ABC(A+B+C)}/(2ABC)
= A+B+C -{(A^2)(B-C)^2 + (B^2)(C-A)^2 + (C^2)(A-B)^2}/(4ABC)
= a+b+c -{(b+c-a)^2･(c-b)^2 + (c+a-b)^2･(a-c)^2 + (a+b-c)^2･(b-a)^2}/(ABC)
≦ a+b+c, (← ABC>0 ← 題意)
等号成立は、a=b=c のとき。 (a-b=c=0 は A=B=0 となる。不適)
※ A/2, B/2, C/2 は各辺を 内接円の接点で分けた線分の長さ。
0590１３２人目の素数さん
2012/10/11(木) 22:11:52.03http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewforum.php?f=32&
既出？
0591１３２人目の素数さん
2012/10/12(金) 08:11:54.19玉石混交で、面白いのを探すのが大変ですね ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0592１３２人目の素数さん
2012/10/12(金) 13:43:11.79今までずっと（ｒｙ
0593１３２人目の素数さん
2012/10/12(金) 13:54:06.150594１３２人目の素数さん
2012/10/12(金) 21:00:31.69http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/timg/middle_1187758499.png
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/timg/middle_1187487844.png
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/timg/middle_1187408412.png
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/168.html
0595１３２人目の素数さん
2012/10/12(金) 21:57:49.85問1 関数f(t)は、つねに f "(t) ≧ 0 であるとする。
u(x) = ∫[-x,x] f(t)dt
とおく。 x{u '(x) - 2f(0)} ≧ 0, u(x) ≧ 2f(0)x,
問2 関数g(s)は、つねに g "(s) ≧ 0 を満たすとする。a<b のとき、不等式
∫[a,b] g(s)ds ≧ (b-a)g((a+b)/2),
(1) x>0 のとき、 log(x+1) - log(x) < 1/x,
(2) x≧1 のとき、 x･log(x) ≧ (x-1)log(x+1),
(3) 自然数n（n≧3）に対して、 (n!)^2 > n^n,
0596１３２人目の素数さん
2012/10/12(金) 22:13:05.31問1
u(x)は奇関数、u '(x)は偶関数
u(0) = 0,
u '(x) = f(x) + f(-x)
u '(0) = 2f(0),
u "(x) = f '(x) - f '(-x) = ∫[-x,x] f "(t)dt ≧ 0,
x{u '(x) - u '(0)} ≧ 0,
u(x) ≧ u '(0)x,
問2
{g(s) + g(a+b-s)}/2 ≧ g((a+b)/2),
（左辺) ≧ g((a+b)/2)∫[a,b] ds = (b-a)g((a+b)/2),
0597１３２人目の素数さん
2012/10/12(金) 23:02:46.46(1)
log(x+1) - log(x) = ∫[x,∞) {1/t - 1/(t+1)}dt
= ∫[x,∞) 1/{t(t+1)} dt
< ∫[x,∞) 1/t^2 dt
= 1/x,
(2)
log(t+1) - log(t) < 1/t,
∫[1,x] {log(t+1) - log(t)}dt < ∫[1,x] 1/t dt,
(x+1)log(x+1) - x･log(x) -2･log(2) ≦ log(x),
(3) x=1,2,････,n-1 で和をとる。
n･log(n) -2log(2)(n-1) < log{(n-1)!},
4^(n-1)･(n-1)! > n^n,
0598１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 00:47:02.94今年の某大学入試より。
0≦x≦π/2 において、 (sin(x)+cos(x))*((7/4)-sin(x)*cos(x))≦(3/2)^(3/2)
0599１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 00:49:49.88帰れよ！
0600１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 01:47:02.99【問題】
農[k:1->n] (x_k)^2 = 1 を満たす x_1, x_2, ,, ,x_n >0 に対して、次の不等式を示せ。
Π_[k:1->n] { x_k - (1/x_k) } ≧ { √n - (1/ √n) }^n
0601１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 01:50:01.18{sin(x)+cos(x)}^2 = 1 + 2sin(x)cos(x),
(7/4) -sin(x)cos(x),
(7/4) -sin(x)cos(x),
この３つの相加平均は 3/2 なので....
0602１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 02:07:46.37高校数学はスレ違い
帰れよ！
0603１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 02:10:45.850604１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 02:54:00.21高校数学はこちらのスレでどうぞ
http://www.casphy.com/bbs/test/subject.cgi?all=highmath
不等式
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
0605１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 05:20:19.16（ ・∀・） | | ｶﾞｶﾞｯ
と ） | |
Ｙ /ノ .人
/ ） .人 < >__Λ ∩
＿/し' < >_Λ∩Д´）/
（＿フ彡 Ｖ｀Д´）/ / ←>>599
/ ←>>602
0606１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 12:01:49.89casphy
Λ＿Λ ＼＼
（ ・∀・） | | ｶﾞｶﾞｯ
と ） | |
Ｙ /ノ .人
/ ） .人 < >__Λ ∩
＿/し' < >_Λ∩Д´）/
（＿フ彡 Ｖ｀Д´）/ / ←>>603
/ ←>>605
0607１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 12:13:16.56ここは不等式回収所だぞ
0608１３２人目の素数さん
2012/10/13(土) 12:15:25.41.／ ≧ ＼ 仲良くしたまえ！
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＼＼
ヽ::::... .ワ.....ノ .| | ｶﾞｶﾞｶﾞｶﾞｯ 人
と ） | | 人 < >__Λ∩
Ｙ /ノ .人 < >__Λ∩Д´）/
/ ） .人 < >__Λ ∩Д´）/ / ←>>599
＿/し' < >_Λ∩Д´）/ / ←>>602
（＿フ彡 Ｖ｀Д´）/ / ←>>605
/ ← >>606
0609１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 01:23:01.19農[k:1→n] (1/x_k － x_k) の最小値。
f(y) = 1/√y - √y は下に凸だからイェンゼンより
農[k:1→n] f({x_k}^2) ≧ n･f((1/n)農[k:1→n] {x_k}^2）
= n･f(1/n)
= n･(√n - 1/√n)
= (n-1)√n,
>>598
2sin(x)cos(x) = S とおくと、 |S| ≦ 1
(3/2)^3 - (左辺)
= (3/2)^3 - (1+S){(7/4) -S/2}^2
= (1/16){54 -(1+S)(7-2S)^2}
= (1/16)(5-S)(1-2S)^2
≧ 0,
等号成立は sin(2x)=S=1/2, 2x=π/6, x=π/12.
0610１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 03:18:28.29$$\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+2(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C})>3\pi$$.
http://suseum.jp/gq/question/1829
0611１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 07:16:10.900612１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 07:37:54.85スネリウス-ホイヘンスを使う方法(クロニャンコ etc.）が簡単。
他には、
f(x) = tan(x) + 2sin(x) -3x
とおくと
f "(x) = 2sin(x){1-cos(x)^3}/cos(x)^3 ≧ 0,
ゆえ f(x) は下に凸
から Jensen を使う方法（Sayan）や
tan(x) > x +(1/3)x^3,
sin(x) > x -(1/6)x^3,
sin(x) > x -(1/6)x^3,
をたす方法（nicusorz）がある。
0613１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 10:01:15.20スネリウス-ホイヘンスって、なんじゃらほい？
0614１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 14:44:15.57証明は意外と簡単。
f(x) = logx / x が x ≧e で単調増加であることを言えばOK
0615614
2012/10/14(日) 14:45:13.68訂正：単調増加→単調減少
0616１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 15:00:34.630617１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 15:06:47.73ん、どうするの？
0618１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 15:14:46.44どうするんだろ？
0619１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 15:31:27.22, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0620１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 16:34:49.95> f(x) = logx / x が x ≧e で単調減少であることを言えばOK
これで秒殺と思えないのは、高校数学からやり直せ！
0621１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 16:38:11.14f(x) = logx / x が x ≧e で単調減少である（微分すれば分かる）ので、
log e / e > log π / π．
すなわち、
log e^π > log π^e
log は単調増加だから、
e^π > π^e
となる。
0622１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 16:41:36.85ん、違う違う。それはわかってるんだ。
俺が言ってるのは>>616の
> >>611 e^x≧1+xを使えば, 秒殺！
てどういう解法？ってこと。
0623あのこうちやんは始皇帝だった
2012/10/14(日) 19:29:28.40オマエたちは、定職に就くのが先決だろがああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
ニート・無職の、クズどもがあああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
0624１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 19:37:18.45> >>611 e^x≧1+xを使えば, 秒殺！
x= π/e－１ とおくと、
e^{π/e－１} ≧ π/e
よって、
e^π ≧π^e
0625１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 19:39:51.360626１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 19:49:25.50思いつけと言われても無理です＞＜
0627１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 20:26:39.520628１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 20:35:21.14まあ >>621 の解答が一番自然じゃないかな。
e が出てくるんだから log を使うのも自然だし、道筋も王道。
技巧的な証明でも、このレベルじゃ対して価値は無いし
0629１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 20:47:52.57そんなことはないと思うが。
0630１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 20:57:27.88より初等的な概念だけを使って、少ない道具立てで証明できているときかな？
0631１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 20:58:02.010632１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 21:14:54.31禿同
>>621と>>624じゃあ大差ないわな
まだ理論的な>>621の方が他の問題にも使えるし、価値が高い。
0633１３２人目の素数さん
2012/10/14(日) 21:17:01.50f(x) = e^x -x^e ≧ 0 となる実数 x の範囲を求めよ。
0634１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 03:51:09.33947 prime_132 [2012/10/14(日) 18:26:04] sage
>>870
〔Snellius-Huygens の式〕
θ < (2sinθ + tanθ)/3, （0<θ<π/2)
略証1.
相加･相乗平均より
1 < {cos(x) + cos(x) + 1/cos(x)^2}/3,
xで積分する。 [0→θ]
略証2.
-cos(x) > -1 (0≦x)
を [0,x'] で3回積分すると、
sinθ ≧ θ{1 - (1/6)θ^2}, ････ (1)
もう一度積分して
1 - cosθ ≧ (1/2)θ^2 - (1/24)θ^4,
∴ cosθ ≦ 1 - (1/2)θ^2 + (1/24)θ^4 ≦ {1 - (1/6)θ^2}^3, ( |θ| < 3)
∴ tanθ ≧ θ/{1 - (1/6)θ^2}^2 ≧ θ{1 + (1/3)θ^2}, ･････ (2)
(1)(2)から相加･相乗平均で
θ < sinθ/(cosθ)^(1/3) < (2sinθ + tanθ)/3,
0635１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 07:02:37.220636１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 08:39:00.51http://suseum.jp/gq/question/1858
0637１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 13:52:26.21この投降者、よく訓練された不等式ヲタですね
0638１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 13:54:49.850639１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 19:56:01.26＿ （）)二) )) 、,r:ﾆヽ いいぞ ベイべー！
@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` )) 不等式を収集し証明する奴は 数ヲタだ！！
^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-( ) 不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された数ヲタだ！！
_/ ＼_ L L ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ
0640１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 21:50:24.74>>636
0≦x,y,z≦1 のとき √|y-z| + √|z-x| + √|x-y| の最大値を求めよ。
(略解)
min{x,y,z} = m について単調減少で、m=0 のとき最大。
Max{x,y,z} = M について単調増加で、M=1 のとき最大。
中間元をxとしても一般性を失わない。
このとき
(与式) ≦ √(1) + √(1-x) + √(x)
≦ 1 + 2√(1/2) (← √x は上に凸)
= 1 + √2,
0641１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 22:00:44.28sinθ/(cosθ)^(1/3) = f(θ) とおくと、
f '(θ) = {(cosθ)^2 + (cosθ)^2 + 1}/{3(cosθ)^(4/3)}
≧ 1, (← 相加･相乗平均)
f(θ) ≧ θ.
でもよい。
0642１３２人目の素数さん
2012/10/15(月) 23:51:55.05http://suseum.jp/gq/question/1859
0643１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 00:26:39.680644１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 01:14:47.25x>1に対して、sin{1/(x-1)} - sin(1/x) > sin(1/x) - sin{1/(x+1)}
0645１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 09:01:00.820646１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 09:53:45.202^(a+b+c)≧2^(a+b)+2^(b+c)+2^(c+a)-4を示せ
0647１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 11:08:44.150648１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 20:57:20.82目で殺すって…
0649１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 21:02:20.00／.⌒ヽ
／ .＼
../ ヽ. ＼
(./ ヽ. ）
/ l"
.ﾉ l 甘い痺れがいつまでもとれません！
l ＞ ＜ ..|
l 一 |
ヽ.._____ _,ノ ビクッ
. 丿ﾉ ﾉ 丁丁￣l＼ ぶるぶる
. く_(__（＿（_._」____）ノ
0650１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 21:05:11.31＞∫[0、π] x・√(1 - sin^2 x) dx
＝∫[0、π] x・｜cos x｜ dx
0651１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 21:23:31.362012/10/16(火) 07:16:58.78 ID:BrZTwPa50
(1) 任意の実数xに対し、不等式 e^x ≧ 1+x を示せ。
(2) e^{π/e－１} ≧ π/e を示せ。
(3) e^π ≧ π^e を示せ。
332:大学への名無しさん[]
2012/10/16(火) 13:26:36.09 ID:BrZTwPa50
私は結構感動したのですけど向こうではイマイチ不評だったので
コチラの住人的にはどうかな、と思って…
334:大学への名無しさん[]
2012/10/16(火) 13:33:46.87 ID:BrZTwPa50
f(x) = log(x)/x の増減から証明する方法は知ってましたが
よりシンプルな e^x > 1+x から示すのは知りませんでした。
これ有名なんですか。よかったらこれが載ってる参考書とかサイトとかあったら教えて下さい。
335:大学への名無しさん[sage]
2012/10/16(火) 13:34:48.41 ID:BrZTwPa50
「これ」とは勿論「この証明方法」のことです。
【月刊大学への数学】学力コンテスト･宿題14
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1345559361/
0652１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 21:40:59.43(2)があるとA☆
0653１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 21:57:32.480654１３２人目の素数さん
2012/10/16(火) 21:59:48.96雑誌からのネタだったのか…
最初に考えたやつスゴイな
0655１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 00:24:28.72f(πｰx) = f(x) のとき、
∫[0,π] x･f(x) dx = ∫[0,π/2] {x + (π-x)}f(x) dx
= π∫[0,π/2] f(x)dx,
√{1-sin(x)^3} > √{1-sin(x)^2} = |cos(x)|
より
∫[0,π/2｣ √{1-sin(x)^3} dx
> ∫[0,π/2] cos(x)dx
= [ sin(x) ](x=0,π/2)
= 1, >>650
√{1-sin(x)^3} < 1 -(1/2)sin(x)^3 = 1 -(3/8)sin(x) +(1/8)sin(3x)，
より
∫[0,π/2] √{1-sin(x)^3} dx < [ x +(3/8)cos(x) - (1/24)cos(3x) ](x=0,π/2)
= π/2 -(3/8) +(1/24)
= π/2 - (1/3),
π < (与式) < π(π/2 - 1/3) = 1.2374630π
3.14159265 < (与式) < 3.88760465
なお、(与式) ～ 1.09010166π
0656１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 00:49:44.73＜∫[0,π/2] √{1-sin(x)^4} dx
＝∫[0,π/2] cosx√{1+sin(x)^2} dx
＜∫[0,π/6] cosx√{1+sin(π/6)^2} dx
＋∫[π/6,π/2] cosx√{1+sin(π/2)^2} dx
0657１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 01:26:08.27上限はSchwarzの不等式で ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
ｒ､ﾉVV＾ｰ八
､^':::::::::::::::::::::::＾vｨ ､ヽ l / ,
l..:.::::::::::::::::::::::::::::ｲ = =
|.:::::::::::::::::::::::::::::: | ﾆ= 仙 そ -=
|:r￢‐--─勹:::::| ﾆ= 道 れ =ﾆ
|:} _＿ ､.＿ ｀}f'〉ｎ＿ =- な. で -=
、､ l | /, , ,ﾍ}´`'｀｀ `´` |ﾉ:::|.| ヽ ﾆ .ら. も ﾆ
.ヽ ´´, ,ゝ|、 ､, l|ヽ:ヽヽ } ´r ： ヽ｀
.ヽ し き 仙 ﾆ. ／|｛/ :ヽ -=- ./| |.|:::::| | | ´/小ヽ｀
= て っ 道 =ﾆ ／:.:.::ヽ､ ＼二／ :| |.|:::::| | /
ﾆ く. と な -= ヽ､:.:::::::ヽ､.＿､ ＿,ﾉ/.:::::| | /|
= れ.何 ら -= ヽ､:::::::::＼､＿＿／::.z先.:| |' :|
ﾆ る と =ﾆ | |:::::::::::::::::::::::::::::::::::.|'夂.:Y′ﾄ､
/, ： か ヽ､ | |::::::::::::::::::::::::::::::::::::_土_::| 'ﾞ, .＼
/ ヽ、 | |:::::::::::::::::::::::::::::::::::.|:半:|.ﾄ､ ＼
/ / 小 ＼ r￢|ﾉ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::| ＼
0658657
2012/10/17(水) 01:28:34.730659１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 01:49:04.12四面体の6本の辺の長さの積をL、体積をVとするとき、L^2/V≧72 を示せ
0660１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 06:06:15.86, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | あら、こうちゃん、どうかなったの？
| ` -'＼ ｰ' 人 当々○○○○になったの？
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
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0661１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 08:13:35.62違うお
こっちのスレが先で、感動を分けたくて向こうの板に(問題形式で)転載したんだお
0662１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 09:09:16.38Prove that : $$(x^2+y^2+z^2)^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$$
Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that $\displaystyle \frac{1}{|a+b|}+\frac{1}{|b+c|}+\frac{1}{|c+a|}=3.$
Prove that :
$$\displaystyle |a|+|b|+|c|\geq \frac {3}{2}.$$
Find all non-zero real numbers $x$ such that
\[\min \left\{ 4, x+ \frac 4x \right\} \geq 8 \min \left\{ x,\frac 1x\right\} .\]
For positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=2010$, find the minimum value of the expression:
\[\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}+\frac{a^2+b^2}{c}\]
$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$, for some $k$ we have $a_j\leq 0$ for $j\leq k$ and $a_j \geq 0$ for $j > k$. \
If $a_i$ are not all 0, show that $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... + na_n > 0.$
\begin{flushright}1966 Swedish Mathematical Olympiad\end{flushright}
Let $ x$ and $ y$ positive real numbers such that $ (1+x)(1+y)=2$. \ \\
Prove that?: $$\ \displaystyle xy+\frac{1}{xy}\geq\ 6.$$
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.\ \\
Find the minimum value of the expression:\ \\
$$\displaystyle a\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)+b\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right).$$
http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504?page=17
0663１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 13:27:35.10すうじあむの不等式ヲタ（←勝手に決めつけている）の出題した問題を全問攻略するんですね、分かります
0664１３２人目の素数さん
2012/10/17(水) 21:59:26.34その解法の出典って大数？
だとしたら何年の何月号とか教えて欲しいんだが。
0665あのこうちやんは始皇帝だった
2012/10/17(水) 22:04:16.20, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| ` -'＼ ｰ' 人 馬鹿で無能のこうちゃんは
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0667１３２人目の素数さん
2012/10/18(木) 08:34:13.16分かったかな、664君
0668１３２人目の素数さん
2012/10/18(木) 21:20:26.08過去問も何も、こんな証明古くから知られているよ
ていうか、e^x ≧ 1+x を用いるのは、相加・相乗平均の証明で使うだろ。
技術面だけに目を奪われるから、こんなので驚くんだよｗ
0669１３２人目の素数さん
2012/10/18(木) 21:27:33.390670１３２人目の素数さん
2012/10/18(木) 21:36:15.07i) f (x) = log x と置いて、これに区間 [1, log π] で平均値の定理を適用すると、
{f (log π) - f (1)}/{(log π) -1} = f '(c) = 1/c, 1 ＜ c, これより
1 ＞ (log log π)/{(log π) - 1}, log (π/e) ＞ log log π, π/e ＞ logπ, π ＞ log (πe) より出る。（勿論、 1 ＜ e ＜ π 位は仮定する）
ii) 別解、積分を使う物。
∫[ 1 → π/e] {1 - (1/x)}dx ＞ 0 （被積分関数は積分範囲で端点を除いて正）より、 π/e ＞ logπ を出す
0671１３２人目の素数さん
2012/10/18(木) 21:40:39.68○ π ＞ log (π^e)
0672１３２人目の素数さん
2012/10/18(木) 22:43:56.80ﾊｧﾊｧ ∩
( ⌒)＿ ∩_ _ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ |
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n
ヽ__￣ ノ ヽ | ￣ ＼ （ E）
/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／
0673１３２人目の素数さん
2012/10/18(木) 22:50:09.75[1] >>160 >>170-171
x>0, y>0, z>0 のとき、
(x^2 +y^2 +z^2)^2･(1/x + 1/y + 1/z) ≧ (x+y+z)^3,
[2]
(|a|+|b|+|c|)･(1/|a+b| + 1/|b+c| + 1/|c+a|) ≧ 9/2,
[4]
a>0, b>0, c>0, a+b+c=s のとき、
(b^2 + c^2)/(as) + (c^2 + a^2)/(bs) + (a^2 + b^2)/(cs) の最小値
[5]
a_1 + a_2 + ････ + a_n = 0,
ある k があって、
a_j ≦ 0 (j≦k)
a_j > 0 (j>k)
のとき、
a_1 + 2･a_2 + ････ + n･a_n > 0,
[6]
x>0, y>0, (1+x)(1+y) = 2 のとき、
xy ≦ (√2 - 1)^2,
xy + 1/(xy) ≧ 6,
0674１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 00:12:54.80[2] 相乗･調和平均より
1/|a+b| + 1/|b+c| + 1/|c+a| ≧ 9/(|a+b|+|b+c|+|c+a|)
≧ 9/{2(|a|+|b|+|c|)},
[6]
2 = (1+x)(1+y)
= 1 +(x+y) + xy
≧1 +2√(xy) + xy
= {1+√(xy)}^2
∴ (√2 -1)^2 ≧ xy,
1/(xy) -6 +xy = {1 -6xy +(xy)^2}/(xy)
≧{(√2 +1)^2 -xy}{(√2 -1)^2 -xy}/(xy)
≧ 0,
0675あのこうちやんは始皇帝だった
2012/10/19(金) 07:10:18.35, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| ` -'＼ ｰ' 人 馬鹿で無能のこうちゃんは
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0676１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 08:04:47.21じゃあ
この証明を紹介している本とか教えて下さい。
0677１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 09:46:38.07秒殺の解法のヒント
肩の荷を降ろそう
0678１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 13:27:33.67何ですか、それは？
0679１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 15:07:59.280680１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 15:15:16.250681１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 16:13:39.860682１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 16:50:00.470683１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 17:08:34.170684１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 17:20:18.64x= π/e－１ とおくと、
e^{π/e－１} ≧ π/e
よって、
e^π ≧π^e
これって, かなり有名ですわ。
http://www.wilmott.com/messageview.cfm?catid=26&threadid=38623
結局, 671の方のやり方ですわ。
0686１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 18:50:01.10スレ違いだろ馬鹿
0687１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 18:54:12.540688あのこうちやんは始皇帝だった
2012/10/19(金) 19:29:02.31６０代の、無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、関西の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
0689あのこうちやんは始皇帝だった
2012/10/19(金) 20:30:26.28, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0690１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 20:52:52.04Do not be angry.
Are you NONKE?
NONKE is very good.
0691１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 21:34:23.67NONKI is correct.
0692１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 21:38:32.780693１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 23:26:10.62[4]
コーシーで
(2s)s･(与式) = (a+a+b+b+c+c)s･(与式) ≧ (2s)^2
∴ (与式) ≧ 2,
(別解)
r≦0 または r≧1 のとき Jensenの不等式で
a^r+ b^r + c^r ≧ 3(s/3)^r, >>170-171
これとチェビシェフで
(与式) ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)(1/a + 1/b + 1/c)(1/s)
≧ (2/3)(1/3)s^2 (9/s)(1/s)
= 2,
[2] は相加･調和平均だった....orz
0694１３２人目の素数さん
2012/10/19(金) 23:38:13.80, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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0695１３２人目の素数さん
2012/10/20(土) 01:46:52.57a_k = (2k)!!/(2k-1)!!
b_k = (2k-1)!!/(2k-2)!!
とおくと
a_k･b_k = 2k,
a_k･b_(k+1) = 2k+1,
また
a_k ～ √{(4k+1)π/4}
b_k ～ √{(4k-1)/π}
>>646
2^a ≧ 2 + A,
2^b ≧ 2 + B,
2^c ≧ 2 + C,
とおく。題意より A,B,C ≧0
(左辺) - (右辺)
= (2+A)(2+B)(2+C) -(2+A)(2+B) -(2+B)(2+C) -(2+C)(2+A) +4
= ABC + AB + BC + CA
≧ 0,
0696あのこうちやんは始皇帝だった
2012/10/20(土) 07:38:21.37, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | 何時もおんなじ事を書く
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0697１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 03:09:00.49Proof of Inequality 120 が最新だけど、古いやつを見ようとしたら全部消されていた…
こないだまで見れたのにな ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
0698１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 03:17:35.94. / / ∩ ／／
/ / ∩ ～'::""::''ヽ､ / /
／／ ／r‐､ ___ ＼ / / うわぁぁあああぁあぁぁぁ
／／ / ﾉ●_)(_●つ ヽ､.. l l
／ ／ （__ ノ´ } .| | ダメだぁぁああぁ もうダメだぁぁぁ・・
/ ( _●_) 彡-､ ﾉ | |
{ -_二 -‐''￣ ） ミ ﾉ ﾉ
ヽ （ ,r'' " ''‐-‐′ﾉl／／
彡 `― ''′ ノ／／
／／
0699１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 11:29:46.07pi^(pi^e)＞e^(e^pi)ってどう説明できる？
0700１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 14:54:42.07マジかYO！
見つけたときに保存しておくべきだったな
0701１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 22:43:27.68何が気に入らなかったんだ？
0702１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 22:51:27.30問題の権利を主張したいのかな？
年末年始の時間のあるときに、ジックリ解こうと思って楽しみにしていたのになあ
誰か問題を全部じゃなくてもいいからメモしてる人いないかな？
http://suseum.jp/gd/index/3504
すうじあむ - 投降した人 近谷邦彦さん
たぶん以下の人と同一人物だと思う
http://univ.ena.co.jp/?title=school_guide_ena_kunitachi_h
0703１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 23:14:32.54問題解くよりも、問題を作る方が難しいから
研究じゃなくて、単なるゲームになり下がってしまった。
ロールプレイングゲームと同じ、あるいは、それ以下
0704１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 23:19:11.560705１３２人目の素数さん
2012/10/21(日) 23:34:01.80> >>702
> 問題解くよりも、問題を作る方が難しいから
よく分からん理屈だが、苦労して作ったのを他人に解かれるのが嫌なの？
器が小さいとか言う以前に、ネットで公開した時点で矛盾しているような？
0706１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 00:19:45.88そうじゃない
自作の問題を、他人作にされるのが問題なんだろ。
著作権と一緒だよ
0707１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 00:28:43.72著作権にあまりうるさくなさそうだけどなあ
あまり不等式に関係ないレスで進行してもしょうがないから控えよ
0708１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 01:14:13.46自分が作った or 探してきた不等式を「すうじあむ」で紹介した
↓
自分の知らないところ（2chの不等式スレ）に転載されている
↓
転載するなら一言書いてけよ。なんか面白くねえから消そう
じゃないのかな？
何ヶ月も楽しめる分量だけに、もったいない…
もう消されて見れないんだから、この話は終わりですな
0709１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 01:54:06.09Let $a,\ b,\ c$ be non-negative real numbers such that $a+b+c=9.$
Find the minimum value of $(a^2+4)(b^2+4)(c^2+4).$
Let $a,\ b$ be positive real numbers such that $a^2+b^2=9.$
Find the minimum value of $\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{a}+\frac{1}{b}.$
For $0<x<1,\ 0<y<1$, find the possible maximum value of $\displaystyle \frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}.$
Let $a,b$ be real numbers such that $a^3+b^3=8-6ab$. Find the maximum and minimum value of $a+b$.
Let $a,\ b$ positive real numbers such that $a^3+b^3=5$. Find the range of $a+b$.
Let $a,\ b$ be positive real numbers with $a+b=1$.
Find the minimum value of
$$\displaystyle A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}.$$
If $a\geq0$,$b\geq0$,$c\geq0$ and $a+2b+c=4$ then find the maximum value of $ab+bc+ca$.
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.\ \\
Find the minimum value of the expression:\ \\
$$\displaystyle a\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)+b\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right).$$
0710１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 01:56:38.64激しく乙！
0711１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 03:12:25.230712１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 03:21:52.760713１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 03:27:03.94ちなみに例のサイトのファイル保存方法↓
例)
http://suseum.jp/gq/question/abcd
なら、http://suseum.jp/ 以下を /gq/swf_data/abcd としてやればswfファイル単体で切り出せる。
コメント部分は保存できないから、ページとして保存した方がいいのかも。
他のうまいやり方知ってる人がいれば教えてちょ。
0714１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 03:50:16.160715１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 06:31:16.07次のようにしたら、コメントごと保存できると思います
ファイル > 名前をつけて保存 > Webアーカイブ、単一のファイル（*.mht） > 保存
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┃麻呂用しおり | 三ｼ ヾﾐ 彡ｼ ヾ三 | ﾋﾟｷｰﾝ!! ┃
┃ | 三| -丶､.,_ノ 'i'´（_,,／｀_,. i三 | ┃
┃＿＿＿＿＿＿＿＿＿ト､ﾆ| ＜でiﾝヽ ;'i"∠でiﾝ |三|.＿∧,､＿＿＿＿＿＿＿＿_○┃
┃￣￣￣￣￣￣￣￣￣',.iヽ!i ヾ｀= ‐' / ､ ｀ー´ i|ｼ,ｲ￣'`'`￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ┃
┃ i,ヽﾘi ,': :､ i|ｆ. ﾉ 復活祭とな !? ┃
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0716１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 07:40:52.75, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
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0717１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 07:42:11.81（ ( ・ω・） ブヒ
しー し─Ｊ
0718１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 08:41:05.68消していいよ
0719１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 08:48:38.62そんなこと言うから消されるんだよ
感謝しろよ！
0720１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 10:22:12.66http://www.imojp.org/challenge/old/images/cgmo11q1.jpg
0721３２３人目の描 ◆ghclfYsc82
2012/10/22(月) 12:29:10.39ケケケ描
0722１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 14:26:49.99n ≧ 3 のとき次の不等式が成り立つことを示せ．（ ｅ はネイピアの数 ）
Π[k = 0, n-1] { ( nC2 - k ) / nC2} ＜1/e
0723１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 14:48:39.992012年・第11回中国女子数学オリンピック
正の整数n、非負実数a_1、…、a_nに対して、次の不等式にハァハァせよ
1/(1+a_1) + a_1/{(1+a_1)(1+a_2)} + a_1・a_2…a_n/{(1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n)} ≦ 1
0724３３３目の描 ◆ghclfYsc82
2012/10/22(月) 17:45:35.75>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許される ジ・アホの称号を持っている
>
0725１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 22:43:57.08〔問題〕
(1) a,b,c は非負実数で、 a+b+c = 9 のとき、
1360 ≦ (a^2 +4)(b^2 +4)(c^2 +4) ≦ 2352.25 を示せ。
(2) a,b は正の実数で a^2 +b^2 = 9 のとき、
(2√2)/a + 1/b ≧ √3 を示せ。{等号成立は a=√6, b=√3}.
(3) 0<x<1, 0<y<1 のとき、{xy(1-x-y)}/{(x+y)(1-x)(1-y)} の最大値を求めよ。
(4) a,bは実数で、a^3 +b^3 +(-2)^3 -3ab(-2) = 0 のとき、
a+b = -4 または 2 を示せ。
(5) a,bは正の実数で、a^3 + b^3 = 5 のとき、
5^(1/3) < a+b ≦ 20^(1/3) を示せ。
(6) a,bは正の実数で、a+b=s のとき、
A = s^3/(a^3+b^3) + s^2/ab ≧ (1+√3)^2 を示せ。{等号は ab/ss = 1/(3+√3)}
(7) a≧0, b≧0, c≧0, a+2b+c=4 のとき、
ab+bc+ca ≦ 4 を示せ。{等号成立は a=c, b=0}
(8) a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 のとき、
a(c/b + a/c) + b(a/c + b/a) + c(b/a +c/b) の最小値を求めよ。
0726１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 22:52:43.46解凍例
(1)
{0, 0, 9} のとき最小 1360
{0, 9/2, 9/2} のとき最大 2352.25
(2)
コーシーより
(a√2 + b)･(与式) ≧ (2+1)^2 = 9,
また
(a√2 + b)^2 + (a-b√2)^2 = 3(a^2 + b^2) = 3r^2,
|a√2 + b| ≦ (√3)r,
辺々割って
∴ (与式) ≧ 9/(a√2 +b) ≧ 9/{(√3)r},
題意により、r=3
(4) c=-2 とおくと、
a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2,
題意より、a+b+c=0 または a=b=c,
0727１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 22:54:32.61解凍例
(5)
(1/4)(a+b)^3 ≦ a^3 + b^3 ≦ (a+b)^3,
{左等号は a=b, 右等号は ab=0}
(6)
ab/(s^2) = t とおくと、題意より 0<t≦1/4,
A = (s^3)／(a^3 + b^3) + (s^2)／(ab)
= (s^2)／(s^2 -3ab) + (s^2)／(ab)
= 1/(1-3t) + 1/t
= (1-2t)／{(1-3t)t}
= (1+√3)^2 + [1-(3+√3)t]^2／{(1-3t)t}
≧(1+√3)^2,
{等号は t = (3-√3)/6, a,b = (1/2) ± √{(√3)/2}･t のとき}
(7)
(与式) = (1/4){(a+2b+c)^2 -(a-c)^2 -4b^2}
≦ (1/4)(a+2b+c)^2,
{等号は a=c, b=0 のとき}
0728１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 23:07:46.17a_1･a_2…a_(k-1)/{(1+a_1)(1+a_2)…(1+a_k)}
= a_1･a_2…a_(k-1)/{(1+a_1)(1+a_2)…[1+a_(k-1)]} - a_1･a_2…a_k/{(1+a_1)(1+a_2)…(1+a_k)},
telescoping, ハｧハｧ
0729１３２人目の素数さん
2012/10/22(月) 23:12:37.13(∫[0、π] √(1 - sin^3 x) dx)^2
≦ (∫[0、π] 1^2 dx)・{∫[0、π] (1 - sin^3 x) dx}
= (π/2)・(π/2 - 2/3)
= …
< (1.25)^2
∫[0、π] x・√(1 - sin^3 x) dx
= π∫[0、π] √(1 - sin^3 x) dx
< 3.2・1.25
= 4
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0730β
2012/10/22(月) 23:43:35.80もっと骨のある問題だしたら？
0731３３３人目の描 ◆ghclfYsc82
2012/10/23(火) 14:25:55.10>192 名前：１３２人目の素数さん ：2012/10/23(火) 11:55:56.36
> >>187
> その運営と予算獲得に『すら』関心を示さずに
> 女性の股間にだけ関心を持った猫先生は
> 『研究のアクティビティ』とは無縁だったね。
> 『女性のティクビ』は好きだったんだろうけど。
>
0732１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 14:28:59.17学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。血が出るかも。
やらなければこちらがブスッと刺す。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ
等と云った妄想を毎日している。
0733１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 14:31:56.110734１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 18:06:19.76口を慎み給へ、君はラピュタ王の前にいるのだぞ！
0735１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 19:56:55.19１２１
Let $a,\ b,\ c$ be non-negative real numbers such that $ab+bc+ca=1$.
Prove that :
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac 52.$$
http://suseum.jp/gq/question/1863
0736１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 20:27:17.470737１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 21:31:47.090738１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 21:42:40.21TeX で処理すれば
\geq → ≧
\frac52 → 5/2
0739１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 21:45:51.32ありがとう
0740１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 22:12:49.990741１３２人目の素数さん
2012/10/23(火) 22:48:36.830742１３２人目の素数さん
2012/10/24(水) 00:22:56.69{a,b,c} = {a,a,9-2a} については、 (0≦a≦9/2)
(a^2 +4)(a^2 +4){(9-2a)^2 +4} = (17^3)/4 + (2a-1)^2 {a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4}
= (17^3)/4 + (2a-1)^2 {(a^2)(a-4)^2 +5a^2 -49a + 527/4}
= (17^3)/4 + (2a-1)^2 {(a^2)(a-4)^2 +5(a-4.9)^2 + 117/10}
≧(17^3)/4
= 1228.25 ････ 最小値 (a=1/2)
0743１３２人目の素数さん
2012/10/24(水) 21:43:56.92蛇足だが.....
a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4 は a ～ 4+(1/9)√3 付近に極小をもつ。
a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4
= 14.85284737 + 0.000303782a + {a-4 -(1/9)√3}^2･{[a+(1/9)√3]^2 +5 +2(1+12√3)/27}
> 14.85284737 + 0.000303782a
なお、極小値は 14.85412096 @ a=4.19244421181163
0744１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 00:16:07.68a+b+c=s のとき、
(与式) = (b+c)b/a + (a+c)c/b + (b+a)a/c
= s(b/a + c/b + a/c -1)
≧ 2s,
0745１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 08:48:08.32Let $x,\ y,\ z$ be positive real numbers with $x+y+z=1$.
Prove that : $$(x^2+y^2+z^2)^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$$
２
Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that $\displaystyle \frac{1}{|a+b|}+\frac{1}{|b+c|}+\frac{1}{|c+a|}=3.$
Prove that :
$$\displaystyle |a|+|b|+|c|\geq \frac {3}{2}.$$
３
For positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=2010$, find the minimum value of the expression:
\[\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}+\frac{a^2+b^2}{c}\]
４
$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$, for some $k$ we have $a_j\leq 0$ for $j\leq k$ and $a_j \geq 0$ for $j > k$. \
If $a_i$ are not all 0, show that $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... + na_n > 0.$
５
Let $ x$ and $ y$ positive real numbers such that $ (1+x)(1+y)=2$. \ \\
Prove that?: $$\ \displaystyle xy+\frac{1}{xy}\geq\ 6.$$
６
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers which are less than 1.
Prove that : $$a+b+c-abc<2.$$
７
Let $n\geq 2$ and let $0<x_i<1\ (i=1,\ 2,\ \cdots ,\ n).$\ \\
Prove that :$$(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n)+x_1+x_2+\cdots +x_n>1.$$
８
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers with $ab+bc+ca=1.$ \ \\
Prove that : $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \sqrt{3}+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}.$$
９
Let $a, b$ and $c$ be the lengths of the sides of a triangle such that $ab+bc+ca=1$. \ \\
Prove that : $$(a+1)(b+1)(c+1) < 4.$$
１０
For $x>1,\ y>1$, prove that : $$\frac{x^2}{y-1}+ \frac{y^2}{x-1}\geq 8.$$
0746１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 08:50:51.13Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.\ \\
Prove that $$\log_2 \frac{(a+b)^{671}(b+c)^{671}(c+a)^{671}}{(a^{671}+b^{671})(b^{671}+c^{671}
)(c^{671}+a^{671})}\leq 2010.$$
１２
Find the possible maximum value of $a$ such that:
\[\sqrt{x^2+y^2}\geq x+y+a\sqrt{xy}\]
holds for all positive real numbers $x,\ y$.
１３
For positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=abc$,
Prove that:
$$\frac{1}{(a+b)(b+c)}+\frac{1}{(b+c)(c+a)}+\frac{1}{(c+a)(a+b)}\leq \frac 14$$
１４
Let $a,b,c$ be positive real numbers.
Prove that :
$$\frac{a}{a^4+a^2+1}+\frac{b}{b^4+b^2+1}+\frac{c}{c^4+c^2+1}\leq \frac{1}{3}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)$$.
１５
Let $ a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that :
$$ \frac {1}{\sqrt {ab}}+\frac {1}{\sqrt {bc}}+\frac{1}{\sqrt {ca}}+2\sqrt {3}\sqrt {a+b+c}\geq 9.$$
１６
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that :
$$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} +\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\right)$$１７
Let $a,b,c,d$ be positive real numbrs such that $a+b+c+d=1$.
Prove that :
$$\frac{1}{4a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+4d}+\frac{1}{a+4c+3d}+\frac{1}{4b+3c+d} \ge 2.$$
１８
Prove the following inequality.
\[\int_1^e \frac{(\log_e x)^{2009}}{x^2}dx>\frac{1}{2010\cdot 2011\cdot2012}\]
0747１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 08:53:29.41Let $a,\ b,\ c$ be positive constants.
(1) If the sum of positive real numbers $x,\ y$ equals to a constant $h$, then
Prove that : $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{h}.$$
(2) If the sum of positive real numbers $x,\ y,\ z$ equals to a constant $k$, then
use the previous result to find the minimum value of $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}.$$
２０
Given real numbers $a,\ b,\ c$ with $abc=1$.
Prove that：
$$\frac {1}{a^{3}\left(b ＋ c\right)} ＋ \frac {1}{b^{3}\left(c ＋ a\right)} ＋ \frac {1}{c^{3}\left(a ＋ b\right)}\geq \frac {3}{2}.$$
２１
Given positive real numbers $a, b, c$ with $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq4$.
Prove that :
$$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\geq 3.$$
２２
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers. Prove the following inequality.
$$2\left(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)\leq 3\left(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\right)$$
２３
Given real numbers $x,y,z$ with $x+y+z=0$.
Prove that :
\[\frac{x(x+2)}{2x^2+1}+\frac{y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{z(z+2)}{2z^2+1}\geq 0.\]
２４
Given real numbers $x_{1} \geq x_{2} \geq \cdots \geq x_{n}$ and $\ y_{1} \geq y_{2} \geq \cdots \geq y_{n}.$
Let $z_{1}, z_{2},\ \cdots, z_{n}$ be a permutation of the numbers $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}.$
Prove that :
$$\sum_{i=1}^{n} ( x_{i} -\ y_{i} )^{2} \leq \sum_{i=1}^{n} ( x_{i} - z_{i})^{2}.$$
２５
Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3(a^2+b^2+c^2)=12.$
Prove that：
$$a+b+c+2(ab+bc+ca)\leq 9.$$
0748１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 08:54:46.26For $a,\ b$ with $0<a<b$, Prove that :
$$\int_a^b (x^2+1)e^{-x^2}dx\geq e^{-a^2}-e^{-b^2}$$
２７
Let $a,\ b,\ c,\ d$ be real numbers such that $0<a<1,\ 0<b<1,\ 0<c<1,\ 0<d<1$ and
$a+b+c+d=2\sqrt{3}$.
Prove that :
\[\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-d^2}\leq 2\]
２８
Let $x,\ y,\ z$ be real numbers such that $\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{4},\ 0\leq y<\frac{\pi}{4},\ 0\leq z<\frac{\pi}{4}.$
Prove the following inequality.
$$\sqrt[3]{\tan x\tan y\tan z}\leq \tan \frac{x+y+z}{3}\leq \frac 13(\tan x+\tan y+\tan z)$$
２９
Let $A,\ B,\ C,\ D\in{(0,\ \pi)}.$ Prove the following inequalities.\ \\
(1) $\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C+\sin D\leq 4\sin \frac 14(A+B+C+D)$\ \\
(2) $\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin \frac 13(A+B+C)$
３０
Let $ a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $ a+b+c=1$.
Prove that :
$$ \sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\leq 2$$.
３１
Given positive real numbers $a,b,c,d$ with $a+b+c+d=1$.
Prove that :
$$6(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\frac{1}{8}$$
３２
Given non-negative real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=1$.
0749１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 10:20:59.970750１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 15:39:24.17なんかどれも糞問題ばかりだな
何かもっと骨のある問題や興奮する問題は無いのかよ
0751１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 17:06:45.47なかなかむずかしいなあ
0752１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 17:17:18.080753１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 17:27:16.780754１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 17:41:36.16ttp://www1.axfc.net/uploader/File/so/84927&key=ineq
0755１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 18:28:38.73巣に帰れ
0756１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 20:40:18.64tex じゃなくて、英語が分かんないんだろｗ
0757１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 21:03:37.440758１３２人目の素数さん
2012/10/25(木) 23:41:19.66考えるな、感じるんだ！
0759１３２人目の素数さん
2012/10/26(金) 20:42:46.97>>758
確かにこのレベルの問題なら、数学よりも英語の方が難しいかもな
0760１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 08:21:10.11For $ a>0,\ b>0,\ c>0$, prove that $\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3+6}{ab+bc+ca}\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\geq 9.$
３４
Let $ a,\ b,\ c$ be postive real numbers such that $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{(a+b)^3}+\frac{b^2+c^2}{(b+c)^3}+\frac{c^2+a^2}{(c+a)^3}=\frac{3}{2}$.
Prove that $\displaystyle a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}$.
３５
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that :
\[\left(\frac{1}{a}+b\right)\left(\frac{1}{b}+c\right)\left(\frac{1}{c}+a\right)\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\geq 64.\]
３６
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $a^ab^bc^c=1$.
Prove that $a+b+c\leq 3$.
３７
For $-2\leq a,\ b,\ c\leq 1$ and $a+b+c=0$, prove that $a^2+b^2+c^2\leq 6$.
３８
Given positive real numbers $x,\ y,\ z$ with $x+y+z=1$.
Prove that :
\[ x\sqrt[3]{1+y-z}+y\sqrt[3]{1+z-x}+z\sqrt[3]{1+x-y}\leq 1. \]
３９
For $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$, prove that $\displaystyle \left (\frac{\sin x}{x} \right )^2 > \cos x >\left( \frac{x}{\tan x}\right)^2.$
４０
Let $ a,\ b$ be real numbers with $ 0<a<b$ and $ x,\ y,\ z$ satisfy :
$$a\leq x\leq b,\ a\leq y\leq b,\ a\leq z\leq b$$
If $ x+y+z=a+2b$, then prove that $ xyz\geq ab^2$.
0761１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 08:22:03.88Let $a,b,c$ be real numbers such that $|a+b|+|b+c|+|c+a|=3$.
Prove that $(a+b)^{\frac{2}{3}}+(b+c)^{\frac{2}{3}}+(c+a)^{\frac{2}{3}}\leq 3$.
４２
Given positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $ab+bc+ca = 1.$
Prove that :
\[ \sqrt[3]{ \frac{1}{a} + 6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b} + 6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c} + 6a } \leq \frac{1}{abc}. \]
４３
Given positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $ab+bc+ca+abc=4$.
Prove that :
$$a+b+c\geq ab+bc+ca.$$
４４
Given real numbers $x, y, z$ such that $x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1$.
Prove that :
$$\displaystyle x^2+y^2+z^2\ge \frac{3}{4}.$$
４５
Given real numbers $a,b,c$ such that $ab+bc+ca=3abc.$
Prove that :
$$4(a^2+b^2+c^2)+9\ge 21abc$$.
４６
Let $a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$ be positive real numbers.
Prove that :
\[\left(\frac{x}{a^2}+\frac{y}{b^2}+\frac{z}{c^2}\right)(ax+by+cz)^2\geq (x+y+z)^3. \]
４７
Let $a,\ b$ be real numbers such that $a>1,\ b>1.$
Prove the following inequality.
\[\int_{-1}^1 \left(\frac{1+b^{|x|}}{1+a^{x}}+\frac{1+a^{|x|}}{1+b^{x}}\right)\ dx<a+b+2\]
４８
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that: \[\frac{a^3}{(a+b)^2}+\frac{b^3}{(b+c)^2}+\frac{c^3}{(c+a)^2}\geq \frac{a+b+c}{4}\]
0762１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 08:22:57.91Given real numbers $a,b,c,d$ with $a+b+c+d=6,\ a^2+b^2+c^2+d^2=12.$
Prove that :
\[36 \leq 4 \left(a^3+b^3+c^3+d^3\right) - \left(a^4+b^4+c^4+d^4 \right) \leq 48.\]
５０
Let $a,\ b$ be positive real numbers such that $a+b=1.$
Prove that : $a^{a}b^{b}+a^bb^a\leq 1.$
５１
Let $a,\ b$ be positive real numbers.
Prove that :
$$ a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a+b)(ab-1).$$
５２
For $0\leq a\leq 1,\ 0\leq b\leq 1,\ 0\leq c\leq 1$,
Prove that :
$$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2.$$
５３
For real numbers $a,\ b,\ c$, prove that :
$$a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3\ge \frac{8}{27}(a+b+c)^4.$$
５４
For any real numbers $a,b,c$, prove that
$5a^2 + 5b^2 + 5c^2 \ge 4ab + 4ac + 4bc $
and determine when equality occurs.
５５
For positive real numbers $a,\ b,\ c,\ d$ with $abcd=1.$
Prove that :
$$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{9}{{a + b + c + d}} \geq \frac{{25}}{4}$$.
５６
Let $x,\ y,\ z$ be positive real numbers such that $x+y+z=1$.
Prove that :
$$\displaystyle \sqrt{xy(1-z)}+\sqrt{yz(1-x)}+\sqrt{zx(1-y)}\leq \sqrt{\frac {2}{3}}$$
0763β
2012/10/28(日) 08:36:01.690764１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 08:38:20.050765１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 09:01:55.930766１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 09:13:30.23a,b, c, d>0⇒a^2/(a^2+(a+b)^2)+b^2/(b^2+(b+c)^2)+c^2/(c^2+(c+d)^2)+d^2/(d^2+(d+a)^2)≦4/5
0767１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 21:38:20.940768１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 22:12:32.430769１３２人目の素数さん
2012/10/28(日) 23:21:00.73お前が変なこと言うからだよぅ（・3・）YO！
0770１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 01:22:45.47１. For x>0, y>0, z>0, prove that: (x^2+y^2+z^2)^2･(1/x + 1/y + 1/z) ≧ (x+y+z)^3.
凸不等式（イェンゼン）。
x^r + y^r + z^r ≧ 3{(x+y+z)/3}^r, (r≦0 or r≧1) >>662 [1]
３. For a>0, b>0, c>0, prove that:
(b^2+c^2)/a + (c^2+a^2)/b + (a^2+b^2)/c ≧ 2(a+b+c),
a+b+c = s とおく。
(左辺) = (a^2 +b^2 +c^2)(1/a + 1/b + 1/c) - s
≧ (1/3)s^2･(9/s) - s
= 3s - s
= 2s. >>662 [4]
４. a_1 + a_2 + ････ + a_n = 0, with a_i are not all 0. There is such a ｋ that:
a_j≦ 0 for j≦k, and a_j ≧0 for j>k.
Show that:
a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... + n a_n > 0.
(1966 Swedish Mathematical Olympiad)
(左辺) - (k + 1/2)(a_1 + a_2 + ････ + a_n)
= Σ[j=1,k] (k + 1/2 -j)(-a_j) + Σ[j=k+1,n] (j-k -1/2)a_j
> 0, >>662 [5]
0771１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 01:37:45.19(1) Let a≧0, b≧0, c≧0, with a+b+c=9. Prove that:
(17^3)/4 ≦ (a^2 +4)(b^2 +4)(c^2 +4) ≦ (97^2)/4
1228.25 ≦ (a^2 +4)(b^2 +4)(c^2 +4) ≦ 2352.25
(右)
min{a,b,c} ≦ 3 だから、a+b≧6 としてよい。
{(1/4)(a+b)^2 + 4}^2 - (a^2 +4)(b^2 +4) = {(1/16)(a+b)^2 +(1/4)ab -2}(a-b)^2 ≧0,
よって a=b≧3≧c の場合を考えれば十分。
(与式) ≦ {(1/4)(9-c)^2 +4}(c^2 +4) ≦ (97^2)/4
0772１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 01:44:31.41１～５ は >>662 >>673-674 に外出であった。
６. Let 0<a,b,c<1. Prove that: (a+b+c) -abc < 2.
2 -(a+b+c) +abc = a(1-b)(1-c) + (1-a)b(1-c) + (1-a)(1-b)c + 2(1-a)(1-b)(1-c) ≧ 0,
７. Let n≧2 and let 0<x_i<1 (i=1, 2, ････ , n). Prove that:
(1-x_1)(1-x_2) ････ (1-x_n) + x_1 + x_2 + ････ + x_n > 1.
nについての帰納法で。
(1-x_1)(1-x_2) ････ (1-x_n) + x_1 + x_2 + ････ + x_n
= (1-x_1)(1-x_2) ････ (1-x_{n-1}) + x_1 + x_2 + ････ + x_{n-1}
+ {1－(1-x1)(1-x2)･････(1-x_{n-1})}x_n
> 1.
８. Let a>0, b>0, c>0, with ab+bc+ca=t. Prove that:
t/(a+b) + t/(b+c) + t/(c+a) - ab/(a+b) - bc/(b+c) - ca/(c+a) ≧ √(3t).
(左辺) = (t-ab)/(a+b) + (t-bc)/(b+c) + (t-ca)/(c+a) = a+b+c ≧ √(3t).
１０. For x>1, y>1, prove that: (x^2)/(y-1) + (y^2)/(x-1) ≧ 8.
x-1 ≦ (x^2)/4, y-1 ≦ (y^2)/4 より
(左辺) ≧ 4(x/y)^2 + 4(y/x)^2 = 4(t + 1/t) > 8.
0773１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 01:56:50.02１２. Find the possible maximum value of a such that:
√(x^2+y^2) ≧ x + y + a√(xy), holds for all positive real numbers x, y.
明らかに a <0.
x^2 + y^2 ≧ (x^2 + y^2) + {(2+a^2)√xy + 2a(x+y)}√xy,
-2a(x+y) -(2+a^2)√xy ≧ 0,
-2a(√x - √y)^2 -(2+4a+a^2)√xy ≧ 0,
∴ a<0 かつ 2+4a+a^2 ≦ 0,
∴ -2-√2 ≦ a ≦ -2+√2,
∴ 最大値は -2+√2,
１３. Let a>0, b>0, c>0, with a+b+c=abc. Prove that:
1/{(a+b)(b+c)} + 1/{(b+c)(c+a)} + 1/{(c+a)(a+b)} ≦ 1/4,
(左辺) = 2(a+b+c)/{(a+b)(b+c)(c+a)} = 2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)} ≦ 1/4,
∵ (a+b)(b+c)(c+a) -8abc = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,
１４. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
a/(a^4+a^2+1) + b/(b^4+b^2+1) + c/(c^4+c^2+1) ≦ (1/3){a/(bc) + b/(ca) + c/(ab)}.
x/(x^4 +x^2 +1) = x/{3x^2 + (x^2 -1)^2} ≦ x/(3x^2) = 1/(3x),
(左辺) ≦ 1/(3a) + 1/(3b) + 1/(3c)
= (ab+bc+ca)/(3abc)
≦ (a^2 + b^2 + c^2)/(3abc)
= (1/3)(a/bc + b/ca + c/ab),
0774１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 01:58:23.79１５. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ca) + 2√{3(a+b+c)} ≧ 9.
相加・相乗・調和平均。 a+b+c=s とおくと
(左辺) ≧ 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a) + 2√(3s)
≧ 9/s + √(3s) + √(3s)
≧ 9.
１６. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a) ≧ {(√2)/4} {√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) + √(c^2+a^2)}.
√(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2 より
(a^2)/(a+b) = (a^2 + b^2)/{2(a+b)} + (a-b)/2
≧ {(√2)/4}√(a^2 + b^2) + (a-b)/2,
循環的にたす。
１７. Let a>0, b>0, c>0, d>0. Prove that:
1/(4a+3b+c) + 1/(3a+b+4d) + 1/(a+4c+3d) + 1/(4b+3c+d) ≧ 2/(a+b+c+d).
コーシー。
左辺に {(4a+3b+c) + (3a+b+4d) + (a+4c+3d) + (4b+3c+d)} = 8(a+b+c+d) を掛ける。
１８. Prove the following inequality.
∫[1,e] {log(x)^2009}/(x^2) dx > 1/(2010･2011･2012)
x=exp(t) とおく。
∫[0,1] (t^2009)exp(-t)dt = (1/2010)t^2010 exp(-t) + (1/2010)∫(t^2010)exp(-t)dt
= {(1/2010)t^2010 + (1/(2010･2011))t^2011 + (1/(2010･2011･2012))t^2012 + ････}exp(-t) ](t=0,1)
> {1/(2010･2011･2012)}(3/e)
> 1/(2010･2011･2012)
0775１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 02:05:16.07１９. Let a>0, b>0, c>0.
(1) Let x>0, y>0, with x+y=h(positive constant). Prove that: (a^2)/x + (b^2)/y ≧ (a+b)^2 /h.
(2) Let x>0, y>0, z>0, with x+y+z=k(positive constant). Prove that: (a^2)/x + (b^2)/y + (c^2)/z ≧ (a+b+c)^2 /k.
コーシー。
２１. Given a>0, b>0, c>0, with a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4. Prove that:
(ab+1)/(a+b)^2 + (bc+1)/(b+c)^2 + (ca+1)/(c+a)^2 ≧ 3.
ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
= (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a), etc. より
(左辺) ≧ 3(1/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.} ≧ 3(1/2) + 3(1/2) = 3.
２２. Let a>0, b>0, c>0. Prove the following inequality.
2{(a+b)/2 - √(ab)} ≦ 3{(a+b+c)/3 - (abc)^(1/3)}.
相加・相乗平均で
(右辺) - (左辺) = √(ab) + √(ab) + c - 3(abc)^(1/3) ≧ 0.
２５. Let a, b, c be real numbers such that (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 3(a^2+b^2+c^2) = 12.
Prove that: (a+b+c) + 2(ab+bc+ca) ≦ 9.
a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおく。
(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 ≧ (1/3)t^2,
a^2 +b^2 +c^2 = s^2 -2t,
よって題意より、
12 ≧ (1/3)t^2 -6t +3s^2
≧ (1/3)t^2 -2t +(5/3)s^2 (s^2≧3t)
= (1/3)(t-3)^2 +(5/3)s^2 -3,
∴ s ≦ 3,
∴ t ≦ (1/3)s^2 ≦3 より成立。
0776１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 02:09:31.65２６. For a<b, prove that:∫[a,b] (x^2 +1) e^(-x^2) dx ≧ e^(-a^2) - e^(-b^2),
x^2 +1 ≧ 2x を使うと、積分を実行できる。
２７. Let -1≦a,b,c,d≦1. Prove that:
√(1-a^2) + √(1-b^2) + √(1-c^2) + √(1-d^2) ≦ √{16-(a+b+c+d)^2},
凸不等式（Jensen) 円の上半分だから上に凸。
２８. Let 0≦x,y,z<π/4. Prove the following inequality.
{tan(x)･tan(y)･tan(z)}^(1/3) ≦ tan{(x+y+z)/3} ≦ {tan(x) + tan(y) + tan(z)}/3,
(左) f(x) = log(tan(x)) とおくと、
f '(x) = 1/{sin(x)･cos(x)} = 2/sin(2x) は 0<x≦π/4 で単調減少、fは上に凸。
{f(x)+g(x)+h(x)}/3 ≦ f((x+y+z)/3),
(右) g(x) = tan(x) とおくと、
g '(x) = 1/cos(x)^2 は単調増加、gは下に凸。
g((x+y+z)/3) ≦ {g(x)+g(y)+g(z)}/3,
２９. Let A,B,C,D ∈ (0,π). Prove the following inequalities.
(1) sin A + sin B + sin C + sin D ≦ 4 sin{(A+B+C+D)/4},
(2) sin A + sin B + sin C ≦ 3 sin{(A+B+C)/3},
凸不等式（イェンゼン）
0777１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 02:12:40.13３０. Let a>0, b>0, c>0, with a+b+c=s. Prove that:
√(a+bc) + √(b+ca) + √(c+ab) ≦ √{s(3+s)},
凸不等式（イェンゼン）
(左辺) ≦ √{3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)} ≦ √(3s + s^2) = √{s(3+s)}.
３１. Given positive real numbers a,b,c,d with a+b+c+d=s. Prove that :
6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) ≧ (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)s + (s/2)^3,
チェビシェフ。
6a^3 - sa^2 -(1/8)s^2･a = (4a-s)･a(12a+s)/8,
(左辺) ≧ {(4a-s)+(4b-s)+(4c-s)+(4d-s)}{a(12a+s) + cyclic}/32 = 0,
6a^3 - sa^2 -(1/32)s^3 = (4a-s)･(48a^2 +4as +s^2)/32,
(左辺) ≧ {(4a-s)+(4b-s)+(4c-s)+(4d-s)}{(48a^2+4as+s^2) + cyclic}/128 = 0,
取り急ぎ御回答まで。
0778１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 03:50:36.14３５. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
(1/a + b)(1/b + c)(1/c + a)(a + 1/a)(b + 1/b)(c + 1/c) ≧ 64.
(1/a + b)(1/b + c)(1/c + a) ≧ 2√(b/a)･2√(c/b)･2√(a/c) = 8,
a + 1/a ≧ 2,
b + 1/b ≧ 2,
c + 1/c ≧ 2,
辺々かける。
３７. For -2 ≦ a,b,c ≦1 and a+b+c=0, prove that a^2+b^2+c^2 ≦ 6.
ab, bc, ca ≧ -2 より
a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) ≦ 6.
>>761
４４. Given real numbers x,y,z such that x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1. Prove that:
x^2+y^2+z^2 ≧ 3/4.
x^2+y^2+z^2 = S とおく。
2xyz ≦ 2{(x^2 +y^2 +z^2)/3}^(3/2) = 2(S/3)^(3/2),
∴ (左辺) ≦ S + 2(S/3)^(3/2) これを f(S) とおく。
題意により、f(S)≧1,
一方、f(S) は単調増加で、f(3/4) = 1,
∴ S ≧ 3/4.
４６. Let a>0, b>0, c>0, x>0, y>0, z>0. Prove that:
{x/(a^2) + y/(b^2) + z/(c^2)}(ax+by+cz)^2 ≧ (x+y+z)^3.
コーシーの拡張。
0779１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 03:51:38.86５４. Prove that: 5(a^2 + b^2 + c^2) ≧ 4(ab+bc+ca),
and determine when equality occurs.
(左辺) - (右辺) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 + 2(c-a)^2 ≧ 0,
等号成立は a=b=c=0 に限る。
0780１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 04:10:56.74casphy - 高校数学 - 不等式 - 950～953
シューアを使うもの。
今日はこの辺で。。。
0781１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 04:51:07.34a,c を固定して b,d→0 とすると...
0782１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 08:08:50.320783１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 16:50:47.28口を慎み給へ
0784１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 16:56:58.550785１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 20:55:12.900786１３２人目の素数さん
2012/10/29(月) 22:53:27.21b/a = c/b = d/c = ε として ε→0 とすると....
0787１３２人目の素数さん
2012/10/30(火) 00:26:59.08４９. Given real numbers a,b,c,d with a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12. Prove that:
36 ≦ 4(a^3 +b^3 +c^3 +d^3) - (a^4 +b^4 +c^4 +d^4) ≦ 48.
http://www.imo-official.org/problems/IMO2010SL.pdf の Problem A2
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 出題(不等式) - 1500～1503,
(中辺) = 6S_2 -4S_1 +4 -(a-1)^4 -(b-1)^4 -(c-1)^4 -(d-1)^4,
-(S_2 -2S_1 +S_0)^2 ≦ -(a-1)^4 -(b-1)^4 -(c-1)^4 -(d-1)^4 ≦ -(1/4)(S_2 -2S_1 +S_0)^2,
(a-1)^2 +(b-1)^2 +(c-1)^2 +(d-1)^2 = S_2 -2S_1 +S_0,
S_0 = 4, S_1 = 6, S_2 = 12.
５０. Let a>0, b>0, such that a+b=1. Prove that:
(a^a)(b^b) + (a^b)(b^a) ≦ 1.
0<a≦b とする。
(左辺) = (ab)^a (a^|b-a| + b^|b-a|)
≦ (ab)^a 2{(a+b)/2}^|b-a| *
= (ab)^a 2^(2a) (a+b=1)
= (4ab)^a
≦ 1, (4ab≦1)
*) y = x^|b-a| は上に凸 (0≦|b-a| <1)
５４. Prove that: 5(a^2 + b^2 + c^2) ≧ 4(ab+bc+ca),
and determine when equality occurs.
(左辺) - (右辺) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 + 2(c-a)^2 ≧ 0,
等号は a=b=c=0 に限る。
0788仙石６０
2012/10/30(火) 02:25:01.41久方ぶりです。
４９. Given real numbers a,b,c,d with a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12. Prove that:
36 ≦ 4(a^3 +b^3 +c^3 +d^3) - (a^4 +b^4 +c^4 +d^4)
対象式ｓ１、ｓ２、ｓ３、ｓ４
であらわすと
ｓ１＝６
ｓ２＝１２
はあきらか
P = 4(a^3 +b^3 +c^3 +d^3) - (a^4 +b^4 +c^4 +d^4)
＝ ー１２ｓ３＋４ｓ４＋１４４
さらに判別式 Q ＝ -27s3^4;432ｓ３＾３＋１５１２ｓ４ｓ３＾２－１７２８ｓ３＾２
-1152s4^2s3-22464s4s3+256s4^3+８７８４ｓ４＾２＋８２９４４ｓ４ ＞＝０
ラグランジュ法により
ｓ３＝１８、ｓ４＝２７、λ＝－１/２０７３６をえる
このとき最小値 ３６を得る。
0789β
2012/10/30(火) 02:28:24.46死ね！ 仙石６０め！
0790１３２人目の素数さん
2012/10/30(火) 05:45:07.040791１３２人目の素数さん
2012/10/30(火) 23:03:24.11For positive real numbers $a, b, c$,
Prove that :
\[\frac{a+b}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{3b^2-2bc+3c^2}}+\frac{c+a}{\sqrt{6c^2-3ca+6a^2}}\leq \frac{11}{3} \]
５８
Let $a,b,c$ be real numbers such that $a+b+c=3$.
Prove that :
$$\frac{1}{5{{a}^{2}}-4a+11}+\frac{1}{5{{b}^{2}}-4b+11}+\frac{1}{5{{c}^{2}}-4c+11}\le \frac{1}{4}$$
５９
For $0\leq x,\ y,\ z\leq 1$, prove that :
$$\displaystyle (2^x+2^y+2^z)(2^{-x}+2^{-y}+2^{-z}) \leq 10.$$
６０
For real numbers $a,\ b$, if $ab\geq 1$, then prove that $a^2+b^2\geq a+b.$\ \\
６１
For positve real numbers $ a,b,c $,
Prove that :
$$ \frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq\frac{3}{5} $$
６２
Let $a,b$ be real numbers such that $ a(a^2+1)^2+b(b^2+1)^2=8$.
Prove that :
\[\ a+b\leq 2\]
６３
For $x,y,z \geq 0$ with $ x+y+z=3 $.
Prove that :
$$ (x^2+y+z)(y^2+z+x)(z^2+x+y) \geq 27 $$
６４
Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $abc=1$.
Prove that :
$$\displaystyle \frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}\ge 3.$$
0792１３２人目の素数さん
2012/10/30(火) 23:04:48.40For $0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1,\ 0\leq z\leq 1$,
Prove that :
$$\frac{x+y+z}{3}+\sqrt{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)}\leq \frac 32$$
６６
Prove the following inequality.
$$\frac 1{2\cos 1}\int_1^{\frac {\pi}2}\frac {\sin x}x\ dx\, \leq\, \frac {\log_e \pi-\log_e 2}{\pi-2}$$.
６７
Let $a,\ b,\ c$ be distinct real numbers.
Prove that :
$$|a-b|+|b-c|+|c-a|+\left|\frac{b-c}{a-b}\right|+\left|\frac{c-a}{b-c}\right|+\left|\frac{a-b}{c-a}\right|+\left|\frac{c-a}{a-b}\right|+\left|\frac{a-b}{b-c}\right|+\left|\frac{b-c}{c-a}\right|$$
$$\geq 2\sqrt{|a-b|}+2\sqrt{|b-c|}+2\sqrt{|c-a|}.$$
６８
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4.$
Prove that :
$$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\leq 1$$
６９
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$.
Prove that :
$$\sqrt[3]{\left(\frac{1}{ab}-2\right)\left(\frac{1}{bc}-2\right)\left(\frac{1}{ca}-2\right)}\geq 7$$
７０
Let $a,b,c$ be non-negative real numbers such that no two of which are 0.
Prove that :
$$\frac {ab}{(a+b)^2}+\frac {bc}{(b+c)^2}+\frac {ca}{(c+a)^2}+\frac 1{4}\ge \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$$
0793１３２人目の素数さん
2012/10/30(火) 23:07:15.24Let $ a$, $ b$ and $ c$ be the side lengths of a triangle. Prove that
\[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b -c) + c^{2}a(c - a)\ge 0.
\]
７２
Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that
$$a<b<c,\ a+b+c=0,\ ab+bc+ca=-3.$$
Prove that :
$$-2<a<-1<b<1<c<2.$$
７３
Given positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $abc=1$.
Prove that :
\[a^4+b^4+c^4+33\geq12(ab+bc+ca)\]
７４
Let $a,b,c$ be positive real numbers.
Prove that :
$$a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}\geq 1.$$
７５
Prove that $\displaystyle x\cos x\leq \frac{\pi^2}{16}$ for $\displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}.$
７６
Given non-negative real numbers $a,b,c,d$ with $a+b+c+d=4$.
Prove that :
\[\displaystyle \frac{a}{a^3+8}+\frac{b}{b^3+8}+\frac{c}{c^3+8}+\frac{d}{d^3+8}\le\frac{4}{9}\]
0794１３２人目の素数さん
2012/10/30(火) 23:12:44.79For $a,\ b,\ c,\ d>0$ with $a^2+b^2+c^2+d^2=4.$
Prove that :
$$\displaystyle (a+b+c+d-2)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac 12\right)\geq 9.$$
７８
Given non-negative real numbers $x,y$ with $x^2+y^2=2$.
Prove that :
\[4\leq x^4+y^4+x+y\leq 4+\sqrt2.\]
７８’
Given a triangle $ABC$ with side lengths $a,\ b,\ c$.
Prove that :
$$a\left(\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)+b\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{A}\right)+c\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)\ge2\left(\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}\right)$$
７９
Let $a,\ b$ be positive real numbers.
Prove that :
$$\frac{1+a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1+b}{\sqrt{1+b^2}}\geq 2\sqrt{2}\left(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}\right)$$.
８０
Let $a,\ b,\ c$ be postive real numbers with $abc=1$.
Prove that :
$$a^3+b^3+c^3+6\geq (a+b+c)^2.$$
0795１３２人目の素数さん
2012/10/30(火) 23:31:15.18３３. For a>0, b>0, c>0, prove that: {(a^3+b^3+c^3+6)/(ab+bc+ca)}{(b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c} ≧ 9.
(1) a^3 +1 +1 ≧ 3a, b^3 +1 +1 ≧ 3b, c^3 +1 +1 ≧ 3c, (相加･相乗平均)
(2) (b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c ≧ a+b+c,
∵ コーシー あるいは
abc･{(b^2)/a + (c^2)/b + (a^2)/c -(a+b+c)} = (b^3)c + (c^3)a + (a^3)b - abc･(a+b+c)
= (1/7)Σ[cyclic] {4(b^3)c + (c^3)a + 2(a^3)b - 7a(b^2)c} ≧ 0, （相加･相乗平均)
(3) (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
以上から出る。
３６. Let a>0, b>0, c>0 such that a^a･b^b･c^c=1. Prove that a+b+c ≦ 3.
f(x) = x･log(x) とおくと、
f '(x) = log(x) +1 は単調増加。
f は下に凸。イエンゼンより
0 = a･log(a) + b･log(b) + c･log(c) ≧ (a+b+c)log{(a+b+c)/3},
(a+b+c)/3 ≦ 1,
３９. For 0<x<π/2, prove that: {sin(x)/x}^2 > cos(x) > {x/tan(x)}^2.
tan(x/2) = t とおく。(x < 2t)
(左辺) = {(2t)/(1+t^2)x}^2 ≧ 1/(1+t^2)^2 ≧ (1-t^2)/(1+t^2) = cos(x),
(右辺) = {x(1-t^2)/(2t)}^2 ≦ (1-t^2)^2 ≦ (1-t^2)/(1+t^2) = cos(x),
0796１３２人目の素数さん
2012/10/31(水) 00:04:56.00４０. Let 0<a<b and a ≦ x ≦ y ≦ z ≦ b, x+y+z = a+2b, then prove that: xyz ≧ ab^2.
y ≦ b より x+z≧a+b,
xyz ≧ (x+z-b)yb ≧ abb,
>>761
４１. Let a,b,c be real numbers such that |a+b|+|b+c|+|c+a|=3. Prove that:
(a+b)^(2/3) + (b+c)^(2/3) + (c+a)^(2/3) ≦ 3.
y=x^(2/3) は上に凸だから、イェンゼンより
(左辺) ≦ |a+b|^(2/3) + |b+c|^(2/3) + |c+a|^(2/3)
≦ 3{(|a+b|+|b+c|+|c+a|)/3}^(2/3)
= 3,
４２. Given a>0, b>0, c>0, with ab+bc+ca=t. Prove that:
{(t/a) + 6b}^(1/3) + {(t/b) + 6c}^(1/3) + {(t/c) + 6a}^(1/3) ≦ t^(5/3)／(abc).
(左辺) ≦ 3{(t/3)(1/a + 1/b + 1/c) + 2(a+b+c)}^(1/3)
≦ 3{(t^2)/(3abc) + 2(t^2)/(3abc)}^(1/3)
= 3{(t^2)/(3abc)}^(1/3)
≦ t^(5/3)／(abc). {3(a+b+c)abc≦t^2}
>>762
４９. (右)
4a^3 -a^4 ≦ 4a^2, etc.
循環的にたすと、
(中辺) ≦ 4S_2,
等号成立は a～d = 0 or 2.
0797１３２人目の素数さん
2012/11/01(木) 03:50:33.70５９. For 0≦x,y,z≦1, prove that:
(2^x+2^y+2^z){2^(-x)+2^(-y)+2^(-z)} ≦ 10.
yはxとzの中間にあるとしてよい。
(左辺) = 3 + {2^(x-y)+2^(y-x)} + {2^(y-z)+2^(z-y)} + {2^(z-x)+2^(x-z)}
≦ 5 + 2 {2^(z-x) + 2^(x-z)}
≦ 5 + 2{2 + 1/2}
= 10,
等号は {x,y,z} = {0,0,1} {0,1,1}
６０. For real numbers a, b, with ab≧1, prove that a^2+b^2 ≧ a+b.
(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab ≧ 4ab ≧ 4,
∴ |a+b| ≧ 2,
|a+b-1| ≧ 1
(左辺)-(右辺) = (1/2)(a-b)^2 +(1/2)(a+b)^2 - (a+b)
= (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(a+b-1)^2 - (1/2)
≧ 0,
６２. Let a,b be real numbers, such that a(a^2+1)^2 + b(b^2+1)^2 =8. Prove that:
a+b ≦ 2,
(左辺) = (a^5+b^5) +2(a^3+b^3) + (a+b)
= (a+b){a^4 -(a^3)b +(ab)^2 -a(b^3) +b^4 +2(a^2 -ab +b^2) +1},
題意より、s = a+b > 0,
8 = (左辺) ≧ s{(s/2)^2 +1}^2 = f(s),
f は単調増加だから、s ≦ 2.
0798１３２人目の素数さん
2012/11/01(木) 03:55:30.88６５. For 0≦x,y,z≦1, prove that:
(x+y+z)/3 + √{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)} ≦ 3/2,
チェビシェフより
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (1/3)(x+y+z)(3-x-y-z) = (1/3)s(3-s)
= {(3/2) - (1/3)s}^2 - {(3/2) - (2/3)s}^2
≦ {(3/2) - (1/3)s}^2,
６６. Prove the following inequality.
1/{2cos(1)}∫[1,π/2] sin(x)/x dx ≦ log(π/2)/(π-2).
チェビシェフより
{sin(x)/x + sin(y)/y} - {sin(x)/y + sin(y)/x} = {sin(x)-sin(y)}(y-x)/(xy) ≦ 0,
(左辺) = 1/{2cos(1)}∬_[1,π/2] {sin(x)/x + sin(y)/y} dxdy /(π-2)
≦ 1/{2cos(1)}∬_[1,π/2] {sin(x)/y + sin(y)/x} dxdy /(π-2)
= log(π/2)/(π-2),
６７. Let a, b, c be distinct real numbers. Prove that:
|a-b| + |b-c| + |c-a|
+ (1/2){|(b-c)/(a-b)| + |(a-b)/(b-c)|} + (1/2){|(c-a)/(b-c)| + |(b-c)/(c-a)|} + (1/2){|(a-b)/(c-a)| + |(c-a)/(a-b)|}
≧ 2√|a-b| + 2√|b-c| + 2√|c-a|.
相加・相乗平均で
(1/2)(|x/y| + |y/x|) ≧ 1,
|a-b| + 1 ≧ 2√|a-b|,
循環的にたす。
0799１３２人目の素数さん
2012/11/01(木) 03:57:10.94６８. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
1/(2a+b+c) + 1/(a+2b+c) + 1/(a+b+2c) ≦ (1/4)(1/a + 1/b + 1/c).
相加・調和平均で
1/(2a+b+c) ≦ (1/16)(1/a + 1/a + 1/b + 1/c).
循環的にたす。
６９. Let a>0, b>0, c>0, such that a+b+c=s. Prove that:
{(ss/ab -2)(ss/bc -2)(ss/ca -2)}^(1/3) ≧ 7,
(ss-2ab)(ss-2bc)(ss-2ca) = s^6 -2(ab+bc+ca)s^4 +4abcs^3 -8(abc)^2
≧ s^6 -(2/3)s^6 +4abcs^3 -8(abc)^2
= (1/3)s^6 +4(abc)s^3 -8(abc)^2
≧ 243(abc)^2 +108(abc)^2 -8(abc)^2 (s^3 ≧27abc)
= (7^3)(abc)^2,
0800１３２人目の素数さん
2012/11/01(木) 04:47:50.87７７. For a>0, b>0, c>0, d>0 with a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =4. Prove that:
(a+b+c+d-2)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/2) ≧ 9.
>>136 >>273-277 を参照。
８０. Let a>0, b>0, c>0, with abc=G^3. Prove that:
a^3 +b^3 +c^3 +6abc ≧ G(a+b+c)^2.
>>18-19 >>42 >>253 >>268-269 も見てね。
0801１３２人目の素数さん
2012/11/01(木) 05:10:03.63さすが神！ いつもながら乙の極みでござるよ
0802１３２人目の素数さん
2012/11/01(木) 13:46:45.050803１３２人目の素数さん
2012/11/01(木) 17:04:20.610804１３２人目の素数さん
2012/11/01(木) 18:05:58.89荒らし報告するぞ
0805あのこうちやんは始皇帝だった
2012/11/01(木) 19:12:04.94２０代と６０代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、関西の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
0806１３２人目の素数さん
2012/11/02(金) 00:21:28.67３４. Let a>0, b>0, c>0 such that (a^2+b^2)/(a+b)^3 + (b^2+c^2)/(b+c)^3 + (c^2+a^2)/(c+a)^3 = 3/2.
Prove that: a^2+b^2+c^2 ≧ 3/4.
コーシーで
{(a+b)+(a+b)+(b+c)+(b+c)+(c+a)+(c+a)}（左辺）≧ {a/(a+b) + b/(a+b) + b/(b+c) + c/(b+c) + c/(c+a) + a/(c+a)}^2,
4(a+b+c)（左辺）≧ (1+1+1)^2 = 9,
(a+b+c) ≧ 9/{4(左辺)} = 3/2,
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ 3/4,
３７. For -2 ≦ a,b,c ≦1 and a+b+c=0, prove that a^2+b^2+c^2 ≦ 6.
a+b+c = s とおくと、
a^2 + b^2 + c^2 = 6 -2(1-a)(1-b) -2(1-c)(2+c) +s(a+b-c-2)
= 6 -2(1-a)(1-b) -2(1-c)(2+c) (←s=0)
≦ 6, (← 題意)
0807１３２人目の素数さん
2012/11/03(土) 00:36:22.27４８. Let a>0, b>0, c>0. Prove that: (a^3)/(a+b)^2 + (b^3)/(b+c)^2 + (c^3)/(c+a)^2 ≧ (a+b+c)/4,
a+b+c=s とおく。
s･(左辺) ≧ {(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a)}^2,
2s{(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a)}
= {(a+b)+(b+c)+(c+a)}{(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a)} ≧ s^2,
(a^2)/(a+b) + (b^2)/(b+c) + (c^2)/(c+a) ≧ s/2,
または、コーシーの拡張(4)で一発。
(a+b+c){(a+b)+(b+c)+(c+a)}^2 (左辺) ≧ (a+b+c)^4,
4s^3（左辺）≧ s^4,
>>762
５１. Let a>0, b>0. Prove that: (ab)^2･(a^2 +b^2 -2) ≧ (a+b)(ab-1).
√ab = G とおくと、
(a-b)^2 = (a+b)^2 - (2G)^2 = (a+b-2G)(a+b+2G),
(左辺) - (右辺) = (G^4){2(G^2 -1) +(a-b)^2} - (a+b)(G-1)
= 2G(G^2 -1)(G^3 -1) + (a+b-2G){(a+b+2G)G^2 -G^2 +1}
≧ 0,
* (a+b+2G)G^2 - G^2 +1 ≧ 4G^3 -G^2 +1 ≧ 1 - 1/108,
0808１３２人目の素数さん
2012/11/03(土) 02:14:09.62５３. Prove that:
a(a+b)^3 + b(b+c)^3 + c(c+a)^3 ≧ (2/3)^3･(a+b+c)^4.
19 = 3^2 + 3^2 + 1^2 より
(左辺) - (右辺) = (1/27){3a^2 -3b^2 +c^2 +(7ab-22bc+11ca)/4}^2 + (3/16){a(b-c)}^2 + cyclic.
または
(左辺) - (右辺) = (1/27){3a^2 -3b^2 -c^2 +(113ab-131bc+46ca)/28}^2 + (3/16){a(b-c)}^2 + cyclic.
[第５章.494、 504]
５５. For a>0, b>0, c>0, d>0, prove that:
1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d) ≧ 25/(4G),
where G = (abcd)^(1/4).
[第5章.498, 508-513]
>>791
５９. For 0≦x,y,z≦1, prove that:
(2^x+2^y+2^z){2^(-x)+2^(-y)+2^(-z)} ≦ 10.
〔補題〕
a≧0, b≧0 のとき
cosh(a) + cosh(b) ≦ 1 + cosh(a+b),
(略証)
(右辺) - (左辺) = {cosh(a)-1}{cosh(b)-1} + sinh(a)sinh(b) ≧ 0,
または、cosh は下に凸だから、
cosh(a) ≦ {b + a･cosh(a+b)}/(a+b),
cosh(b) ≦ {a + b･cosh(a+b)}/(a+b),
辺々たす。
0809１３２人目の素数さん
2012/11/03(土) 02:41:58.77６４. Let a>0, b>0, c>0, such that abc=1. Prove that:
(a+3)/(a+1)^2 + (b+3)/(b+1)^2 + (c+3)/(c+1)^2 ≧ 3,
(a+3)/(a+1)^2 = 1/(a+1) + 2/(a+1)^2, etc.
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと、
1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) = (3+2s+t)/(1+s+t+u),
1/(a+1)^2 + 1/(b+1)^2 + 1/(c+1)^2 = {(3-6u) + (4-2u)s + 2s^2 + 2st + t^2}/(1+s+t+u)^2,
よって
(与式) ={9(1-u) + (13-2u)s +(4+u)t +6s^2 +7st +3t^2}/(1+s+t+u)^2
= 3 + {3(2-5u-u^2) +(7-8u)s -(2+5u)t +3s^2 +st}/(1+s+t+u)^2
= 3 + (-12 -s -7t +3s^2 +st)/(1+s+t+u)^2 (← u=1)
= 3 + {(5s/3 +4 +t)(s-3) +(4/3)(s^2 -3t)}/(1+s+t+u)^2
≧ 3,
等号成立は s=t=3 すなわち a=b=c=1 のとき。
[第5章.655, 663]
0810１３２人目の素数さん
2012/11/03(土) 03:00:22.57７３. Given a>0, b>0, c>0. Prove that:
a^4 + b^4 + c^4 + 33G^4 ≧ 12(ab+bc+ca)G^2,
where G=(abcd)^(1/4).
[第5章.699,723-726]
７４. Let a>0, b>0, c>0. Prove that:
a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1.
[第5章.698, 708]
７６. Given a≧0, b≧0, c≧0, d≧0. Prove that:
a/(a^3 +8) + b/(b^3 +8) + c/(c^3 +8) + d/(d^3 +8) ≦ (4/9)(s/4)^(2/3),
where s=a+b+c+d.
(x^3 +8)(2x+1) - 27x = (x-1)^2･(2x^2 +5x+8) ≧ 0,
x/(x^3 +8) ≦ (2x+1)/27, … x=1 での接線
x = a,b,c,d についてたす。
または、
x^3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≧ 9 x^(1/3), （相加･相乗平均)
∴ (左辺) ≦ (1/9){a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) + d^(2/3)} ≦ (4/9)(s/4)^(2/3).
[第5章.727-729]
0811１３２人目の素数さん
2012/11/03(土) 03:16:22.33(左辺) - (右辺) = (G^4){2(G^2 -1) +(a-b)^2} - (a+b)(G^2 -1)
７３. 訂正ｽﾏｿ.
where G=(abc)^(1/3).
今日はこの辺で。
0812１３２人目の素数さん
2012/11/03(土) 23:15:30.88５１. Let a>0, b>0. Prove that: (ab)^2･(a^2 +b^2 -2) ≧ (a+b)(ab-1).
√ab = G とおくと、
(a-b)^2 = (a+b)^2 - (2G)^2 = (a+b-2G)(a+b+2G),
(左辺) - (右辺) = (G^4){2(G^2 -1) +(a-b)^2} - (a+b)(G^2 -1)
= 2G(G^2 -1)(G^3 -1) + (a+b-2G){(a+b+2G)G^2 -G^2 +1}
≧ 0,
* (a+b+2G)G^2 - G^2 +1 ≧ 4G^3 -G^2 +1 ≧ 1 - 1/108,
>>797
６２. (蛇足)
a+b = s,
f(x) = x{(x/2)^2 +1}^2, とおくと、
(左辺) = {f(2a) + f(2b)}/2
= (a+b){a^4 -(a^3)b +(ab)^2 -a(b^3) +b^4 + 2(a^2 -ab +b^2) +1}
= f(s) + (1/4)s|a-b|^2･{(5/2)s^2 + (5/4)|a-b|^2 + 6}
≧ f(s) (s≧0)
0813１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 00:39:20.96５２. For 0≦ a,b,c ≦1, prove that:
a/(bc+1) + b/(ca+1) + c/(ab+1) ≦ 2.
通分して、
2(bc+1)(ca+1)(ab+1) -a(ca+1)(ab+1) -b(ab+1)(bc+1) -c(bc+1)(ca+1)
= abc + a(1-b)(1-c) + (1-a)b(1-c) + (1-a)(1-b)c + 2(1-a)(1-b)(1-c)
≧ 0,
等号成立は {a,b,c} = {0,1,1}
５６. Let x>0, y>0, z>0. Prove that:
√{xy(x+y)} + √{yz(y+z)} + √{zx(z+x)} ≦ √{2(x+y+z)(xy+yz+zx)},
(左辺)^2 = xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x)
+2y√{z(x+y)}√{x(y+z)} +2z√{x(y+z)}√{y(z+x)} +2x√{y(z+x)}√{z(x+y)}
≦ xy(x+y) +yz(y+z) +zx(z+x) +y{z(x+y)+x(y+z)} +z{x(y+z)+y(z+x)} +x{y(z+x)+z(x+y)}
= {(x+y)+(y+z)+(z+x)}(xy+yz+zx)
= 2(x+y+z)(xy+yz+zx),
等号成立は x=y=z.
0814１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 02:59:34.99６１. For a>0, b>0, c>0, prove that:
(b+c-a)^2/{(b+c)^2+a^2} + (c+a-b)^2/{(c+a)^2+b^2} + (a+b-c)^2/{(a+b)^2+c^2} ≧ 3/5.
(JMO-1997 本選, 第2問)
3a/(a+b+c)=x 等とおくと、x+y+z=3,
左辺第１項 = (3-2x)^2 /{(3-x)^2 +x^2}
= 2 - 9/{(3-x)^2 +x^2}
≧ 2 - 9/{5-2(x-1)}
≧ 2 - (9/25){5+2(x-1)}
= (1/5) - (18/25)(x-1), (x=1における接線)
循環的にたす。
[初代スレ.103,111-112]
>>748 >>776
２８. Let 0≦x,y,z<π/4. Prove the following inequality.
{tan(x)･tan(y)･tan(z)}^(1/3) ≦ tan{(x+y+z)/3} ≦ {tan(x) + tan(y) + tan(z)}/3,
(京大・理、1991前期、4番)
y = log(tan(x)) は上に凸、y = tan(x) は下に凸。
[初代スレ.227-229,233-235] [分かスレ１７２.381]
0815１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 04:01:36.49５７. For a>0, b>0, c>0, prove that:
(a+b)/√(a^2-ab+b^2) + (b+c)/√(3b^2-2bc+3c^2) + (c+a)/√(6c^2-3ca+6a^2) ≦ 11/3.
a^2 - ab + b^2 = (1/4)(a+b)^2 + (3/4)|a-b|^2 ≧ (1/4)(a+b)^2,
3b^2 -2bc +3c^2 = (b+c)^2 + 2|b-c|^2 ≧ (b+c)^2,
6c^2 -3ca +6a^2 = (9/4)(c+a)^2 + (15/4)|c-a|^2 ≧ (9/4)(c+a)^2,
(左辺) ≦ 2 + 1 + (2/3) = 11/3.
>>814
≧ 2 - 9/{5-2(x-1)}
は間違い。
*) {(3-x)^2+x^2}{5+2(x-1)} - 25 = 2(2x+1)(x-1)^2 ≧ 0,
ではまた明日。
0816１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 11:51:08.77a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd+2(a^2+d^2)(b^2+c^2)+2
≧2a^2+2b^2+2c^2+2d^2
0817１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 19:12:11.16a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = S とおくと、
(左辺) = (S-1)^2 + 1 -2(ad-bc)^2
= (1/2)(S-2)^2 + (1/2)S^2 -2(ad-bc)^2
= (1/2)(S-2)^2 + (1/2)(S-2ad+2bc)(S+2ad-2bc)
= (1/2)(S-2)^2 + (1/2){(a-d)^2 +(b+c)^2}{(a+d)^2 +(b-c)^2}
≧ 0,
等号成立は (a,b,c,d) = (0,1,1,0) (1,0,0,1) のとき。
ぬるぽ
0818１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 19:48:40.45６０.
直角双曲線 xy=1 の外側の点Ｐ(a,b) について、 |a+b| ≧ 2,
xy=1 の点D(1,1)
C(1/2, 1/2) と P(a,b) との距離CP ≧ CD,
∴ √(a^2 + b^2 -a -b +1/2) ≧ √(1/2),
でござるな。
0819１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 22:08:51.28１２２
Let $a,\ b$ be positive real numbers.
Prove that :
$$\displaystyle \frac{(1+a)(1+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$$
http://suseum.jp/gq/question/1870
0820１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 23:49:50.13１２２. Let a>0, b>0. Prove that:
(1+a)(1+b)(1-ab)/{(1+a^2)(1+b^2)} ≦ (3√3)/4,
等号成立は a = b = 2-√3 = tan(π/12).
a=tanα, b=tanβ とおくと、（0 < α,β< π/2）
(左辺) = (cosα+sinα)(cosβ+sinβ)cos(α+β)
= 2cos(α -π/4)cos(β -π/4)cos(α+β)
だが....
0821１３２人目の素数さん
2012/11/04(日) 23:53:01.33a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = S とおくと、
(左辺) = (S-1)^2 + 1 -2(ad-bc)^2
何をやってるかわからん！
0822１３２人目の素数さん
2012/11/05(月) 00:18:37.22(左辺)－(右辺) = {S^2 -2(ad)^2 -2(bc)^2 +4abcd +2}－2S
= (S-1)^2 +1 -2(ad-bc)^2
= ･････
ですた。ｽﾏｿ.
0823１３２人目の素数さん
2012/11/05(月) 02:39:21.76a, bを正に限る必要がわからん！
0824１３２人目の素数さん
2012/11/07(水) 00:25:16.23(左辺) = (cosα+sinα)(cosβ+sinβ)cos(α+β)
= {cos(α-β) + sin(α+β)}cos(α+β),
・|α+β|≦π/2 のとき、cos(α+β) ≧ 0,
(左辺) ≦ {1 + sin(α+β)}cos(α+β)
= (1+sinθ)cosθ = f(θ) ≦ f(π/6) = (3√3)/4,
∵ f '(θ) = (1+sinθ)(1-2sinθ) より、sinθ=1/2 で極大。
・π/2 ≦ |α+β| ≦π のとき、cos(α+β) ≦ 0,
(左辺) ≦ {-1 + sin(α+β)}cos(α+β)
= (1-sinθ)(-cosθ) = g(θ) ≦ g(-π/6) = (3√3)/4,
∵ g '(θ) = (1-sinθ)(1+2sinθ) より、sinθ=-1/2, で極大。
あるいは
|sin(α+β)| ≧ |sin(α+β)cos(α-β)| = |sin(2α)+sin(2β)| /2 = |s|,
より
(左辺)^2 = {1+sin(2α)}{1+sin(2β)} {1 - |sin(α+β)|^2}
≦ {1 + [sin(2α)+sin(2β)]/2}^2・(1-s^2)
= (1+s)^2･(1-s^2)
= (27/16) - (1/2 -s)^2･{(3/4)+(1+s)+(1+s)^2}
≦ 27/16,
等号成立は s=1/2, (α,β) = (π/12,π/12) かな？
0825１３２人目の素数さん
2012/11/09(金) 06:36:35.96解凍例
(3)
x+y>1 の場合は 1-x-y<0 だから (左辺) <0.
∴ x+y≦1 の場合を考えれば十分。
1-x-y = z ≧ 0 とおくと、
(左辺) = xyz/{(y+z)(z+x)(x+y)}
= xyz/{8xyz + x(y-z)^2 +y(z-x)^2 +z(x-y)^2}
≦ 1/8,
等号成立は x=y-z=1/3.
0826１３２人目の素数さん
2012/11/11(日) 00:23:23.19解凍例
(1)
z = (2+ia)(2+ib)(2+ic)
= 8 +4i(a+b+c) -2(ab+bc+ca) -iabc
= 2(4-ab-bc-ca) +i(4a+4b+4c-abc)
= 2(4-ab-bc-ca) +i(36-abc),
|z|^2 の最小値を求める。
0827１３２人目の素数さん
2012/11/11(日) 20:44:12.07a,b,c>0, ab+bc+ca + 2abc = 1 のとき
a+b+c + 4abc ≧ 2,
を示せ。（じゅー）
casphy - 高校数学 - 不等式 - 966
0828１３２人目の素数さん
2012/11/12(月) 00:14:55.32７１. Let a, b & c be the side lengths of a triangle. Prove that:
a^2･b(a-b) + b^2･c(b-c) + c^2･a(c-a) ≧ 0.
(b+c-a)/2 =x, (c+a-b)/2 =y, (a+b-c)/2 =z, とおく。(x,y,z>0)
a=y+z, b=z+x, c=x+y,
a^2･b(a-b) = (y+z)^2･(z+x)(y-x)
= (xy^3 +yz^3) + (zy^3 -xz^3) +{2(yz)^2 -(zx)^2 -(xy)^2} +xyz(-2x+y-z),
(左辺) = 2(xy^3 +yz^3 +zx^3 -xyz(x+y+z)}
= 2{(2/7)xy^3 +(1/7)yz^3 +(4/7)zx^3 -(xyz)x} + cyclic
≧ 0.
0829１３２人目の素数さん
2012/11/12(月) 01:18:13.630830１３２人目の素数さん
2012/11/12(月) 01:49:45.89Σcyc (1/2)(a-b)^2(a+b-c)≧0
0831馬と鹿と豚さん
2012/11/12(月) 17:46:26.77, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚ばかりね。
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0832１３２人目の素数さん
2012/11/12(月) 18:13:12.79不等式はどうだろう
0833１３２人目の素数さん
2012/11/13(火) 00:15:07.19>>827
定石どおりに置くのがシュアー
a = x/(y+z), b = y/(z+x), c = z/(x+y),
a+b+c + 4abc -2 = F_1(x,y,z)/{(x+y)(y+z)(z+x)} ≧ 0,
ここに
F_n(x,y,z) = x^n･(x-y)(x-z) + y^n･(y-z)(y-x) + z^n･(z-x)(z-y) ≧ 0.
>>828
７１.
(左辺) = (1/2)Σ_cyc (a-b)^2･(a+b-c)(b+c-a) ≧ 0,
0834１３２人目の素数さん
2012/11/13(火) 22:00:14.27>>829
(2+x)(2-x-yz) = (y-z)^2 ≧ 0,
0 ≦ 2-x-yz,
循環的にたすと、
0 ≦ 6-s-t ≦ 6 -√(3t) -t = (√3 -√t)(2√3 +√t)
∴ 0 ≦ t ≦ 3,
∴ (s+t)(s-t) = s^2 - t^2 ≧ (3-t)t ≧ 0,
∴ s-t ≧ 0.
ここに、s=x+y+z, t=xy+yz+zx.
0835１３２人目の素数さん
2012/11/13(火) 23:39:09.920836１３２人目の素数さん
2012/11/14(水) 00:21:09.22>>835
ab+bc+ca = {(a+b+c)^2 -a^2 -b^2 -c^2}/2
= -(a^2 +b^2 +c^2)/2
≦ 0.
0837１３２人目の素数さん
2012/11/15(木) 09:55:02.56√(a+4bc)+√(b+4ca)+√(c+4ab)≧4√(ab+bc+ca)
0838馬と鹿と豚さん
2012/11/15(木) 20:26:13.66, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
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0839１３２人目の素数さん
2012/11/16(金) 07:06:43.12C.1144
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201211&t=mat&l=en
0840β
2012/11/16(金) 07:08:51.740841１３２人目の素数さん
2012/11/17(土) 00:06:16.57(x+y)(y+z)(z+x)≦(x^3+1/y)(y^3+1/z)(z^3+1/x)
だれか助けて
0842１３２人目の素数さん
2012/11/17(土) 00:19:50.89C.1144.
解1.
x^2 + y^2 = r^2 とおくと、
1 ≦ xy+2 = (1/2){r^2 -(x-y)^2} +2 ≦ (1/2)r^2 +2,
|x+y| = √{2r^2 - (x-y)^2} ≦ (√2)r,
等号が両立するのは x=y のとき。
∴ S = (xy+2)(x+y) +3
≦ (xy+2)|x+y| +3
≦ {(1/2)r^2 +2}(√2)r +3.
解2.
S = (2-x^2)x + (2-y^2)y +2(x+y) +3
= {3x－(1+1+x^3)} + {3y－(1+1+y^3)} + x+y +7
= -(2+x)(1-x)^2 -(2+y)(1-y)^2 + x+y +7
≦ x+y +7 (等号はx=y=1)
≦ |x+y| +7
= √{2r^2 -(x-y)^2} +7
≦ (√2)r +7,
安産...
0843１３２人目の素数さん
2012/11/17(土) 23:14:50.44これ,難しい。ようやく, 解けたが...
0844１３２人目の素数さん
2012/11/17(土) 23:57:52.12a,b,c>0 ⇒ a/(2a+b+c)+b/(a+2b+c)+c/(a+b+2c)≦3/4
0845１３２人目の素数さん
2012/11/18(日) 00:26:22.36, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
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0846１３２人目の素数さん
2012/11/18(日) 07:14:18.57相加･調和平均（またはコーシー）により
(左辺) = 3 -(a+b+c){1/(2a+b+c) + 1/(a+2b+c) + 1/(a+b+2c)}
≦3 -(a+b+c)*9/{(2a+b+c)+(a+2b+c)+(a+b+2c)} (相加-調和)
= 3 -(a+b+c)*9/{4(a+b+c)}
= 3 - (9/4)
= 3/4.
0847１３２人目の素数さん
2012/11/18(日) 10:18:12.48自分の解答
a/(2a+b+c)
=a/｛(a+b)+(c+a)｝
≦a*｛1/(a+b)+1/(c+a)｝/4（∵相加調和平均）
=(1/4)｛a/(a+b)+a/(c+a)｝
他も同様にして、辺々を加えると目的の不等式を得る って考えた
0848１３２人目の素数さん
2012/11/18(日) 16:55:55.17x,y,zが三角形の三辺 ⇒ (x+y-z)/(2x+2y-z)+(y+z-x)/(2y+2z-x)+(z+x-y)/(2z+2x-y)≦1
0849１３２人目の素数さん
2012/11/19(月) 20:19:29.42a,b,c>0 ⇒ (a^2+ab+bc)/｛b(c+2a)｝+(b^2+bc+ca)/｛c(a+2b)｝+(c^2+ca+ab)/｛a(b+2c)｝≧3
なんか形が汚い；
0850１３２人目の素数さん
2012/11/19(月) 21:46:40.60ｷｬｽﾌｨｰの解答から...
解1.
分子 >0 だから
(x+y-z)/(2x+2y-z) = 2(x+y-z)/[3(x+y-z)+(x+y+z)]
≦ (1/2)(x+y-z){1/[3(x+y-z)] + 1/(x+y+z)} (調和･相加平均)
= (1/6) + (x+y-z)/[2(x+y+z)],
循環的にたす。
解2.
条件を緩め、 分母>0 とする。
(x+y-z)/(2x+2y-z) = {2(2x+2y-z) -(x+y+z)}/[3(2x+2y-z)]
= (2/3) - (1/3)(x+y+z)/(2x+2y-z),
循環的にたすと
(左辺) = 2 - (1/3)(x+y+z){1/(2x+2y-z) + 1/(2y+2z-x) + 1/(2z+2x-y)}
≦ 2 - 3(x+y+z)/[(2x+2y-z)+(2y+2z-x)+(2z+2x-y)] (相加･相乗平均)
= 2 - 1.
0851１３２人目の素数さん
2012/11/20(火) 14:37:34.700852１３２人目の素数さん
2012/11/21(水) 23:50:16.29(a^2+ab+bc)/｛b(c+2a)｝=(a^2/b+a+c)/(c+2a)である。
ところで
(a^2/b+a+c)(b+a+c)≧(a+a+c)^2(∵コーシーシュワルツの不等式)
両辺を(a+b+c)(c+2a)で割って
(a^2/b+a+c)/(c+2a)≧(c+2a)/(a+b+c)
循環的に加えれば、(左辺)≧3
0853１３２人目の素数さん
2012/11/22(木) 21:43:05.82やる気スイッチ、ポチッとな ( ﾟ∀ﾟ)！
ﾊﾟﾁﾝ ＿_ノ＼
off | .ノ＼| off
￣￣￣
0854１３２人目の素数さん
2012/11/23(金) 03:21:34.30a=G/A, b=G/B, c=G/C, とおくと、
ABC = G^3,
(左辺) = (A+B)/(G+A+B) + (B+C)/(G+B+C) + (C+A)/(G+C+A)
= 2 + {(A+B+C)(AB+BC+CA)-G^3 -2(A+B+C+G)G^2}/{(G+A+B)(G+B+C)(G+C+A)}
= 2 + {(A+B+C)(AB+BC+CA-3G^2) +(A+B+C-3G)G^2}/{(G+A+B)(G+B+C)(G+C+A)}
≧ 2,
∵ 相加相乗平均より A+B+C-3G≧0, AB+BC+CA-3G^2≧0,
>>852
x = a+c≧0. コーシーより
(a^2/b +x)(b+x) - (a+x)^2 = (a^2/b + b -2a)x = {(a-b)^2 /b}x ≧ 0,
0855１３２人目の素数さん
2012/11/23(金) 04:36:31.81その置き換えに気づきませんが、ヒラメキですか？
理詰めで、こう置けば上手くいくだろうとか、式の形から分かるものなのですか？
ちなみに模範解答は、もっと気づきにくい解法でしたが…
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1209a.pdf
0856１３２人目の素数さん
2012/11/23(金) 05:37:50.77分母が２次式のままでは通分したくない。（メチャ面倒）
１次分数式にもってくる為に逆数変換しますた。（定石）
３乗根も使いたくないし....
0857１３２人目の素数さん
2012/11/23(金) 06:35:53.83精進しまつ
ﾊﾟﾁﾝ ＿_ノ＼
on | .ノ＼| on
￣￣￣
0858１３２人目の素数さん
2012/11/23(金) 12:07:27.760859１３２人目の素数さん
2012/11/23(金) 12:36:05.530860１３２人目の素数さん
2012/11/23(金) 19:25:10.44|a|,|b|≦1,a+b≠0 ⇒ √(1-a^2)+√(1-b^2)+1≦2√(1+1/(a+b)^2)
0861狢という野獣 ◆yEy4lYsULH68
2012/11/23(金) 22:15:58.84狢
>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>
0862１３２人目の素数さん
2012/11/24(土) 00:06:06.58n->∞で√(2π/e)か、おもしろい
0863狢という野獣 ◆yEy4lYsULH68
2012/11/24(土) 04:30:27.06狢
>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>
0864１３２人目の素数さん
2012/11/26(月) 04:57:23.05Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers such that $abc=1$.
Prove that :
$$a+b+c \geq \frac{2}{a+1} + \frac{2}{b+1} + \frac{2}{c+1}$$.
http://suseum.jp/gq/question/1893
0865１３２人目の素数さん
2012/11/26(月) 06:46:01.160866１３２人目の素数さん
2012/11/26(月) 23:10:30.24ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
a+b=s とおく。y=√(1-x^2) は上半円だから上に凸。
∴ (左辺) ≦ 2√{1 - (s/2)^2} +1 = √(4-s^2) +1,
∴ a=b=s/2 の場合を考えれば十分。
(右辺) = 2√(1 + 1/s^2) = R(s) とおく。
{[R(s)-1]^2 -(4-s^2)}{[R(s)+1]^2 -(4-s^2)}
= {R(s)^2 -1}^2 -2{R(s)^2 -1}(4-s^2) +(4-s^2)^2 -4(4-s^2)
= {R(s)^2 -1 -(4-s^2)}^2 -4(4-s^2)
= (4/s^2 -1 +s^2)^2 -4(4-s^2)
= (4/s^2 -1 -s^2)^2
≧ 0,
等号成立は s^2 = {(√17)-1}/2 のとき。
∴ [R(s)-1]^2 = (4-s^2) + (4/s^2 -1-s^2)^2／{[R(s)+1]^2 -(4-s^2)}
≧ 4-s^2,
∴ √(4-s^2) +1 ≦ R(s),
0867１３２人目の素数さん
2012/11/27(火) 05:43:43.52学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。
やらなければこちらがブスッと刺す。血が出るかも。
生理の時は私がタンポンを入れたり抜いたりしてやる。血が付くかも。
云う事聞かない奴は逆さ吊りだ。トイレに行きたくなっても行かせない。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ 。勿論女子学生同士の愛も OK.
女子学生は皆食べ頃だ。参加しない奴には単位を出さない。
等と云った妄想を毎日朝から晩までしている。
授業中もチンコが立ちっぱなしで困る。
0868１３２人目の素数さん
2012/11/27(火) 13:03:25.63http://suseum.jp/gq/question/1903
0869１３２人目の素数さん
2012/11/27(火) 13:39:34.32で終わり
0870１３２人目の素数さん
2012/11/28(水) 23:23:04.88ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
相乗・相加平均：
(a1･a2･････an)^(1/n) ＋ {(1-a1)(1-a2)･････(1-an)}^(1/n) ≦ 1.
で終わり
0871１３２人目の素数さん
2012/11/29(木) 02:28:26.33(x+y)^2≦(x^2+1)(1+y^2)（∵コーシー）
循環的にかけて、
｛(x+y)(y+z)(z+x)｝^2≦｛(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)｝^2…①
また、
(x^2+1)^2=(√(x^3)√x+√(1/y)√y)^2≦(x^3+1/y)(x+y)(∵コーシー)
循環的にかけて、
｛(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)｝^2
≦(x^3+1/y)(y^3+1/z)(z^3+1/x)(x+y)(y+z)(z+x)…②
①,②より
｛(x+y)(y+z)(z+x)｝^2≦(x^3+1/y)(y^3+1/z)(z^3+1/x)(x+y)(y+z)(z+x)
両辺を(x+y)(y+z)(z+x)(>0)で割れば
(x+y)(y+z)(z+x)≦(x^3+1/y)(y^3+1/z)(z^3+1/x)
0872１３２人目の素数さん
2012/11/30(金) 13:57:45.41△ABCが鋭角三角形のとき
(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)
のとりうる値の範囲を求めよ
0873１３２人目の素数さん
2012/11/30(金) 14:05:11.200874１３２人目の素数さん
2012/11/30(金) 14:43:20.05これ？
0875１３２人目の素数さん
2012/11/30(金) 14:55:11.980876１３２人目の素数さん
2012/12/01(土) 00:28:39.150877１３２人目の素数さん
2012/12/01(土) 09:09:46.55{sin(A)+sin(B)+sin(C)}／{cos(A)+cos(B)+cos(C)} = f(A,B,C)
とおく.
f(A,B,C) － f((A+B)/2,(A+B)/2,C)
= 2sin(C-(A+B)/2){1-cos((A-B)/2)}／{[cos(A)+cos(B)+cos(C)][2cos((A+B)/2)+cos(C)]}
= 2sin((3C-π)/2){1-cos((A-B)/2)}／{[cos(A)+cos(B)+cos(C)][2cos((A+B)/2)+cos(C)]}
（← 題意）
A≦B≦C としてよい。
題意より、C ≧ π/3､
∴ f(A,B,C) ≧ f((A+B)/2, (A+B)/2, C)
= f((π-C)/2, (π-C)/2, C)
= {2cos(C/2) + sin(C)}/{2sin(C/2) + cos(C)}
= 2cos(C/2){1+sin(C/2)}／{[1+sin(C/2)]^2 －3sin(C/2)^2}
≧ √3,
等号は A=B=C=π/3 のとき。
題意より、A ≦π/3,
∴ f(A,B,C) ≦ f(A,(B+C)/2,(B+C)/2)
= f(A,(π-A)/2,(π-A)/2)
= {sin(A) + 2cos(A/2)}／{cos(A) + 2sin(A/2)}
= 2cos(A/2){1+sin(A/2)}／{[1+sin(A/2)]^2 －3sin(A/2)^2}
< 2,
等号は (A,B,C) = (0,π/2,π/2) のとき。
0878１３２人目の素数さん
2012/12/01(土) 09:39:19.73125 http://suseum.jp/gq/question/1905
126 http://suseum.jp/gq/question/1906
0879１３２人目の素数さん
2012/12/01(土) 18:25:32.00http://www.bmoc.maths.org/home/bmo2-2010.pdf
0880１３２人目の素数さん
2012/12/02(日) 09:12:06.13www
0881１３２人目の素数さん
2012/12/02(日) 11:05:42.24| ヽ （ ｡_｡） （ ｡_｡） ＜旦那様が
/ ● ● ヾ ／<▽> ／<▽>
| ( _●_) | |::::::;;;;::/ |::::::;;;;::/ ｢エサはまだか？｣
彡､ |） |∪| .ⅲ｀ミ |:と),__｣ .|:と),__｣
＿/ ＿∥ ヽノ ∥＿＼＿_. |::::::::| .|::::::::| と申しております
(＿＿＿） (＿＿ノ ＼:::::::| |:::::::|
0882１３２人目の素数さん
2012/12/02(日) 11:36:43.70Given real numbers $a,\ b,\ c\in{[0,\ 2]}$ with $a+b+c=3$.
Prove that :
$$\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}+(\sqrt{3}-1)(|a-1|+|b-1|+|c-1|)\geq 3\sqrt{3}.$$
１２６
Let $a,\ b,\ c,\ d$ be real numbers such that $a^2+b^2+c^2+d^2=20$.
Prove that :
\[|a+2|+|b+2|+|c+2|+|d+2|+|a|+|b|+|c|+|d|+|a-2|+|b-2|+|c-2|+|d-2|\leq 28.\]
１２７
Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $ab+bc+ca+2abc=1.$
Prove that :
$$a+b+c-8abc\ge\frac{1}{2}.$$
0883１３２人目の素数さん
2012/12/03(月) 00:42:42.47１２５.
0≦x≦2 のとき
g(x) = √(4-x^2) + (√3 -1)|x-1| ≧ √3 +1 -x,
∵ y=√(4-x^2) は上半円の一部なので、上に凸。
0≦x≦1 ⇒ g(x) ≧ g(1) + {g(0)-g(1)}(1-x) = √3 +1 -x,
1≦x≦2 ⇒ g(x) ≧ g(1) + {g(2)-g(1)}(x-1) = √3 +1 -x,
１２６.
|x-2|+|x|+|x+2| = Max{4+|x|, 3|x|} ≦ (9+x^2)/2,
等号成立は |x| = 1, 3 のとき。
∵ (9+x^2)/2 - (4+|x|) = (1/2)(1-|x|)^2 ≧ 0,
(9+x^2)/2 - 3|x| = (1/2)(3-|x|)^2 ≧ 0,
0884１３２人目の素数さん
2012/12/03(月) 00:50:55.36１２７．定石どおりに
a=x/(y+z), b=y/(z+x), c=z/(x+y), (x,y,z>0)
とおく。 >>400 >>833
x+y+z = s,
xy+yz+zx = t,
xyz = u,
とおくと、
(x+y)(y+z)(z+x) = st-u,
(左辺) = {(x^3 +y^3 +z^3 -3xyz) + (st-5u)}/(st-u)
= (1/2) + {(x^3 +y^3 +z^3 -3xyz) + (st-9u)/2}/(st-u)
≧ 1/2.
∵ 相加相乗平均より
x^3+y^3+z^3 -3xyz ≧0,
st-9u = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧ 0,
0885１３２人目の素数さん
2012/12/03(月) 00:54:51.83ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
問題４.
x,y,z>0 ⇒ 4(x+y+z)^3 > 27(xxy+yyz+zzx),
(略解)
x≦y,z としても一般性を失わない。
y-x=b>0, z-x=c>0 とおく。
f(x,y,z) = (x+y+z)^3 - 9(xxy+yyz+zzx),
= f(0,y-x,z-x)
= f(0,b,c)
(左辺) - (右辺) = 4(x+y+z)^3 -27(xxy+yyz+zzx)
= (x+y+z)^3 + 3f(x,y,z)
= (3x+b+c)^3 + 3f(0,b,c)
≧ 4(b+c)^3 -27･b^2･c
= (4b+c)(b-2c)^2
≧ 0,
等号成立は b-2c=0, (x,y,z)=(0,2,1) とそのrotation
>>100 に一般化がある。
0886１３２人目の素数さん
2012/12/03(月) 01:12:40.89１２７.の〔類題763〕
a,b,c >0 が ab+bc+ca + 2abc =1, を満たすとき次を示せ。（じゅー）
a/(1+a^2) + b/(1+b^2) + c/(1+c^2) ≦ 6/5,
casphy - 高校数学 - 不等式 - 763
0887１３２人目の素数さん
2012/12/03(月) 23:03:02.18>>393 >>404-408 で解決済....
0888１３２人目の素数さん
2012/12/04(火) 11:31:52.690889１３２人目の素数さん
2012/12/04(火) 11:55:48.82拝啓
寒さがひとしお身にしみるころとなりましたが如何お過ごしでせうか。
遅ればせながら、的確なる御指摘に慎んで感謝致しまつ。
風邪など召されませぬやう、くれぐれもお気をつけてお過ごしくださいませ。
急ぎ用件のみにて失礼いたしまつ。
敬具
274 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/01/27(金) 00:58:55.75
>>272
多忙に付きせんだっての件挨拶が遅れてたいへんもうしわけなく思っていました
0890１３２人目の素数さん
2012/12/04(火) 15:34:34.850891１３２人目の素数さん
2012/12/04(火) 16:37:43.78共産党やナチスより酷い妙ちくりんな集団
前科者も複数紛れて、いかにも大阪らしい
無党派さん[] 投稿日：2012/12/03(月) 21:55:03.05 ID:3W6Dp3GZ [11/13]
http://www.jiji.com/jc/c?g=pol_30&;k=2012120300800
維新 比例名簿の登載順位は次の通り。
（丸囲み数字は順位。同一順位の重複立候補者名は省略。前＝前職、元＝元職、新＝新人。敬称略）
【北海道＝４人】(1)重複候補３人 (4)米長知得（新）
【東北＝１１人】(1)小熊慎司（新）＝福島４区 (2)重複候補２人 (4)重複候補８人
【北関東＝１８人】(1)上野宏史（新）＝群馬１区 (2)石関貴史（前）＝同２区 (3)重複候補１４人 (17)植竹哲也（新）(18)仲田大介（新）
【南関東＝２０人】(1)小沢鋭仁（前）＝山梨１区 (2)松田学（新） (3)重複候補１６人 (19)田中甲（元） (20)横田光弘（新）
【東京＝２２人】(1)石原慎太郎（元） (2)今村洋史（新） (3)山田宏（元）＝東京１９区 (4)重複候補１８人 〔２２〕上村昭徳（新）
【北信越＝１０人】(1)中田宏（元） (2)重複候補８人 (10)堀居哲郎（新）
【東海＝１４人】(1)藤井孝男（元） (2)今井雅人（前）＝岐阜４区 (3)重複候補１１人 (14)近藤浩（元）
【近畿＝４０人】(1)東国原英夫（新） (2)西村真悟（元） (3)重複候補８人 (11)三宅博（新） (12)重複候補２８人 〔４０〕喜多義典（新）
【中国＝８人】(1)重複候補６人 (7)藤井昇（新） (8)谷本彰良（新）
【四国＝７人】(1)重複候補４人 (2)重複候補２人 (7)大内淳司（新）
【九州＝１９人】(1)松野頼久（前）＝熊本１区 (2)重複候補１７人 (19)黒仁田典之（新）
マスコミに踊らされる前に、中身見たほうがいいな
0892狢は性犯罪者 ◆yEy4lYsULH68
2012/12/04(火) 17:47:29.81数学者になりたかったら：
１．『犯罪に手を染めない事』：★★★重要な追加事項★★★
２．もし出来たら論文でも書きましょうネ。♪
どや、コレでエエのんかァ！ お返事してや～
ケケケ狢
>525 名前：１３２人目の素数さん ：2012/12/02(日) 15:30:43.08
> >>524
> 犯罪に手を染めない事も付け加えとけ、前科者｡
>
0893１３２人目の素数さん
2012/12/04(火) 22:30:15.49ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
a/(1+a^2) = (1+28a)/{25(1+a)} - {(1+7a)(1-2a)^2}/{25(1+a)(1+a^2)}
≦ (1+28a)/{25(1+a)}
= (28x+y+z)/{25(x+y+z)}, (← a=x/(y+z)）
循環的にたす。等号成立は a=b=c=1/2,
0894芳雄
2012/12/05(水) 00:49:33.83うるせぇ！
芳雄
0895狢は性犯罪者 ◆yEy4lYsULH68
2012/12/05(水) 03:12:38.34数学者になりたかったら：
１．『犯罪に手を染めない事』：★★★重要な追加事項★★★
２．もし出来たら論文でも書きましょうネ。♪
どや、コレでエエのんかァ！ お返事してや～
ケケケ狢
>525 名前：１３２人目の素数さん ：2012/12/02(日) 15:30:43.08
> >>524
> 犯罪に手を染めない事も付け加えとけ、前科者｡
>
0896１３２人目の素数さん
2012/12/05(水) 03:27:24.160897１３２人目の素数さん
2012/12/05(水) 16:19:57.19降参
0898１３２人目の素数さん
2012/12/05(水) 16:23:19.51| ヽ （ ｡_｡） （ ｡_｡） ＜旦那様が
/ ● ● ヾ ／<▽> ／<▽>
| ( _●_) | |::::::;;;;::/ |::::::;;;;::/ ｢解答はまだか？｣
彡､ |） |∪| .ⅲ｀ミ |:と),__｣ .|:と),__｣
＿/ ＿∥ ヽノ ∥＿＼＿_. |::::::::| .|::::::::| と申しております
(＿＿＿） (＿＿ノ ＼:::::::| |:::::::|
0899１３２人目の素数さん
2012/12/05(水) 21:37:58.28ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
便宜上、√1.5 = t とおく。
(右辺) - (左辺)
= t^3 -(a+b){(9/4)-(1/2)(a+b)^2}
= t^3 - (3/2)(a+b)t^2 + (1/2)(a+b)^3
= {t + (a+b)/2}(t-a-b)^2
≧ 0,
等号成立は a+b=t, ab=1/4 のとき。
{a,b} = {(√6 -√2)/4, (√6 +√2)/4}
= {sin(π/12), cos(π/12)}.
0900１３２人目の素数さん
2012/12/05(水) 23:50:11.12∩＿＿＿∩ ∧∧ ∧∧
| ヽ （ ｡_｡） （ ｡_｡） ＜旦那様が
/ ● ● ヾ ／<▽> ／<▽>
| ( _●_) | |::::::;;;;::/ |::::::;;;;::/ ｢a=sinθ、b=cosθ、0≦θ≦π/2と置きたい｣
彡､ |） |∪| .ⅲ｀ミ |:と),__｣ .|:と),__｣
＿/ ＿∥ ヽノ ∥＿＼＿_. |::::::::| .|::::::::| と申しております
(＿＿＿） (＿＿ノ ＼:::::::| |:::::::|
0901１３２人目の素数さん
2012/12/06(木) 23:47:56.44A5／272ページ／2013年01月25日
ISBN978-4-254-11137-8 C3041
定価3,990円（税込）
佐藤淳郎 訳
"Inequalities A Mathematical Olympicd Approach"の翻訳。
数学全般で広く使われる有名な不等式や実用的テクニックを系統立てて説明し，
数学オリンピックの問題をふんだんに使って詳しく解説。
多数の演習問題およびその解答も付す。
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11137-8/
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
0902１３２人目の素数さん
2012/12/07(金) 00:17:27.98a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
題意より、s≧3, t=3, u≦1.
便宜上、K > 1.4444847 とする。
(3a^2 +K)(3b^2 +K)(3c^2 +K) - (t+K)^3
= -(3u + ct/2)c(a-b)^2 -(3u + at/2)a(b-c)^2 -(3u + bt/2)b(c-a)^2
+ 3{cc(a-b)^2 + aa(b-c)^2 + bb(c-a)^2}K
+ 1.5{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}K^2
= (-3u -ct/2 +3ccK +1.5KK)(a-b)^2
+ (-3u -at/2 +3aaK +1.5KK)(b-c)^2
+ (-3u -bt/2 +3bbK +1.5KK)(c-a)^2
≧ (-3 -3c/2 +3ccK +1.5KK)(a-b)^2
+ (-3 -3a/2 +3aaK +1.5KK)(b-c)^2
+ (-3 -3b/2 +3bbK +1.5KK)(c-a)^2,
また、
-3 -3c/2 +3ccK +1.5KK
= (3/K)(1/4 - cK)^2 + (3/2K)(K^3 -2K -1/8)
≧ 0, etc.
0903β
2012/12/07(金) 00:27:55.560904１３２人目の素数さん
2012/12/07(金) 01:09:35.220905１３２人目の素数さん
2012/12/07(金) 15:21:44.31a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca
まずこれから証明を得たいと思います
でも検討がつきません。
よければコツを教えてください
0906１３２人目の素数さん
2012/12/07(金) 15:26:48.22それは代表的な参考書に必ず出ている典型問題
まず自分の持っている参考書を全ページ見直し給え
載っていなかったなら本屋に行って載ってる本を購入し直すことを勧める
その不等式をそのままぐぐっても手掛かりが見つかるはず
ヒントだけ言っとくと2乗の和の形に整理する
0907１３２人目の素数さん
2012/12/07(金) 22:58:09.212. aについての2次不等式とみなす
3. 対称性に着目
0908１３２人目の素数さん
2012/12/07(金) 23:01:13.03を示してください。
0909１３２人目の素数さん
2012/12/07(金) 23:44:20.08・差をとって、２乗の和の形に整理する。 >>906
・相加相乗平均で a^2 + b^2 ≧ 2ab、循環的にたす。
・コーシーで (a^2 +b^2 +c^2)(A^2 +B^2 +C^2) ≧ (aA+bB+cC)^2,
A→b, B→c, C→a.
・チェビシェフで、 箔ｯ順序積 ≧ 迫随㍼�ﾏ,
・min{a,b,c)=m, {a,b,c}={m,m+x,m+y} とおく。
(左辺) - (右辺) = x^2 + y^2 - xy = {x^2 + y^2 + (x-y)^2}/2 ≧ 0
0910１３２人目の素数さん
2012/12/08(土) 00:43:39.28(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 + 2 (a b + b c + c a) =
2 ( a^2 + b^2 + c^2)
∴( a^2 + b^2 + c^2) >= (a b + b c + c a)
でいいんじゃ？
0911１３２人目の素数さん
2012/12/08(土) 07:54:34.32デタラメな解答書くな
0912１３２人目の素数さん
2012/12/08(土) 21:42:09.84f(θ, (π-θ)/2, (π-θ)/2)
= {sinθ + 2cos(θ/2)}／[cosθ + 2sin(θ/2)]
≡ g(θ),
とおくと、
g '(θ) = {sin(3θ/2)-1}／[cosθ + 2sin(θ/2)]^2 ≦ 0,
で単調減少。
f(A,B,C) ≧ g(C) > g(π/2) = 1 + (1/√2),
f(A,B,C) ≦ g(A) < g(0) = 2,
と言いたかった？
>>910
仰せのとおり。
0913１３２人目の素数さん
2012/12/08(土) 22:34:35.08それは,解法を知っているからさくっと、変形できるのですな。
a, b, c, d>0 のとき, a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd≧0 を正値式の和形による変形してみよ。
0914１３２人目の素数さん
2012/12/08(土) 22:35:52.390915１３２人目の素数さん
2012/12/09(日) 00:13:50.92たとえば
a^4 + b^4 -2(ab)^2 = (a^2 -b^2)^2,
c^4 + d^4 -2(cd)^2 = (c^2 -d^2)^2,
(ab)^2 + (cd)^2 -2abcd = (ab-cd)^2,
(ab)^2 + (cd)^2 -2abcd = (ab-cd)^2,
辺々たす。
（符号条件は不要かも....）
0916１３２人目の素数さん
2012/12/10(月) 01:24:53.39密かに期待している、これ読めば解法が身につくだろうか？
パッと見てどの置き換えでいけばいいか見えてくればいいのだがの
0917１３２人目の素数さん
2012/12/14(金) 19:41:44.94Prove that :
$$\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq 1\ (n=2,\ 3,\ \cdots)$$
without using definition of $e$.
0918あのこうちやんは始皇帝だった
2012/12/14(金) 19:52:52.33死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
0919御令嬢様
2012/12/15(土) 00:18:35.04, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
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0920１３２人目の素数さん
2012/12/15(土) 00:57:20.73１２８.
まづ、
1+x ≦ e^x より、log(1+x) ≦ x,
log(1 -1/N) = -log(1 + 1/(N-1)) ≧ -1/(N-1),
∴ (N-1)log(1 -1/N) ≧ -1,
N = n^2 とおいて n+1 で割ると、
(n-1)log(1 -1/n^2) ≧ -1/(n+1),
一方、
log(1 +1/n) = -log(1 -1/(n+1)) ≧ 1/(n+1),
辺々たすと、
log(左辺) = (n-1)log(1 -1/n) + n･log(1 +1/n)
= (n-1)log(1 -1/n^2) + log(1 +1/n)
≧ -1/(n+1) + 1/(n+1)
= 0,
0921１３２人目の素数さん
2012/12/15(土) 13:18:10.28納i=0,n](n-i)*(2nＣi)<2^2n
コレって正しいですか？
Ｃがあるとうまい方法が思い浮かばない
0922令嬢
2012/12/15(土) 20:56:33.79, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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0923１３２人目の素数さん
2012/12/15(土) 23:05:10.25(n-i)*Ｃ[2n,i] = {(2n-i)*Ｃ[2n,i] - i*Ｃ[2n,i]}／2
= n*{Ｃ[2n-1,i] - Ｃ[2n-1,i-1]}, (0<i<2n)
(n-i)*Ｃ[2n,i] = n = n*Ｃ[2n-1,i] (i=0)
よって
(左辺) = n*Ｃ[2n-1,n] = (n/2)*Ｃ[2n,n]
答: n≦12 ならば正しいが、n≧13 ならば正しくない。
0924１３２人目の素数さん
2012/12/16(日) 01:32:10.67それにしても左辺がこんなにきれいな形になるなんて驚きました
教えてくださってありがとうございます
0925令嬢
2012/12/16(日) 13:36:42.98, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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0926１３２人目の素数さん
2012/12/17(月) 23:20:58.22ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
１２８.
{n/(n-1), ････, n/(n-1), 1} のn個で相加･相乗する。
(1 + 1/n)^n > {n/(n-1)}^(n-1),
0927１３２人目の素数さん
2012/12/22(土) 00:58:58.380928１３２人目の素数さん
2012/12/22(土) 01:10:03.620929１３２人目の素数さん
2012/12/23(日) 22:14:08.20ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
・略解1
nについての帰納法による。
n=1 のときは、等号成立。
n≧2 のときは
(n+2)^n／n^(n-2) = {(n+2)/n}^n・n^2
= (1 + 2/n)^n・n^2
> 3・n^2 （←２項展開公式）
により成立。
・略解2
n=1,2 のときは成立。
n>2 のとき
(左辺) > 2^(2n-3)･n!･(n+1)! > (3^n)(n!)^2,
〔補題〕
(n+1)^(n-1) > 2^(n-2)･n!,
(略証)
(n+1)^2 ≧ 4k(n+1-k), [k=2,3,････,n-1]
辺々掛けて√すると
(n+1)^(n-2) > 2^(n-2)･(n-1)!
0930１３２人目の素数さん
2012/12/24(月) 00:13:33.49そういや昔、帰納法って書いたら怒られたことがあった。
それは帰納法じゃなくて数学的帰納法だと。
何が起こったのか分からなかったぜ、ありのままに起こったことを話したぜ
|l､{ j} /,,ｨ//｜ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
i|:!ヾ､_ﾉ／ u {:}//ﾍ | あ…ありのまま 今 起こった事を話すぜ！
|ﾘ u' } ,ﾉ _,!V,ﾊ | ＜ 『おれは奴の前で階段を登っていたと
fト､_{ﾙ{,ィ'ｅﾗ , ﾀ人. | 思ったらいつのまにか降りていた』
ヾ|宀| {´,)⌒`/ |<ヽﾄiゝ | 催眠術だとか超スピードだとか
ヽ iLﾚ u' | | ヾｌﾄﾊ〉. | そんなチャチなもんじゃあ 断じてねえ
ﾊ !ニ⊇ '／:} V:::::ヽ. │ もっと恐ろしいものの片鱗を味わったぜ…
/:::丶'T'' ／u' __ /:::::::/｀ヽ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
0931１３２人目の素数さん
2012/12/26(水) 14:58:14.78「数学的帰納法」は演繹のテクニックなので決して「帰納法」とは呼べないのだ。
0932１３２人目の素数さん
2012/12/27(木) 04:05:27.52http://suseum.jp/gq/question/1930
0933１３２人目の素数さん
2012/12/28(金) 00:15:05.99a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
便宜上、K≧t/3=1 とする。
(a-b)^2 の係数
= -3cu + (-t/2 +3K)cc + 1.5KK
≧ -3cu + (1/2)cct + (1/6)tt (← K≧t/3)
= 3c{-u +(t/3)^(3/2)} + (1/2)t{c-√(t/3)}^2
≧ 0, etc.
∵ (t/3)^(3/2) ≧ u,
0934１３２人目の素数さん
2012/12/28(金) 20:51:06.30a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
便宜上、K≧t/3 とする。
(左辺)－(右辺) =
= -(t^3 -27u^2) + 6K(t^2 -3su) + 3KK(s^2 -3t) ････ (*)
= 3(sK-3u)^2 - t(t-3K)^2
≧ (1/3)(st-9u)^2, (← K≧t/3)
*) Kについて単調増加。
0935１３２人目の素数さん
2012/12/29(土) 08:10:37.330936１３２人目の素数さん
2012/12/30(日) 13:36:52.860937１３２人目の素数さん
2012/12/30(日) 13:43:25.19君に任せた！
0938１３２人目の素数さん
2012/12/31(月) 11:51:16.15反原発デモでチンドンや太鼓を鳴らし、ソントを行っている在日
街宣車に乗り、騒音を撒く朝鮮人
構図は全て同じです
http://mamorenihon.files.wordpress.com/2011/10/zainichi_seijinshiki_1.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-1_jEcAWVs1s/Tm4X2mLBhhI/AAAAAAAABok/MObw2nzMyoI/s1600/IMG_9062-714071.jpg
http://wave.ap.teacup.com/renaissancejapan/timg/middle_1228711905.jpg
ソント(声闘)・・朝鮮人は、声が大きければ音が大きければ、主張が通る、どんな凶悪犯罪でも無罪になると思い込む。
だから、朝鮮人は大音量で街宣車を走らせる。
原発サウンドデモ＝ソント
在日(もちろんテレビや新聞は通名で報道)が凶悪犯罪を起こしたとき、人権派()弁護士が異様に沢山付くのも
弁護士が多ければ=声が大きければ、無罪になると思い込んでいるから。
0939１３２人目の素数さん
2012/12/31(月) 20:13:47.84〔問題932〕
次を示せ。ただし eは自然対数の底で 2.7<e<2.8 とし、整数乗の計算には計算機を用いてもよい。
x>0 ならば e^x > 1 + (3/2)x^2,
ヲタなら、まづ相加･相乗するだろうな....
(2/3)x + (1/3!)x^3 ≧ (2/3)x^2,
x/12 + x/12 + (1/4!)x^4 ≧ (1/4)･(1/2)^(1/3) x^2 = 0.198425 x^2,
x/18 + x/18 + x/18 + (1/5!)x^5 ≧ (1/9)･(12/5)^(1/4) x^2 = 0.138296 x^2,
より、
e^x > Σ[k=0,5] (1/k!)x^k > 1 + 1.503388 x^2 > 1 + (3/2)x^2, (ｷｬｽﾌｨｰ)
あるいは
(2/3)x + (1/3!)x^3 ≧ (2/3)x^2,
x/8 + x/8 + (1/4!)x^4 ≧ (1/8)･3^(2/3) x^2 = 0.260010 x^2,
x/36 + x/36 + x/36 + (1/5!)x^5 ≧ (1/9)･(3/10)^(1/4) x^2 = 0.082231 x^2,
より、
e^x > Σ[k=0,5] (1/k!)x^k > 1 + 1.508908 x^2 > 1 + (3/2)x^2,
0940１３２人目の素数さん
2012/12/31(月) 20:23:59.33〔類題〕
次を示せ。ただし eは自然対数の底で 2.7<e<2.8とし、相加・相乗平均を用いてはいけない。
x>0 ならば e^x > 1 + (e/2)x^2,
0941実話です
2013/01/01(火) 16:56:04.29女「もしもし、いきなりごめんね。 正月って暇？」
i
〔!(^o^)／ ｷﾀｰ
( )
| |
男「えッ！？＼(^o^)／う、うん暇だよ！＼(^o^)／」
i
〔!(^o^)／ ｳ、ｳﾝ、ﾌﾄｳｼｷ ｲｼﾞｯﾃﾙ ﾄ ｵﾓｳ ｹﾄﾞ ﾋﾏ ﾀﾞﾖ！
( )
／ ＼
女「あはっ、やっぱりーｗ」 （後ろで大勢の笑い声）
ヽ＼w／／
i
〔!＿(^o^;)
/ )＼
| ＼
ガチャ、ツー、ツー
i
〔!＿(ﾟдﾟ )
/ )＼
| ＼
0942１３２人目の素数さん
2013/01/03(木) 23:46:29.35正の実数 a,b,c に対して
{(a+b+c)(aa+bb+cc)/3}^2 ≧ 3abc(a^3 +b^3 +c^3),
(略証)
例によって
min{a,b,c} = m,
{a,b,c} = {m,m+x,m+y} (x≧0, y≧0)
とおく。
a+b+c = 3m + (x+y),
aa+bb+cc = 3mm + 2m(x+y) + (xx+yy),
a^3 +b^3 +c^3 = 3m^3 +3mm(x+y) +3m(xx+yy) +(x^3 +y^3),
abc = m^3 + mm(x+y) + mxy,
より
(a+b+c)(aa+bb+cc)/3 = 3m^3 + 3mm(x+y) + (1/3)m(5xx+4xy+5yy) + (1/3)(x+y)(xx+yy),
(左辺) = 9m^6 + 18m^5･(x+y) + m^4･(19xx+26xy+19yy) + 2m^3･{6x^3 +10xy(x+y) +6y^3} + (1/9)mm{43x^4 +76(x^3)y +102xxyy +76x(y^3) +43y^4} +(1/9)m(x+y){10x^4 +8(x^3)y +20xxyy +8x(y^3) +10y^5) +{(x+y)(xx+yy)/3}^2,
(右辺) = 9m^6 + 18m^5･(x+y) + m^4･(18xx+27xy+18yy) + 2m^3･{6x^3 + 9xy(x+y) +6y^3} + 3mm{x^4 +4(x^3)y +4x(y^3) +y^4} + 3m(x+y){(x^3)y -xxyy +x(y^3)},
辺々引いて
(左辺) - (右辺) = m^4･(xx-xy+yy) + 2m^3･xy(x+y) + (1/9)mm{16x^4 -32(x^3)y +102xxyy -32x(y^3) +16y^4} +(1/9)m(x+y)(10x^4 -19(x^3)y +47xxyy -19x(y^3) +10y^4} +{(x+y)(xx+yy)/3}^2
≧ 0,
0943１３２人目の素数さん
2013/01/07(月) 19:17:44.02＿ ＿ /, -‐＝=ミ _,ｨﾆ-‐……ｰ-: ､｀ヽ、 ヽ、 ＿ ＿
＿ 集 も ＿ _ ´ ≠:7 ヽ、ヽ | i , ＿ 集 ＿
＿ め っ ＿ ／ -‐ 7´ / ,ﾊ ヽ ゝ-- ＼ | ! , ＿ め ＿
＿ ろ と ＿ /, -‐／ ｉ /ィ 爪 ＼ ＼ ＼ ｀ト ! ′ ＿ ろ ＿
： 〃 / | イ ハ | ＼ ､＼ xｨ￢ト､ | .! , ：
／ ＼ / / /ｌ |/Гト､ / |_,ノ0 ヽ | i ′ ／ ＼
／ | | ＼ | / / i i | |ノ0 ﾄ | ∩ ﾄ | ! , ／ | | ＼
∨ｉ | | ヽ| | ∩ | ! ∪ | | i ′ ,ｨ /〉
| | i ', | | ∪ | | ! ｜ i ′ / レ厶 イ
ヽﾊ ､ ヽ| l | , └―-┘ ! i ′ ノ ⊂ﾆ､'
い、 ＼/ ￣￣ ', i ′ _, - ' ⊂ニ,´
r ､ _ ヽ 〈 <_ ￣_フ | ! ,.-‐T _,. -‐'´￣
くヾ; U｜ | ＼ ￣ ／| i _, -‐' | ／
ｒ―' ヽ、 | ＼ イ | i_,. -‐ |／
｀つ ＿ ￣￣Τ`ー―-- L ｀ _ _＿ 〔 | r┬ '
0944１３２人目の素数さん
2013/01/10(木) 00:49:23.39http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1212q.pdf
0945１３２人目の素数さん
2013/01/10(木) 11:17:17.67反原発デモでチンドンや太鼓を鳴らし、ソントを行っている在日
街宣車に乗り、騒音を撒く朝鮮人
構図は全て同じです
http://mamorenihon.files.wordpress.com/2011/10/zainichi_seijinshiki_1.jpg
http://4.bp.blogspot.com/-1_jEcAWVs1s/Tm4X2mLBhhI/AAAAAAAABok/MObw2nzMyoI/s1600/IMG_9062-714071.jpg
http://wave.ap.teacup.com/renaissancejapan/timg/middle_1228711905.jpg
ソント(声闘)・・朝鮮人は、声が大きければ音が大きければ、主張が通る、どんな凶悪犯罪でも無罪になると思い込む。
だから、朝鮮人は大音量で街宣車を走らせる。
原発サウンドデモ＝ソント
在日(もちろんテレビや新聞は通名で報道)が凶悪犯罪を起こしたとき、人権派()弁護士が異様に沢山付くのも
弁護士が多ければ=声が大きければ、無罪になると思い込んでいるから。
0946１３２人目の素数さん
2013/01/11(金) 23:09:40.77∨）
（（
0947１３２人目の素数さん
2013/01/11(金) 23:43:51.38Bilkent Univ., Dept. of Math.
〔Problem of the month〕
Term: January 2013
Find the minimum value of the expression
a/(bbb+27+27) + b/(ccc+27+27) + c/(aaa+27+27),
over all non-negative real numbers a,b,c satisfying a+b+c=1.
0948１３２人目の素数さん
2013/01/11(金) 23:46:08.38(略解)
最小値は 0.0184826291090075
(a,b,c) = (0,1-C,C) またはその rotation のとき。
C = 0.7485464789148035 {C^4 +216C -162 =0 の根}
0949１３２人目の素数さん
2013/01/12(土) 02:29:52.27http://www.math.ust.hk/excalibur/v17_n3.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
0950１３２人目の素数さん
2013/01/14(月) 16:24:27.10_,. :'´: : : : : : : : : :｀ヽ
_,．:'´: : : : : : : : : : : : : : : :ﾊ
∠,ヽ: : : : : : : : : : : : : : : : : : :i
, '´￣¨´‐.､ ｀y : : : : : : : : : : : : : : { ,.、
/ . : : Ｙ } ヽ: : : : : : : : : : : | _,.ｆ´__,＼
.′ : : :}v ,,ゝ: : : : : : : : : : |―￢;.:.:.:.:_:.:.:＼
. l . : :. .:!| ￣ ! ヽ : : : : : : : : ヽj_,.-亠'¨⌒ヽ:_ﾉ
! { : :. |:.:,!ｒ' , ､〉 ＼∧＿: : : :＼
}.:}. :.l :.: .!:.i T~＾.| ￣＝-'¨
(_,ノ_;{:...:.:.:!: .:.:. .ﾊ:{_.｀| i
f彡Y:.:.}:|:.!:.:!:{:ｲ'` | ! ／￣￣￣￣ヽ＼
／＼ ⌒j,ｨ:.{:!:ﾊ:|:!{{| j ! / ／ |
/ ｌ , '´￣,ﾄ! }川,,ｰ/,. {,,,.........,,,,,.,,,,,,,,,,.ト .... ＿ _ - ´ | ,,,,,,
l | / __｣ ､__ﾉ―-}n.n r}ー＝==-=-=- l ､ /_,-､ ) ノ-=''
.､ ｀ ´ / ´ ﾞ >､＿'ｰ'o_ - ´
ヽ､ ／
. ｀ ´
0951１３２人目の素数さん
2013/01/15(火) 20:36:55.65, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
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0952１３２人目の素数さん
2013/01/17(木) 22:17:57.030953１３２人目の素数さん
2013/01/18(金) 10:22:56.290954１３２人目の素数さん
2013/01/19(土) 11:34:10.14（間借りしているだけだ等と言う社員と工作員には注意）
韓国文化放送(MBC) 〒135-0091 東京都港区台場2-4-8 18F
フジテレビジョン 、、 〒137-8088 東京都港区台場2-4-8
韓国聯合TVNEWS(YTN) 〒105-0000 東京都港区赤坂5-3-6
TBSテレビ 、 、、 .〒107-8006 東京都港区赤坂5-3-6
大韓毎日 、、、、、、、、、、、、 〒108-0075 東京都港区港南2-3-13 4F
東京新聞(中日新聞社東京本社) 〒108-8010 東京都港区港南2-3-13
京郷新聞 、、、、、、〒100-0004 東京都千代田区大手町1-7-2
産経新聞東京本社 〒100-8077 東京都千代田区大手町1-7-2
(ｻﾝｹｲｽﾎﾟｰﾂ、夕刊ﾌｼﾞ、日本工業新聞社)
朝鮮日報 、、、 〒100-0003 東京都千代田区一ツ橋1-1 4F
毎日新聞東京本社 〒100-8051 東京都千代田区一ツ橋1-1-1
日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C
0955１３２人目の素数さん
2013/01/19(土) 19:42:13.88_______
／ ∩| |
／ / /|不等式
／ / / |____|
/ / | |
. ／ / /∧ ./ /
/ / ´_ゝ`）／ おうい！不等式の新刊書を手に入れたぞー！
／ | ／
| /
| ／⌒l
ヽ | /
／ | ﾞー'| L
／ | /（_ ヽ
／ ／ ノ
／ / ／
／ （ ヽ
0956１３２人目の素数さん
2013/01/20(日) 01:22:26.92ﾊｧﾊｧできますか？
0957１３２人目の素数さん
2013/01/21(月) 00:22:00.37C^4 + 216C - 162 = (C^2 + 18L)^2 - 36L･(C - 3/L)^2
= C^4 + 216C - 162･(2/L - 2L^2)^2,
となるように、定数Lを決める。
2/L - 2L^2 = 1,
補助方程式は
L^3 +(1/2)L -1 = 0,
これを解くと
L = {(1/2)[√(55/54) +1]}^(1/3) - {(1/2)[√(55/54) -1]}^(1/3)
= 0.835122348481366
C^4 + 216C - 162 = {C^2 +6(√L)･(C -3/L) +18L} {C^2 -6(√L)･(C -3/L) +18L}
= (C+6.23164851584700)(C-0.748546789148035)(C^2 -5.48310172669896C+34.7290828674771)
0958１３２人目の素数さん
2013/01/21(月) 02:03:01.58このスレの過去ログなどで既出のものばかりでしたが、それらのまとめノート的なものだと思えば非常にお得です！
ポチってください
0959１３２人目の素数さん
2013/01/22(火) 01:20:01.90⇒ 2-√(ab)≧√2｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝
0960１３２人目の素数さん
2013/01/22(火) 01:27:02.95√2｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝は
(√2)*｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝ね
全部ルートに入ってるように見えてた人ごめん
0961１３２人目の素数さん
2013/01/22(火) 19:32:41.55, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
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0962１３２人目の素数さん
2013/01/23(水) 21:27:16.01Ａ↑ = （√a, √(1-a)）
Ｂ↑ = （√(1-b), √b）
は単位ベクトル。
(Ａ・Ｂ)^2 + |Ａ×Ｂ|^2 = |Ａ|^2･|Ｂ|^2,
Ｃ↑ = (Ａ・Ｂ, |Ａ×Ｂ|） = （√[a(1-b)] + √[b(1-a)], √[(1-a)(1-b)] - √(ab)）
|Ｃ| = |Ａ|･|Ｂ| = 1,
Ｄ↑ = (2(√2)/3, 1/3）
も単位ベクトルだから
(Ｃ・Ｄ) ≦ 1.
0963１３２人目の素数さん
2013/01/24(木) 22:10:28.28相加相乗を自分は考えてた
2≧√2｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝+√(ab）
1≧(1/√2)｛√｛a(1-b)｝+√｛b(1-a)｝｝+√(ab)/2 を示す
右辺
=√(a/2)(1-b)+√(b/2)(1-a)+√(a/2)(b/2)
≧｛a/2+(1-b)｝/2+｛b/2+(1-a)｝/2+｛(a/2)+(b/2)｝/2
=a/4+(1-b)/2+b/4+(1-a)/2+a/4+b/4
=1/2+1/2=1=左辺
0964１３２人目の素数さん
2013/01/25(金) 06:37:07.440965１３２人目の素数さん
2013/01/29(火) 16:36:56.98美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として
http://www.amazon.co.jp/dp/4254111371/
価格： ￥ 3,990
出版社: 朝倉書店
翻訳より原著の方が安いなｗ
Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach
http://www.amazon.co.jp/dp/3034600496/
価格： ￥ 3,814
出版社: Birkhauser Basel
0966あのこうちやんは始皇帝だった
2013/01/29(火) 19:11:14.47２０代と３０代の、ニート・無職の、知的障害の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
0967１３２人目の素数さん
2013/01/29(火) 20:07:49.78, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
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0968１３２人目の素数さん
2013/02/02(土) 17:55:11.88ＮＨＫの24時のニュースは視聴者からのツイッターを流しているが
自民党や日本企業の話題の時には批判コメントしか流さないなど、
以前からＮＨＫによる意図的な反日工作が指摘されていた。
1月31日深夜のＮＨＫ24時ニュースの放送開始の頃にツイッターのサーバーが落ちた。
その時ツイッターがずっと使えない、書き込み自体が出来なかったのは、視聴者が確認している。
にもかかわらず、その時画面では
「地震だったの？」とか「あ、○○さんだー」「都会にこんなのがあるのかー」
と番組の流れに沿ったツイートが流れていた。
番組終了時にＮＨＫは
「ツイッターを『表示するシステム』の不具合があったので、事前に来ていたツイートを流した」
と苦しい説明。
当然視聴者からのツイートは放送できるものを選別しているのだろう。
選別なら別にいいのだが、問題は
視聴者からのリアルタイムのツイートと称して
実際には、ＮＨＫが事前に用意したインチキ捏造ツイートを流していたということだ。
0969１３２人目の素数さん
2013/02/04(月) 00:04:26.41(z-1)(e^z - e) ≧ 0, (← 単調増加)
e^y - ey = ∫[1,y] (e^z - e)dz ≧ 0,
e^x -1 -(e/2)x^2 = ∫[0,x] (e^y - ey)dy ≧ 0, (x≧0)
>>952 (Wirtinger)
f(x) = Σ[k=1,∞) a_k sin(kx),
とフーリエ級数に展開すれば簡単だが....
0970１３２人目の素数さん
2013/02/09(土) 01:46:20.00x_1+x_2+…+x_n≦x_1^3/x_n^2+x_2^3/x_1+x_3^3/x_2^2+…+x_n^3/x_(n-1)^2
大数
0971１３２人目の素数さん
2013/02/10(日) 05:40:45.19Σ[k=n+1～∞) 1/(k^2) < 1/(n +1/2),
Σ[k=n+1～∞) 1/(k^3) < 1/{2n(n+1)},
Σ[k=n+1～∞) 1/(k^4) < 2/{3n(n+1)(2n+1)},
casphy - 高校数学 - 不等式２ - 013～015
0972１３２人目の素数さん
2013/02/11(月) 00:26:38.90コーシー不等式の拡張より
(右辺){x_n+x_1+･･･+x_(n-1)}{x_n+x_1+････x_(n-1)} ≧ (x_1+x_2+････+x_n)^3,
0973１３２人目の素数さん
2013/02/12(火) 22:50:07.63ちょっと改良....
〔問題〕自然数nについて、次を示せ。
1/(n+1) < Σ[k=n+1～∞) 1/(k^2) < 1/(n +1/2),
1/{2n(n+1)+1} < Σ[k=n+1～∞) 1/(k^3) < 1/{2n(n+1)},
2/{3[n(n+1)+1](2n+1)} < Σ[k=n+1～∞) 1/(k^4) < 2/{[3n(n+1)+2](2n+1)},
0974１３２人目の素数さん
2013/02/13(水) 23:19:34.610975１３２人目の素数さん
2013/02/13(水) 23:57:26.330976１３２人目の素数さん
2013/02/16(土) 00:00:15.45ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
凸不等式でもOK（じゅー）
・f(x) = x^3 は下に凸。
(右辺) = xn･f(x1/xn) + x1･f(x2/x1) + …… + x(n-1)･f(xn/x(n-1))
≧ {xn+x1+ … +x(n-1)}f((x1+x2+ … +xn)/(xn+x1+ … +x(n-1)))
= {xn+x1+ … +x(n-1)}f(1)
= {xn+x1+ … +x(n-1)},
・g(x) = 1/x^2 は下に凸。
(右辺) = x1･g(xn/x1) + x2･g(x1/x2) + …… + xn･f(x(n-1)/xn)
≧ (x1+x2+ … +xn)g((xn+x1+ … +x(n-1))/(x1+x2+ … +xn))
= (x1+x2+ … +xn)g(1)
= (x1+x2+ … +xn),
0977１３２人目の素数さん
2013/02/20(水) 00:22:53.93m,n:自然数のとき
Σ[k=n+1～∞) 1/k^(m+1) < 1/{m･(n + 1/2)^m},
0978１３２人目の素数さん
2013/02/24(日) 15:15:44.50http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/Shapiro.pdf
0979１３２人目の素数さん
2013/02/24(日) 21:25:21.65むかし読んだことがあるようなハロゲンガス
0980１３２人目の素数さん
2013/02/26(火) 23:49:45.87附帯条件が変更されますた。 a+b+c = 9/2.
回答期限も延期されますた(2月末)。といっても2日しかないが。
http://www.fen.bilkent.edu.tr/ → Mathematics → Problem of the month → 2013 → February 2013
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/1301q.pdf
>>946
全くごもっとも。
0981１３２人目の素数さん
2013/03/01(金) 08:04:21.17http://nyushi.yomiuri.co.jp/13/sokuho/tokyoikashika/zenki/sugaku_i/images/mon3_1.gif
0982１３２人目の素数さん
2013/03/01(金) 20:56:39.96フルボッキした！
0983１３２人目の素数さん
2013/03/01(金) 21:39:34.06単なるベータ関数じゃんｗ
0984１３２人目の素数さん
2013/03/01(金) 21:49:16.65B(x,y)= Γ(x)Γ(y)/ Γ(x+y)
Γ(x+1) =xΓ(x)
Γ(n+1)= n!
0985１３２人目の素数さん
2013/03/02(土) 21:13:31.130986１３２人目の素数さん
2013/03/03(日) 00:58:23.530987１３２人目の素数さん
2013/03/04(月) 00:58:23.200988１３２人目の素数さん
2013/03/04(月) 22:36:56.88〔Problem 410.〕
(略証)
(x+y)√{(y+z)(z+x)} -x(y+z) -y(z+x) = x√(y+z)･[√(z+x)-√(y+z)] + y√(z+x)･[√(y+z) - √(z+x)]
= [x√(y+z) - y√(z+x)]･[√(z+x) - √(y+z)]
= {t(x-y)/[x√(y+z) + y√(z+x)]}(x-y)･{(x-y)/[√(z+x) + √(y+z)]}
= {t/[(x+y)√{(y+z)(z+x)} +xy +t]}(x-y)^2
≧ {t/[(x+y)(x+y+2z)/2 + xy +t]}(x-y)^2 (← 相乗･相加平均)
≧ {t/(x^2 +y^2 +z^2 +2t)}(x-y)^2
= {t/(x+y+z)^2}(x-y)^2,
循環的にたす。 ここに、t = xy+yz+zx.
/excalibur/v17_n4.pdf より。
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