1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+・・・x^(n-1)+x^n+・・・
両辺積分して
-log(1-x)=x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+・・・(1/n)x^n+・・・
あとはx=1/2放り込むだけ