5番　漸化式を作る発想があれば、楽に解けたかもしれません。
f(n) (x)= a_n× e^3x×sin(2X)＋ b_n× e^3x×cos(2X)とおいて

微分すると、a_(n+1)　と　b_(n+1)を　a_nとb_nの線形結合和で表せるようです。

自分は力任せで5次導関数まで気合で求めるも、試験終了3分前に第二次導関数の式を
間違えていることに気づきまさかのドボン。これは解けないといけない問題ですよね。

6番　これは難問でした。行列で固有値かn乗が出なかった時点で負けが決まっていたのかも
しれません。

7番　第一象限上のドーナツ型で囲まれた部分が積分領域なので
0≦r≦1 0≦θ≦π/2　x=r*cosθ　y=r*sinの変数変換を施して
途中、∫(1/2sin2θ)が出てきたのでこの部分が1/2
1/2∫（1から2まで） r^3 drより　
15/8となりました。

明らかに難化なので（前回のような多項定理や確率分布のようなサービス
問題が無かったため）合格率は6%くらいでしょうか。
それにしても1番の整数問題出来た人はいるんでしょうか？
とんでもない難問の悪寒がする。