よくわからんのだが・・・

>>NKの場合、単純な意味での部分論理式原理は成り立たない。
>>例：排中律 p∨¬p の証明図中には部分論理式ではない ¬¬(p∨¬p) の登場が必要。

そもそも、排中立はNKにおいて公理なので、

p∨¬p

で証明完了だよね?

あと、「背理法・対偶を使わない」と言うのは、推論規則に依存します。
なにが背理法なのか、何が対偶なのか分かりません。

なので、「直接証明」を定義しないといけません。

で、「直接証明」を定義すれば、NKにおいても、
「証明が存在すれば、直接証明が存在する」
って言うことが言えるよってだけの話です。