別に何通りもの定義を洗いざらい調べたというのでは無くて
単に「算術の述語を用いて定義することができない」
という風に定義した文献を見たことが無いというだけです

Σ1述語で定義できないというのと算術の任意の述語で
定義できないというのではかなり隔たりがあると思います
前者との同値は明らかであることが多いですが
後者の定義は仮に同値だとしても私には証明できませんし
かといって反例も思いつかないのでここで質問させていただいています