不完全性定理について、いつも思う事ですが、

任意の仮定Aについて

1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。

の何れかであるのでしょうか?

ならば、仮定Aについて、少なくとも反例のモデルが
存在しないことは、どのような無矛盾な公理系でも
証明可能なのでしょうか?