結局何が言いたいかというと、と言った後に
前の質問の言い直しじゃなくて別の質問が書いてある気がする
着眼点とかは面白いとは思うのだけど

まずは完全性定理とか、
古典論理を直観主義論理に埋め込む方法
（http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%E2%80%93Gentzen_negative_translation）
とかを勉強したらいいと思う

それから簡単なリマークとして、
直観主義論理でも¬¬¬φ→¬φは証明できるので
¬¬¬¬φは¬¬φと同値になります