>>414
>>367ではないが、スマートな加法定理の証明を1つ紹介する

三角形ABCを考え、AからBCに下ろした垂線の足をD、垂線の長さをhとし
∠BAD=α、∠DAC=βとして、三角形ABCの面積Sを2通りで求める

BCを底辺とすると
S=(1/2)(h*tanα+h*tanβ)h=(h^2/2)(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)

ABを底辺とすると
S=(1/2)(h/cosα)((h/cosβ)sin(α+β))

したがって
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ