>>20ですが、調べてみたところ、このこと自体は次のように示せると思うのですが(間違ってたらすみません)、
証明の途中でオイラーの公式を用いているのでオイラーの公式の導出の中で用いると循環論法に陥るように思います。
オイラーの公式によらない証明は出来ないでしょうか？

まず、A(x)A(x)*=|A(x)|=1である。
また、A(x)は指数関数であるから、A(x)=e^(a+ib)とおけて、
|A(x)|=|e^(a+ib)|=|e^a||e^ib|=|e^a||cos(b)+isin(b)|=|e^a|(cos^2(b)+sin^2(b))=e^a
よって、e^a=1よりa=0
ゆえに、A(x)=e^(0+ib)=e^(ib)となり、A(x)の指数部が純虚数であることが分かる。