>>496
>>498,>>506さんが既に回答されていますが、もう少し丁寧に書いてみます。

sin(2x - cosx) = 0より2x - cosx = nπ (n: 整数)
f(x) = 2x - cosxとおくと、f'(x) = 2 + sinxである。
-π/2≦x≦π/2より-1≦sinx≦1なので、f'(x)>0となりf(x)は狭義単調増加。
従って、f(x)はこの区間において、x = -π/2で最小値-πをとり、x = π/2で最大値πをとる。

-π≦f(x)≦πより、整数nの候補はn = ±1, 0である。
[1] n = ±1のとき、(ここまでの説明から)対応するxは±π/2である(複号同順)。
[2] n = 0のとき、f(-π/2) < 0, f(π/2) > 0であり、かつf(x)は-π/2≦x≦π/2で単調増加であるので、
中間値の定理により、この区間内にf(c) = 0となるcが存在。

c ≠ ±π/2であることは(fが狭義単調増加であることから)明らかなので、
[1],[2]より方程式sin(2x-cos(x))=0の異なる実数解は、-π/2≦x≦π/2の範囲にx = ±π/2, cの3つ存在する。