放物線C：y=(x^2)/2と平面上の点P(a,b)がxy平面に存在する。
(1)点(t,(t^2)/2)におけるCの接線に関して、点Pと対称な点Qの座標をa,b,tを用いて表しなさい。
(2)(1)において、tが全ての実数を動くときの点Qの軌跡がx軸に平行な直線になったとする。このとき点Pの座標と点Qの方程式を求めよ。


という問題について質問です。

(1)は線分PQの中点が接線上にあること、直線PQと接線が垂直に交わることを用いて求めました。
Q(p,q)として、
p=(t^3-at^2+2bt+a)/(1+t^2)…①
q=((b-1)t^2+2at-b)/(1+t^2)…②
であってますか？

(2)は題意よりqを一定とし、②をtについて整理して、tの値に関わらず成り立つようにtの係数と定数項が0になるようにa,b,qを決定。
P(0,1/2)
Qの軌跡 y=-1/2
であってますか？

もしあってるとして、記述としてはa,b,qを決定したあとに①に代入してp=tとなることも示さないと十分性も満たしませんか？