ベクトルの内積から証明した方が簡単じゃないの？
a=(cos s,sin s) , b=(cos t, sin t) として、２つのベクトルが成す角を s-t>0 とすると…

a・b = |a||b| cos (s-t) = cos(s-t) = cos s cos t - sin s sin t

あとは、これから cos (s+t) と sin の公式も出る。